Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

14.02.2019
czwartek

Łańcuch kamienny

14 lutego 2019, czwartek,

Tradycyjny sposób gry w domino polega na tworzeniu łańcucha, w którym kamienie stykają się ze sobą połówkami z taką samą liczbą oczek. Zapewne nie tylko osoby, które grywają w domino, wiedzą, że jeśli partia zakończy się remisem, czyli powstanie łańcuch ze wszystkich 28 kamieni, to na jego końcach będą połówki z jednakową liczby oczek. Inaczej mówiąc, z wszystkich kamieni można ułożyć zgodnie z regułami gry obwód zamknięty.

Modyfikujemy podstawową zasadę sąsiedztwa: kamienie dokładamy do siebie tak, aby liczby oczek na stykających się połówkach zawsze różniły się o 1. Czy teraz ułożenie zamkniętego łańcucha z wszystkich kamieni domina będzie możliwe? Odpowiedź wypada oczywiście krótko uzasadnić.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 16

Dodaj komentarz »
  1. Nie da się tego zrobić – uzasadnienie na przykładzie kamieni z szóstkami:
    Każda szóstka musi się stykać z kamieniem, na którym jest piątka.
    Szóstek jest osiem, a kamieni z piątkami tylko siedem, więc brakuje jednego do pary.

    Analogicznie można by zacząć od drugiego końca, ale nie chciałem zamydlać problemu.

  2. Nie da się.

    Gdyby się dało, to każde 0 musiałoby sąsiadować z 1. Wtedy wszystkie 1 byłyby zajęte.
    Dalej: każda 2 musi sąsiadować z 1 lub 3, ale 1 są już zajęte, więc sąsiaduje z 3. Oczywiście wtedy każda 3 sąsiaduje z 2.
    Dalej każda 4 sąsiaduje z 5 oraz każda 5 sąsiaduje z 4.

    A co z 6? 6 musi sąsiadować z 5, ale wszystkie 5 są już zajęte! SPRZECZNOŚĆ!

  3. 28 kamieni ma 56 połówek. Z tego na 24 są nieparzyste liczby oczek, a na 32 parzyste (traktując mydło jako parzystą), więc dla 8 połówek zabraknie par.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Nie da się.

    28 kamieni ułożonych według Zasady ma 28 miejsc styku. Na każdym styku musi wystąpić jedna liczba parzysta i jedna nieparzysta, co oznacza, że powinno być ich po 28. Lecz nie jest.

  6. Nie jest to możliwe.
    Zera mogą się stykać tylko z jedynkami, zatem dwójkom zostają tylko trójki, czwórkom – piątki, a szóstkom – nic.
    (Brakuje styku 6|0 do zamknięcia pętli).

  7. Nie da się. Każda szóstka musiałaby sąsiadować z piątką, piątek jest tyle samo co szóstek, więc nic nie zostałoby dla czwórek. Każda czwórka musiałaby zatem sąsiadować z trójką i analogicznie dwójka z jedynką. Nie miałyby z kim sąsiadować zera. Można oczywiście pójść w drugą stronę – każde zero z jedynką, dwójka z trójką, czwórka z piątką, i wtedy szóstki są porzucone. Chyba że domkniemy pętelkę i powiemy, że 0 i 6 też różnią się o 1, to wtedy się da.

  8. Ta odsłona bloga zasługuje na tytuł „W kamiennym kręgu”.

  9. Jestem na nie, bo to strasznie żmudna robota takie dopasowywanie…

    Uzasadnienie.
    Każda z 7 cyfr występuje dokładnie 8 razy (na 7 różnych kamieniach, bo na jednym jest dublet) tworząc 7*8/2=28 par tj. kamieni domina.

    Wg zmienionych zasad 0 może sąsiadować tylko z 1, więc i vice versa – wszystkie 1-ki sąsiadują z 0-mi. Dlatego też 2-ki muszą sąsiadować z 3-mi (bo 1-ki są już zajęte). Dalej analogicznie, 4-ki muszą sąsiadować z 5-mi (bo 3-ki są zajęte). Dla 6-ek brak sąsiedztwa.

    Gdyby domino dopuszczało 7-ki tj. 8 cyfr…

  10. Wariant zadania kamiennego kręgu:
    Takie same pytanie i zasady sąsiedztwa, z tym że za sąsiednie uznajemy dodatkowo 0 i 6.

    Inaczej mówiąc, za sąsiednie uważamy te cyfry, które sąsiadują ze sobą w ciągu:
    a(n) = MOD(n; 7) = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2; …

  11. @Markoniusz
    Inny wariant: jak w zadaniu oryginalnym, ale wyrzucamy kamienie z szóstką, czyli mamy domino od 0 do 5. Jak komuś się bardziej podoba, może wyrzucić zera, i mieć od 1 do 6.

  12. @Markoniusz

    Da się ułożyć bez problemu na wiele sposobów. Nie wiem jednak, jak to wykazać bez układania kostek, jedynie siłą czystej dedukcji…

  13. Panie Marku

    Czy może Pan załatwić dla komentarzy na swoim blogu czcionkę o stałej szerokości, aby można było wpisywać tabelki, układy domina itd…, bez obawy o rozjeżdżanie się kolumn?

    Spróbuję
    mp

  14. @xswedc
    No to jest nas przynajmniej dwóch…

  15. W wariancie: „za sąsiednie uważamy te cyfry, które sąsiadują ze sobą w ciągu: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2; …” można ułożyć domino tylko wówczas, jeśli:
    – 4 jedynki będą sąsiadowały z 4 zerami
    – 4 jedynki będą sąsiadowały z 4 dwójkami
    – 4 dwójki będą sąsiadowały z 4 jedynkami
    – 4 dwójki będą sąsiadowały z 4 trójkami
    itd.
    Nie układałam tego, to tylko wniosek z rozważań teoretycznych.

  16. @xswedc

    Bez układania ciezko, ale postaram się.

    Kamienie dzielimy na 4 kategorie. Kategoria a (dla a=0, 1, 2, 3) zawiera kamienie x,x+a – każda dokładnie 7 kamieni.

    W każdej kategorii łatwo zrobić cykl, np:
    00-11-22-33-44-55-66-00
    01-23-45-60-12-34-56-01
    02-13-24-35-46-50-61-02
    03-25-40-62-14-36-51-03

    Cykle można łatwo połączyć w jeden: bierzemy dwa cykle, rozrywamy je na ustalonej granicy kamieni x-y, i łączymy ponownie krzyżując.

    Przykład połączenia dwóch pierwszych cykli na granicy np. 4-5 – miejsce rozerwania/łączenia oznaczone kropkami zamiast myślnika:

    00-11-22-33-44…56-01-23-45-60-12-34…55-66-00

  17. @miodziu

    O… Jakie proste (po fakcie) i sprytne!

css.php