Rok mianownik
Ułamek jednostkowy to taki, który ma jedynkę w liczniku. Ułamek jednostkowy może być „rokowy”, jeśli w jego mianowniku występuje rok. Takiego ułamka dotyczy zadanie, polegające na przedstawieniu go w postaci sumy i/lub różnicy kilku ułamków. Jest jednak dodatkowy warunek: suma wszystkich liczb występujących w zapisie, czyli wszystkich liczników i mianowników, powinna być jak najmniejsza.
W przypadku bieżącego roku zadanie wydaje się proste, bo 2019 ma tylko dwa dzielniki nietrywialne – 3 i 673, więc kombinowania i liczenia jest niewiele, a efekt końcowy stanowi działanie 449/673–2/3 z sumą liczb 1127.
Proponuję wybiec w najbliższą przyszłość i znaleźć rozwiązanie dla roku 2020. Teraz dzielników jest więcej, zatem zadanie wymaga nieco więcej główkowania.
Komentarze
1/4-1/5-5/101=1/2020
1/4 – 1/5 – 5/101
Suma=117
1/20 – 5/101; suma 127
Pani Olu, można lepiej, ale nie uwalniam, bo jest zbyt blisko celu.
mp
1/20 – 5/101 = 1/2020
suma liczb = 127
Można nieco lepiej.
mp
Rzeczywiście można: 1/4 – 1/5 – 5/101 = 1/2020. Suma 117.
Dziękuję za informację.
1/4 – 1/5 – 5/101; suma 117
Podejrzewam, że suma 127 jest najmniejsza?
1/20 – 5/101 =1/2020
Pozdrawiam,
Proszę spróbować się poprawić (niewielka zmiana).
mp
Był „rokowy” ułamek, proponuję teraz trochę bardziej „rockowy”.
Mamy marzec 2019, co można zapisać jako 2019 3/12. Ale ponieważ w marcu dostajemy tylko łatwe zadania, to przejdźmy od razu do kwietnia, co odpowiada liczbie: 2019 4/12.
Zapiszmy 1/(2019 4/12) według ustalonych zasad. Oczywiście liczniki i mianowniki mają być całkowite. Wynik z komputera się nie liczy, więc dla weryfikacji przydałby się hasłowy opis metody rozwiązania za pomocą ołówka, kartki, kalkulatora i głowy.
Przykładowe rozwiązanie nie jest optymalne, wystarczy zmienić kolejność
mianowników by uzyskać przedstawienie o mniejszej sumie liczb:
1/2019 = 1/3 – 224/673
S = 1+3+224+673 = 901
Rozwiązanie zadania typuję takie
1/2020 = 1/20 – 5/101
S = 127
a zadania dodatkowego:
1/(2019+4/12) = 3/6058 = 9/233 – 1/26
S = 269
Dla „rocków” pierwszych czyli ułamków postaci Q/R z liczbą pierwszą R, optymalne przedstawienie jest trywialne z sumą S=2R+2Q+1.
Ogólnie dla rocków postaci Q/R (Q i R względnie pierwsze) szukamy przedstawienia
Q/R = x/m – y/n „wtedy i tylko wtedy” Qmn = R(nx-my)
o minimalnej sumie S= m+n+x+y.
Wobec jednoznaczności rozkładu i względnej pierwszości Q i R, warunek mn = R minimalizuje wartość iloczynu mianowników (i tłumaczy znak minus).
Należy zatem rozłożyć R na 2 czynniki względnie pierwsze R=mn i
uznać je za mianowniki przedstawienia, przy czym wtedy równanie
Q = nx-my
ma zawsze rozwiązanie całkowitoliczbowe.
Gdy rok R jest półpierwszy to w zasadzie kończy sprawę, tyle że kolejność gra rolę – należy zawsze sprawdzić zarówno R=mn jak i R=nm.
Ogólnie pozostaje kwestia, który z wielu różnych rozkładów R=mn wybrać. Sugestia: ten z minimalną sumą S1 = m+n.
Pytanie dodatkowe: czy minimalność S1 gwarantuje minimalność S?
Pokażę moje rozwiązanie ułamka „rockowego”:
– Ułamek przetwarzam na liczbę całkowitą:
(2019 4/12)*3=6058
– Z pomocą tablic i kilku dzieleń rozbijam na czynniki pierwsze:
233*13*2=6058
– Teraz są dwie sensowne możliwości:
1. a/233 + b/13 + c/2 = 1/6058
2. d/233 + e/26 = 1/6058
– Sprawdźmy. Mnożymy przez 6058:
1. 26a + 466b + 3029c = 1
2. 26d + 233e = 1
Drugi wariant wygląda na prostszy, więc od niego zaczniemy. Widać od razu, że 26*9=234, więc d=9 oraz e=-1. Jest to rozwiązanie dla 1/6058. Rzeczywiście: 9/233 – 1/26 = 1/6058.
Ale pamiętamy o początkowym mnożeniu przez 3. Teraz 6058 jest w mianowniku, więc musimy całość również przemnożyć przez 3:
Rozwiązanie w.2: 27/233 – 3/26 = 3/6058 = 1/(2019 4/12)
Suma liczb: 27+233+3+26=289.
Widać też gołym okiem, że jest to najmniejsza suma w tym wariancie.
Teraz wariant pierwszy. Trudno zacząć, więc rozsądnie jest na początek przyjąć, że c=1 lub c=-1 (małe c to ogólna zasada dotycząca liniowych równań diofantycznych z trzema niewiadomymi). Po kilku próbach (wbrew pozorom nie ma tu wielu możliwości) otrzymujemy dla c=-1:
9/233 + 6/13 – 1/2 = 1/6058
a po przemnożeniu przez 3:
Rozwiązanie w.1: 27/233 + 18/13 – 3/2 = 1/(2019 4/12)
Suma liczb: 27+233+18+13+3+2=296 jest najmniejsza w tym wariancie, ale i tak nieco większa od poprzednio uzyskanej.
Pomyślałem o wieloskładnikowych rozwinięciach, które były tu jawnie dopuszczone, ale nie drążyłem głębiej, bo pochopnie założyłem, że raczej zwiększają sumę składników. I statystycznie tak, ale nie w szczególnych przypadkach 🙂
@ Markoniusz
Moment, czegoś nie rozumiem. Przecież to dwuułamkowe jest lepsze (289 versus 296) i takie właśnie podałeś… Twoje drobne przeoczenie polegało jedynie na tym, że najpierw zapisałeś prawidłowo 3/6058=…, ale rozwiązanie (już błędne) dałeś dla 1/6058. W ferworze walki zgubiłeś mnożenie przez 3 – ale to tylko techniczny drobiazg.