Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

8.08.2018
środa

Pierwsze gorsze

8 sierpnia 2018, środa,

Zbiór liczb {1, 3, 7, 9} ma następującą własność: suma każdych trzech liczb z tego zbioru jest liczbą pierwszą. W dodatku te cztery sumy są kolejnymi liczbami pierwszymi (ale to nie jest istotne):
1+3+7=11
1+3+9=13
1+7+9=17
3+7+9=19
Zbiorów czterech różnych liczb całkowitych dodatnich o takiej własności można znaleźć sporo, np. {11, 13, 17, 43}, {7, 13, 23, 53}, {13, 47, 53, 97}. Łatwo zauważyć, że żaden nie może zawierać liczby parzystej oraz że do każdego „pchają się” liczby pierwsze.
W podanym na początku zbiorze liczb jednocyfrowych jest jedna liczba złożona (9). Znam także takie zbiory z dwiema liczbami złożonymi, np. {13, 19, 21, 27} lub {31, 33, 37, 39}. Czy liczb złożonych może być w zbiorze więcej niż dwie? A czy nieparzystymi złożonymi mogą być wszystkie cztery? A jeżeli nie jest to możliwe, to czy ktoś pokusi się o dowód?

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 13

Dodaj komentarz »
  1. Wszystkie 4 liczby mogą być złożone. Poniżej przykłady:

    {15, 25, 33, 49}
    15 + 25 + 33 = 73
    15 + 25 + 49 = 89
    15 + 33 + 49 = 97
    25 + 33 + 49 = 107

    {9, 25, 39, 49}
    9 + 25 + 39 = 73
    9 + 25 + 49 = 83
    9 + 39 + 49 = 97
    25 + 39 + 49 = 113

    {15, 25, 39, 49}
    15 + 25 + 39 = 79
    15 + 25 + 49 = 89
    15 + 39 + 49 = 103
    25 + 39 + 49 = 113

    {21, 25, 27, 55}
    21 + 25 + 27 = 73
    21 + 25 + 55 = 101
    21 + 27 + 55 = 103
    25 + 27 + 55 = 107

    {9, 25, 33, 55}
    9 + 25 + 33 = 67
    9 + 25 + 55 = 89
    9 + 33 + 55 = 97
    25 + 33 + 55 = 113

    {21, 25, 33, 55}
    21 + 25 + 33 = 79
    21 + 25 + 55 = 101
    21 + 33 + 55 = 109
    25 + 33 + 55 = 113

    {9, 45, 49, 55}
    9 + 45 + 49 = 103

    9 + 45 + 55 = 109
    9 + 49 + 55 = 113
    45 + 49 + 55 = 149

    {21, 25, 51, 55}
    21 + 25 + 51 = 97
    21 + 25 + 55 = 101
    21 + 51 + 55 = 127
    25 + 51 + 55 = 131

    {25, 33, 51, 55}
    25 + 33 + 51 = 109
    25 + 33 + 55 = 113
    25 + 51 + 55 = 131
    33 + 51 + 55 = 139

    {25, 27, 55, 57}
    25 + 27 + 55 = 107
    25 + 27 + 57 = 109
    25 + 55 + 57 = 137
    27 + 55 + 57 = 139

  2. Co więcej, wszystkie 4 liczby mogą być złożone i parami względnie pierwsze:

    {121, 161, 205, 221}
    121 + 161 + 205 = 487
    121 + 161 + 221 = 503
    121 + 205 + 221 = 547
    161 + 205 + 221 = 587

    {203, 221, 235, 253}
    203 + 221 + 235 = 659
    203 + 221 + 253 = 677
    203 + 235 + 253 = 691
    221 + 235 + 253 = 709

    {121, 161, 221, 265}
    121 + 161 + 221 = 503
    121 + 161 + 265 = 547
    121 + 221 + 265 = 607
    161 + 221 + 265 = 647

    {169, 185, 187, 287}
    169 + 185 + 187 = 541
    169 + 185 + 287 = 641
    169 + 187 + 287 = 643
    185 + 187 + 287 = 659

    {169, 185, 203, 289}
    169 + 185 + 203 = 557
    169 + 185 + 289 = 643
    169 + 203 + 289 = 661
    185 + 203 + 289 = 677

    {49, 185, 209, 289}
    49 + 185 + 209 = 443
    49 + 185 + 289 = 523
    49 + 209 + 289 = 547
    185 + 209 + 289 = 683

    {203, 209, 235, 289}
    203 + 209 + 235 = 647
    203 + 209 + 289 = 701
    203 + 235 + 289 = 727
    209 + 235 + 289 = 733

    {77, 125, 247, 289}
    77 + 125 + 247 = 449
    77 + 125 + 289 = 491
    77 + 247 + 289 = 613
    125 + 247 + 289 = 661

    {77, 155, 247, 289}
    77 + 155 + 247 = 479
    77 + 155 + 289 = 521
    77 + 247 + 289 = 613
    155 + 247 + 289 = 691

    {125, 247, 287, 289}
    125 + 247 + 287 = 659
    125 + 247 + 289 = 661
    125 + 287 + 289 = 701
    247 + 287 + 289 = 823

    {203, 221, 253, 295}
    203 + 221 + 253 = 677
    203 + 221 + 295 = 719
    203 + 253 + 295 = 751
    221 + 253 + 295 = 769

    {49, 209, 265, 299}
    49 + 209 + 265 = 523
    49 + 209 + 299 = 557
    49 + 265 + 299 = 613
    209 + 265 + 299 = 773

    {145, 209, 289, 299}
    145 + 209 + 289 = 643
    145 + 209 + 299 = 653
    145 + 289 + 299 = 733
    209 + 289 + 299 = 797

    {209, 235, 289, 299}
    209 + 235 + 289 = 733
    209 + 235 + 299 = 743
    209 + 289 + 299 = 797
    235 + 289 + 299 = 823

  3. Wydaje się, że nieparzystymi złożonymi mogą być wszystkie cztery, więc o dowód byłoby trudno, np.

    {21, 27, 143=11*13, 203=7*29}
    21+27+143=191
    21+27+203=251
    21+143+203=367
    27+143+203=373

    {21, 27, 143, 209=11*19}
    21+27+209=257
    21+143+209=373
    27+143+209=379

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Ciąg 21, 27, 289, 1183 składa się z czterech liczb złożonych.
    Sumy 337, 1231, 1493, 1499 są liczbami pierwszymi.

    Pani Olu, a mógłbym prosić o cztery liczby co najwyżej dwucyfrowe?
    mp

  6. Tak. Ciąg 9, 45, 49, 55 daje sumy 103, 109, 113, 149, które są liczbami pierwszymi.

  7. A jeśli wszystkie miałyby być 2-cyfrowe, to pasuje ciąg 15, 21, 25, 91, który daje sumy 61, 127, 131, 137.

  8. Zbiorów z czterema złożonymi jest wiele – pierwszy z nich {9, 15, 35, 287}

  9. Poniżej wszystkie takie zbiory maksymalnie dwucyfrowe:
    9 15 65 77
    9 25 33 55
    9 25 39 49
    9 25 49 93
    9 25 55 93
    9 27 35 65
    9 27 35 95
    9 27 77 95
    9 33 55 85
    9 35 39 65
    9 35 57 65
    9 35 63 65
    9 35 63 95
    9 35 65 93
    9 35 69 95
    9 35 93 95
    9 39 49 91
    9 45 49 55
    9 49 51 91
    9 49 55 93
    9 49 91 93
    9 49 91 99
    9 55 85 87
    9 55 85 99
    15 21 25 91
    15 21 65 77
    15 25 33 49
    15 25 33 91
    15 25 39 49
    15 25 49 63
    15 25 49 99
    15 25 57 91
    15 35 39 77
    15 35 77 81
    15 35 77 87
    15 35 77 99
    15 39 49 85
    15 49 63 85
    15 49 85 93
    15 49 85 99
    15 51 85 91
    15 57 65 77
    15 57 85 91
    15 65 77 87
    15 65 77 99
    15 85 91 93
    21 25 27 55
    21 25 33 55
    21 25 51 55
    21 25 51 91
    21 25 57 85
    21 25 81 91
    21 27 55 91
    21 33 35 95
    21 35 51 95
    21 35 81 95
    21 51 55 91
    21 51 65 77
    21 51 65 95
    21 51 77 95
    21 51 85 91
    21 55 81 91
    21 55 87 91
    21 63 65 95
    21 65 77 81
    21 65 81 95
    21 85 87 91
    25 27 49 75
    25 27 55 57
    25 27 55 99
    25 27 85 87
    25 33 49 99
    25 33 51 55
    25 33 55 69
    25 33 55 93
    25 39 49 63
    25 39 49 75
    25 39 49 93
    25 39 85 87
    25 49 57 75
    25 49 65 77
    25 49 75 99
    25 51 55 87
    25 51 81 91
    25 55 57 69
    25 55 57 99
    25 55 69 87
    25 55 69 99
    25 55 87 99
    25 57 69 85
    25 57 75 91
    25 57 81 85
    25 57 81 91
    25 63 75 91
    25 65 77 91
    25 69 85 87
    25 77 91 95
    27 33 49 91
    27 35 39 65
    27 35 45 77
    27 35 51 95
    27 35 69 77
    27 35 69 95
    27 35 77 87
    27 45 55 91
    27 49 55 75
    27 55 81 91
    27 55 85 99
    27 69 77 95
    33 35 63 95
    33 35 69 95
    33 35 95 99
    33 39 55 85
    33 39 65 95
    33 45 49 85
    33 49 55 69
    33 49 55 75
    33 49 57 91
    33 49 91 99
    33 51 65 95
    33 55 85 93
    33 65 69 95
    35 39 63 65
    35 39 65 93
    35 45 51 77
    35 45 69 77
    35 51 63 65
    35 51 65 81
    35 51 81 95
    35 51 93 95
    35 63 65 99
    35 63 69 95
    35 63 81 95
    35 63 93 95
    35 63 95 99
    35 65 93 99
    35 69 77 87
    35 69 93 95
    39 49 51 91
    39 49 91 93
    39 55 57 85
    39 55 85 87
    39 55 85 99
    39 57 77 95
    39 63 65 95
    45 49 55 63
    45 49 63 85
    45 49 85 99
    45 55 91 93
    49 51 57 91
    49 51 91 99
    49 55 69 75
    49 57 91 93
    49 65 77 85
    49 85 93 99
    49 87 91 93
    49 91 93 99
    51 55 57 85
    51 55 85 87
    51 55 85 93
    51 55 87 91
    51 57 85 91
    51 65 81 95
    51 85 87 91
    55 57 85 87
    55 57 85 99
    55 65 77 91
    55 77 91 95
    55 85 87 99
    57 77 95 99
    57 81 85 91
    63 65 69 95
    63 75 85 91
    65 77 87 99

  10. 25,39,49,93

    Wszystkie są złożone oraz nieparzyste.

  11. A czy wszystkie cztery mogą być kwadratami?

    9,49,81,121
    🙂

    Czemu nie? 9, 25, 49, 59049 🙂
    mp

  12. Mogą być cztery złożone i takich zbiorów jest sporo (174 dla liczb poniżej 100): najmniejszy to {9, 15, 65, 77}

    Mogą też być trzy złożone
    np: {1, 9, 21, 49},{9, 11, 21, 77},{9, 15, 17, 35}, {9, 15, 35, 59}
    (pierwsza pierwsza, druga, trzecia lub czwarta)

    Udowodnione komputerowo 🙂
    Pozdrawiam
    PS> Mniejszy może być zbiór {1, 1, 1, 3} dopuszczając powtórzenia.

  13. Czwórek to chyba sporo jest np: 9, 25, 39, 49

  14. Nie ma powodu, dla którego nie mogłyby to być 4 liczby złożone. Wziąłem 3 kwadraty (9, 25, 49). Zauważyłem, że jedna liczba jest postaci 3k, a dwie 3k+1, tak więc czwarta musiałaby być 3k, co łatwo zauważyć. Już przy 39 był sukces, bo liczby 73, 83, 97 i 113 są pierwsze. Takich czwórek liczb złożonych jest zapewne nieskończenie wiele, wystarczyło jednak podać jeden kontrprzykład.

    Ciekawe, że dopełnieniem tercetu kwadratów także może być kwadrat. A jaki?
    mp

css.php