Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

22.08.2018
środa

Trzy wyrazy

22 sierpnia 2018, środa,

Efektem komentarza Markoniusza do poprzedniego wpisu może być piękne zadanie:

Z dziesięciu RÓŻNYCH cyfr utworzono cztery liczby. Żadna NIE JEST liczbą pierwszą, a suma każdych trzech z nich JEST liczbą pierwszą. Jakie to liczby?

Piękne z paru powodów. Po pierwsze – lakoniczne; po drugie – dzięki równie pięknemu dowodowi podanemu przez OlęGM możliwe do rozwiązania „na piechotę” (przyda się jednak zwykły kalkulator oraz tabela lub kalkulator liczb pierwszych); po trzecie i najbardziej zaskakujące – z dokładnie jednym rozwiązaniem, w dodatku z liczbą, nie będąca ani pierwszą, ani złożoną.

Poniższe zadanie domowe jest nieco prostsze i nieco mniej urokliwe, ale należy do tej samej pandigitalnej rodzinki .

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego utworzone są z dziesięciu różnych cyfr. Najmniejszy z tych wyrazów jest największym możliwym przy założeniu, że największy jest najmniejszym możliwym. Jaką liczbą jednocyfrową zaczyna się ten ciąg?

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 13

Dodaj komentarz »
  1. Zadanie Markoniusza: 1, 49, 287, 5063.

  2. Zadanie Pana Marka: 9, 5238, 10467.

    Pani Olu, trzeci wyraz (10467) nie jest najmniejszym możliwym. Ponadto w zadaniu nie jest powiedziane, że trzy kolejne wyrazy są trzema początkowymi.
    mp

  3. Czy zdanie: „Najmniejszy z tych wyrazów jest największym możliwym przy założeniu, że największy jest najmniejszym możliwym” sprowadza się do „Różnica między wyrazami ma być jak najmniejsza”?

    Niekoniecznie. Chodzi o to, że najpierw przyjmujemy najmniejszą możliwą wartość największego wyrazu, a potem szukamy największej wartości najmniejszego wyrazu.
    mp

    W znalezionych przeze mnie ciągach najmniejszą różnicę (219) ma ten:
    1203-984-765. Tylko że on nie ma wyrazu jednocyfrowego.

    Ale z cyfr 0, 1, 2, 3 można utworzyć mniejszą liczbę 4-cyfrową
    mp

    Z kolei ciąg: 1302-978-654 ma większą różnicę niż ten poprzedni (324), ale ma wyraz jednocyfrowy (6).

    Ciekawy jest też ciąg 1304-978-652 (różnica 326), bo jednocyfrowym wyrazem jest tu 0.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Witam, oczywiście dziewiątką 🙂 Pozdrawiam PM Z-ja.

  6. 1023-945-867, różnica 78, wyraz jednocyfrowy 9
    1032-954-876, różnica 78, wyrazu jednocyfrowego brak

  7. Ciągi mogą być trzech rodzajów A, AAAA, AAAAA, AA, AAAA, AAAA
    oraz AAA, AAA, AAAA. W pierwszym przypadku rozwiązaniem jest ciąg
    9 5328 10467, w drugim 69 1308 2547, a w trzecim 867 945 1023.
    Jeżeli dobrze zrozumiałem pytanie to rozwiązaniem jest ciąg trzeci, ponieważ liczba ostatnia w ciągu jest najmniejszą z możliwych.

  8. Odpowiedź brzmi 1 dla ciągu: 1023, 945, 867 (lub 8 jeśli zakładamy rosnący ciąg).

    Jeśli weźmiemy pod uwagę liczby ujemne to niewiele się zmienia:
    (-1032, -954, -876) 😉

    Pozdrawiam

    Ciąg dobry, ale wyraz jednocyfrowy do poprawki.
    mp

  9. Jeśli chodzi o zadanie „piękne”, to rzeczywiście da się dojść „na piechotę”, korzystając z twierdzenia @OliGM, że nie mogą być liczby podzielne przez 3 ani 5. Albo więc będzie sytuacja 1 (liczba ani pierwsza, ani złożona) i 3 liczby 3-cyfrowe, albo 1, 49 (więcej dwucyfrowych liczb złożonych, niepodzielnych przez 2, 3 ani 5, nie będzie – odpada 77 i 91). W pierwszym przypadku musiałyby być dodatkowo na pewno 203, 209, 403, 407 lub 803, ale to donikąd nie prowadzi, więc trzeba znaleźć rozwiązanie 1, 49, 287, 5063, jak podał @Markoniusz.
    O ciągu arytmetycznym już nie dzisiaj.

  10. Wychodzi na to, że ciąg arytmetyczny musi być taki: liczba jednocyfrowa – liczba czterocyfrowa – liczba pięciocyfrowa. Jeśli ta ostatnia ma być najmniejsza, to powinna zaczynać się od 10: 10xyz. Wtedy środkowa zaczyna się od 5: 5tuv. x nie może być 2 ani 3, to za mało, niech więc będzie 4, a wtedy t jest 2. Kolejna najmniejsza dla y to 6, a dla u odpowiednio 3. No i zostaje 7, 8, 9, skąd mamy 9, 5238, 10467, różnica ciągu 5229. 9 jest największym pierwszym wyrazem z możliwych, i wygląda na to, że 10467 jest najmniejszym ostatnim.

  11. Musiałem przemyśleć jeszcze raz pytanie (i komentarz Gospodarza).
    Odpowiedź to oczywiście 9 – choć po kolejnej analizie wydaje mi się, że drugi ciąg (ujemny) jest lepszy, a on nie ma jednocyfrowego wyrazu.

    Pozdrawiam,

  12. Zadanie 1
    1,407,589,623

    Zadanie 2
    9,5238,10467

    W zadaniu 2 można by też postawić pytanie o przypadek kiedy:
    a) najmniejszy wyraz jest największy.
    Jest jedno rozwiązanie: 876, 954, 1032
    b) różnica ciągu jest najmniejsza
    Są dwa rozwiązania: 298, 357, 416 oraz 694, 753, 812
    c) ciąg składa się z liczb pierwszych
    Brak rozwiązań.

  13. Zadaje się że chodzi o: 9, 5238, 10467 (różnica 5229).

    Z założenia podział 10 cyfr między liczby A, B, C ciągu ma być postaci ?,*,*.
    Elementarna analiza wskazuje, że pasuje tu jedynie podział ?,????,?????, bo wtedy zachodzą oszacowania (grube, ale wystarczające):
    0<A<10; 1000<B<10000; 10000<C<100000
    więc
    990<B-A<10000 i 0<C-B<99000
    Tylko wtedy przedziały różnic między wyrazami zazębiają się i jest szansa na wspólną wartość obu różnic w przedziale 990<R<10000.

    Mnimalizując rozbieżność (C-B)-(B-A) metodą dopasowania, można znaleźć ww. rozwiązanie, które jest bliskie absolutnym ekstremom: max(A) = 9 oraz min(C) = 10234. Jedyny pojedynczy swap cyfr (9-7) zachowuje stałą różnicę między wyrazami, ale pogarsza ciąg wg założonego kryterium min/max:
    7, 5238, 10469 (różnica 5231).
    Tak na szybko zdaje mi się, że inne swapy gubią stałą różnicę, ale głowy nie dam.

  14. Zauważyłem okresowe zmiany podobizny skoczka w nagłówku tego bloga. Ciekawe od czego to zależy…

css.php