Pierwsze gorsze
Zbiór liczb {1, 3, 7, 9} ma następującą własność: suma każdych trzech liczb z tego zbioru jest liczbą pierwszą. W dodatku te cztery sumy są kolejnymi liczbami pierwszymi (ale to nie jest istotne):
1+3+7=11
1+3+9=13
1+7+9=17
3+7+9=19
Zbiorów czterech różnych liczb całkowitych dodatnich o takiej własności można znaleźć sporo, np. {11, 13, 17, 43}, {7, 13, 23, 53}, {13, 47, 53, 97}. Łatwo zauważyć, że żaden nie może zawierać liczby parzystej oraz że do każdego „pchają się” liczby pierwsze.
W podanym na początku zbiorze liczb jednocyfrowych jest jedna liczba złożona (9). Znam także takie zbiory z dwiema liczbami złożonymi, np. {13, 19, 21, 27} lub {31, 33, 37, 39}. Czy liczb złożonych może być w zbiorze więcej niż dwie? A czy nieparzystymi złożonymi mogą być wszystkie cztery? A jeżeli nie jest to możliwe, to czy ktoś pokusi się o dowód?
Komentarze
Wszystkie 4 liczby mogą być złożone. Poniżej przykłady:
{15, 25, 33, 49}
15 + 25 + 33 = 73
15 + 25 + 49 = 89
15 + 33 + 49 = 97
25 + 33 + 49 = 107
{9, 25, 39, 49}
9 + 25 + 39 = 73
9 + 25 + 49 = 83
9 + 39 + 49 = 97
25 + 39 + 49 = 113
{15, 25, 39, 49}
15 + 25 + 39 = 79
15 + 25 + 49 = 89
15 + 39 + 49 = 103
25 + 39 + 49 = 113
{21, 25, 27, 55}
21 + 25 + 27 = 73
21 + 25 + 55 = 101
21 + 27 + 55 = 103
25 + 27 + 55 = 107
{9, 25, 33, 55}
9 + 25 + 33 = 67
9 + 25 + 55 = 89
9 + 33 + 55 = 97
25 + 33 + 55 = 113
{21, 25, 33, 55}
21 + 25 + 33 = 79
21 + 25 + 55 = 101
21 + 33 + 55 = 109
25 + 33 + 55 = 113
{9, 45, 49, 55}
9 + 45 + 49 = 103
9 + 45 + 55 = 109
9 + 49 + 55 = 113
45 + 49 + 55 = 149
{21, 25, 51, 55}
21 + 25 + 51 = 97
21 + 25 + 55 = 101
21 + 51 + 55 = 127
25 + 51 + 55 = 131
{25, 33, 51, 55}
25 + 33 + 51 = 109
25 + 33 + 55 = 113
25 + 51 + 55 = 131
33 + 51 + 55 = 139
{25, 27, 55, 57}
25 + 27 + 55 = 107
25 + 27 + 57 = 109
25 + 55 + 57 = 137
27 + 55 + 57 = 139
Co więcej, wszystkie 4 liczby mogą być złożone i parami względnie pierwsze:
{121, 161, 205, 221}
121 + 161 + 205 = 487
121 + 161 + 221 = 503
121 + 205 + 221 = 547
161 + 205 + 221 = 587
{203, 221, 235, 253}
203 + 221 + 235 = 659
203 + 221 + 253 = 677
203 + 235 + 253 = 691
221 + 235 + 253 = 709
{121, 161, 221, 265}
121 + 161 + 221 = 503
121 + 161 + 265 = 547
121 + 221 + 265 = 607
161 + 221 + 265 = 647
{169, 185, 187, 287}
169 + 185 + 187 = 541
169 + 185 + 287 = 641
169 + 187 + 287 = 643
185 + 187 + 287 = 659
{169, 185, 203, 289}
169 + 185 + 203 = 557
169 + 185 + 289 = 643
169 + 203 + 289 = 661
185 + 203 + 289 = 677
{49, 185, 209, 289}
49 + 185 + 209 = 443
49 + 185 + 289 = 523
49 + 209 + 289 = 547
185 + 209 + 289 = 683
{203, 209, 235, 289}
203 + 209 + 235 = 647
203 + 209 + 289 = 701
203 + 235 + 289 = 727
209 + 235 + 289 = 733
{77, 125, 247, 289}
77 + 125 + 247 = 449
77 + 125 + 289 = 491
77 + 247 + 289 = 613
125 + 247 + 289 = 661
{77, 155, 247, 289}
77 + 155 + 247 = 479
77 + 155 + 289 = 521
77 + 247 + 289 = 613
155 + 247 + 289 = 691
{125, 247, 287, 289}
125 + 247 + 287 = 659
125 + 247 + 289 = 661
125 + 287 + 289 = 701
247 + 287 + 289 = 823
{203, 221, 253, 295}
203 + 221 + 253 = 677
203 + 221 + 295 = 719
203 + 253 + 295 = 751
221 + 253 + 295 = 769
{49, 209, 265, 299}
49 + 209 + 265 = 523
49 + 209 + 299 = 557
49 + 265 + 299 = 613
209 + 265 + 299 = 773
{145, 209, 289, 299}
145 + 209 + 289 = 643
145 + 209 + 299 = 653
145 + 289 + 299 = 733
209 + 289 + 299 = 797
{209, 235, 289, 299}
209 + 235 + 289 = 733
209 + 235 + 299 = 743
209 + 289 + 299 = 797
235 + 289 + 299 = 823
Wydaje się, że nieparzystymi złożonymi mogą być wszystkie cztery, więc o dowód byłoby trudno, np.
{21, 27, 143=11*13, 203=7*29}
21+27+143=191
21+27+203=251
21+143+203=367
27+143+203=373
{21, 27, 143, 209=11*19}
21+27+209=257
21+143+209=373
27+143+209=379
Ciąg 21, 27, 289, 1183 składa się z czterech liczb złożonych.
Sumy 337, 1231, 1493, 1499 są liczbami pierwszymi.
Pani Olu, a mógłbym prosić o cztery liczby co najwyżej dwucyfrowe?
mp
Tak. Ciąg 9, 45, 49, 55 daje sumy 103, 109, 113, 149, które są liczbami pierwszymi.
A jeśli wszystkie miałyby być 2-cyfrowe, to pasuje ciąg 15, 21, 25, 91, który daje sumy 61, 127, 131, 137.
Zbiorów z czterema złożonymi jest wiele – pierwszy z nich {9, 15, 35, 287}
Poniżej wszystkie takie zbiory maksymalnie dwucyfrowe:
9 15 65 77
9 25 33 55
9 25 39 49
9 25 49 93
9 25 55 93
9 27 35 65
9 27 35 95
9 27 77 95
9 33 55 85
9 35 39 65
9 35 57 65
9 35 63 65
9 35 63 95
9 35 65 93
9 35 69 95
9 35 93 95
9 39 49 91
9 45 49 55
9 49 51 91
9 49 55 93
9 49 91 93
9 49 91 99
9 55 85 87
9 55 85 99
15 21 25 91
15 21 65 77
15 25 33 49
15 25 33 91
15 25 39 49
15 25 49 63
15 25 49 99
15 25 57 91
15 35 39 77
15 35 77 81
15 35 77 87
15 35 77 99
15 39 49 85
15 49 63 85
15 49 85 93
15 49 85 99
15 51 85 91
15 57 65 77
15 57 85 91
15 65 77 87
15 65 77 99
15 85 91 93
21 25 27 55
21 25 33 55
21 25 51 55
21 25 51 91
21 25 57 85
21 25 81 91
21 27 55 91
21 33 35 95
21 35 51 95
21 35 81 95
21 51 55 91
21 51 65 77
21 51 65 95
21 51 77 95
21 51 85 91
21 55 81 91
21 55 87 91
21 63 65 95
21 65 77 81
21 65 81 95
21 85 87 91
25 27 49 75
25 27 55 57
25 27 55 99
25 27 85 87
25 33 49 99
25 33 51 55
25 33 55 69
25 33 55 93
25 39 49 63
25 39 49 75
25 39 49 93
25 39 85 87
25 49 57 75
25 49 65 77
25 49 75 99
25 51 55 87
25 51 81 91
25 55 57 69
25 55 57 99
25 55 69 87
25 55 69 99
25 55 87 99
25 57 69 85
25 57 75 91
25 57 81 85
25 57 81 91
25 63 75 91
25 65 77 91
25 69 85 87
25 77 91 95
27 33 49 91
27 35 39 65
27 35 45 77
27 35 51 95
27 35 69 77
27 35 69 95
27 35 77 87
27 45 55 91
27 49 55 75
27 55 81 91
27 55 85 99
27 69 77 95
33 35 63 95
33 35 69 95
33 35 95 99
33 39 55 85
33 39 65 95
33 45 49 85
33 49 55 69
33 49 55 75
33 49 57 91
33 49 91 99
33 51 65 95
33 55 85 93
33 65 69 95
35 39 63 65
35 39 65 93
35 45 51 77
35 45 69 77
35 51 63 65
35 51 65 81
35 51 81 95
35 51 93 95
35 63 65 99
35 63 69 95
35 63 81 95
35 63 93 95
35 63 95 99
35 65 93 99
35 69 77 87
35 69 93 95
39 49 51 91
39 49 91 93
39 55 57 85
39 55 85 87
39 55 85 99
39 57 77 95
39 63 65 95
45 49 55 63
45 49 63 85
45 49 85 99
45 55 91 93
49 51 57 91
49 51 91 99
49 55 69 75
49 57 91 93
49 65 77 85
49 85 93 99
49 87 91 93
49 91 93 99
51 55 57 85
51 55 85 87
51 55 85 93
51 55 87 91
51 57 85 91
51 65 81 95
51 85 87 91
55 57 85 87
55 57 85 99
55 65 77 91
55 77 91 95
55 85 87 99
57 77 95 99
57 81 85 91
63 65 69 95
63 75 85 91
65 77 87 99
25,39,49,93
Wszystkie są złożone oraz nieparzyste.
A czy wszystkie cztery mogą być kwadratami?
9,49,81,121
🙂
Czemu nie? 9, 25, 49, 59049 🙂
mp
Mogą być cztery złożone i takich zbiorów jest sporo (174 dla liczb poniżej 100): najmniejszy to {9, 15, 65, 77}
Mogą też być trzy złożone
np: {1, 9, 21, 49},{9, 11, 21, 77},{9, 15, 17, 35}, {9, 15, 35, 59}
(pierwsza pierwsza, druga, trzecia lub czwarta)
Udowodnione komputerowo 🙂
Pozdrawiam
PS> Mniejszy może być zbiór {1, 1, 1, 3} dopuszczając powtórzenia.
Czwórek to chyba sporo jest np: 9, 25, 39, 49
Nie ma powodu, dla którego nie mogłyby to być 4 liczby złożone. Wziąłem 3 kwadraty (9, 25, 49). Zauważyłem, że jedna liczba jest postaci 3k, a dwie 3k+1, tak więc czwarta musiałaby być 3k, co łatwo zauważyć. Już przy 39 był sukces, bo liczby 73, 83, 97 i 113 są pierwsze. Takich czwórek liczb złożonych jest zapewne nieskończenie wiele, wystarczyło jednak podać jeden kontrprzykład.
Ciekawe, że dopełnieniem tercetu kwadratów także może być kwadrat. A jaki?
mp
Dopełnieniem tercetu 9-25-49 mogą być np. 27225, 59049.