Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

4.07.2018
środa

Taki ciąg

4 lipca 2018, środa,

Oto początek ciągu utworzonego zgodnie z pewną zasadą:
1, 3, 7, 9, 31, 63, 139, 147, 157,…
Gdybym zapytał o następny wyraz i podanie zasady rządzącej tym ciągiem, zadanie byłoby wyjątkowo nieprzyjazne. Zasada jest bowiem tak nietypowa i zakręcona, że nawet podanie wielu kolejnych wyrazów nic by nie pomogło. Bezskuteczne jest także szukanie odpowiedzi w encyklopedii ciągów.
Na takiej samej zasadzie oparty jest ciąg zaczynający się od trzech:
3, 5, 9, 29, 33, 41, 207,…
Podpowiedzią w rozwikłaniu zagadki może być spostrzeżenie, że wszystkie liczby są nieparzyste, a także to, że choć trójka występuje w obu ciągach, to wyrazy za nią są w obu przypadkach inne. Jednak to niewiele pomaga.
Zasada jest następująca:
każdy następny wyraz jest najmniejszym z możliwych – takim, że każde cztery kolejne wyrazy tworzą taki zbiór liczb, że suma każdych trzech z nich jest liczbą pierwszą.
Na przykład, trzy sumy liczb ze zbioru {7, 9, 31, 63} równe są: 47 (7+9+31), 79 (7+9+63) i 103 (9+31+63).

A zadanie domowe jest następujące:
Proszę spróbować utworzyć początek ciągu (pięć wyrazów) o bliźniaczej własności, czyli:
każdy następny wyraz powinien być najmniejszym z możliwych – takim, że każde PIĘĆ kolejnych wyrazów powinno tworzyć taki zbiór liczb, aby suma każdych trzech z nich była liczbą pierwszą.

PS chodzi o ciąg rosnący (dopisane 04.07.2018 o 12.52)

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 20

Dodaj komentarz »
  1. Nigdzie nie jest napisane, że ciąg musi być rosnący. Wręcz przeciwnie, „najmniejsza możliwa” kieruje wzrok na liczby jak najmniejsze. Do opisu pasują zatem ciągi:
    1, 1, 1, 1, 1
    1, 3, 1, 3, 1

    Gwoli formalności dopisałem. Mam nadzieję, że inne dopiski nie będą konieczne (np. że chodzi o liczby naturalne).
    mp

  2. 5-23-31-43-45
    Pozdrawiam, Ola

  3. Pomyłka, piąty wyraz to 145 nie 45:
    5-23-31-43-145

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Którego warunku nie spełnia ciąg 5-23-31-43-145?

  6. OK, już widzę, zapomniałam o sumie wyrazów 3., 4. i 5.
    Mam pytania:
    a) Czy zacząć można od dowolnego wyrazu?
    b) Do czego w praktyce sprowadza się zalecenie „najmniejszy z możliwych następny wyraz”, jeśli chodzi o drugi wyraz? Przecież dwa wyrazy to jeszcze nic – ich suma nas nie interesuje. Czy to jest nakaz, żeby drugi wyraz różnił się o 2 od pierwszego wyrazu?
    c) Czy staramy się znaleźć ciąg o małych różnicach? Nie tylko „możliwie najmniejszych” ale po prostu najmniejszych (w odniesieniu do różnic występujących w innych ciągach spełniających zadane warunki)?

    a) tak
    b) najmniejszy z możliwych drugi wyraz powinien być taki, aby trzeci wyraz był najmniejszym z możliwych itd.
    c) możliwie najmniejszych (zaczynając od danego wyrazu)
    mp

  7. 31+43+145 = 219 = 3*73 – półpierwsza, niestety nie pierwsza.

  8. Miałem podobne wątpliwości jak p. Ola i doszedłem do następujących przemyśleń.

    Najpierw wygodna definicja:
    Skończony zbiór /ciąg rosnący/ liczb naturalnych ma własność S3P, jeśli suma jego dowolnych 3 (różnych) elementów jest liczbą pierwszą.
    Uwagi:
    1) Formalnie każdy zbiór mniej niż 3-elementowy ma własność S3P.
    2) Podzbiór zbioru o własności S3P dziedziczy tę własność.

    Dwa ciągi przykładowe miały taką własność, że ich dowolne 4 kolejne wyrazy miały własność S3P. Były to ciągi rekurencyjne rzędu 3, np. ciąg Fibonacciego jest rekurencyjny rzędu 2. W odróżnieniu od ciągu Fibonacciego, tu warunek początkowy składa się z 3 wyrazów i to nie dowolnych (muszą sumować się do liczby pierwszej). Ale podobnie do ciągu F. można zawsze znaleźć kolejny wyraz.

    Trzeci ciąg, niewiadomy, powinien mieć taką własność, że dowolne 5 kolejnych jego wyrazów ma własność S3P. Byłby to więc ciąg rekurencyjny rzędu 4. Jednak tu występuje inny problem – trudno znaleźć dopuszczalną (uwaga 2) czwórkę początkową, dla której istnieje w rozsądnym zakresie taki piąty wyraz, że cała piątka ma własność S3P (oczywiście wybralibyśmy najmniejszy taki wyraz, ale to już pryszcz).

    Przejrzałem sporo przeróżnych dopuszczalnych czwórek początkowych (4 trójki o sumach pierwszych) i zawsze mogłem znaleźć taki piąty element, że 5 trójek z tym elementem miało sumy pierwsze, ale nigdy wszystkie 6. Mogłem też znaleźć 5-ty element tworzący wszystkie 6 trójek o sumach pierwszych, ale tylko dla niedopuszczalnych warunków początkowych o max 3-ech sumach pierwszych (zamiast 4). Zawsze więc tylko 9 trójek wyjętych z 5-ciu elementów miało sumy pierwsze, ale nigdy wszystkie 10.

    Powątpiewam aby taką piątkę można było wydedukować. Albo jest to zadanie mozolne na upór i łut szczęścia, albo zadanie dla programisty. Chyba żeby… pan Marek trochę z nas zażartował. To sformułowanie dyspozycji zadania „Proszę spróbować utworzyć początek ciągu” jakby dopuszcza niepowodzenie takich prób…

  9. W nawiązaniu do słów Markoniusza i w ramach podnoszenia bieżącej aktywności na blogu 😉

    Zestaw nie jest najmniejszy, ale chciałem zamieścić coś większego, żeby było ciekawiej.
    83,89,167,307,337

    Jedna „czarna owca”:
    83+89+167=339 nie jest liczbą pierwszą.

    Dodatkowe cechy zbioru :
    – wszystkie elementy są liczbami pierwszymi
    – suma wszystkich elementów jest liczbą pierwszą

    Spodziewałem się wzrostu aktywności w związku z ostatnim zdaniem komentarza Markoniusza 🙂
    mp

  10. Markoniusz ma rację: nie ma takiego ciągu. Dowód może być na przykład taki:
    Każda liczba naturalna podzielona przez 3 daje albo resztę 0 (R0), albo resztę 1 (R1), albo resztę 2 (R2).
    Liczba R0 + R0 + R0 jest podzielna przez 3.
    Liczba R1 + R1 + R1 jest podzielna przez 3.
    Liczba R2 + R2 + R2 jest podzielna przez 3.
    Liczba R0 + R1 + R2 jest podzielna przez 3.
    Z powyższych zależności wynika, że wśród poszukiwanych pięciu liczb nie mogą się znaleźć jednocześnie R0, R1, R2 oraz nie mogą się znaleźć trzy R0, trzy R1, trzy R2. Nie sposób zatem utworzyć zestawu pięciu liczb takich, żeby którakolwiek z żądanych sum nie była podzielna przez 3.

  11. A mnie nie dziwi niska bieżąca aktywność, bo każda publikacja wiąże się z ryzykiem.

    Np. gdy pisałem post z datą [5 lipca o godz. 13:04] ostatnim opublikowanym
    postem p. Oli był ten z datą [5 lipca o godz. 8:56]. Dopiero potem pojawiły się kolejne 2 posty – wcześniejsze od mojego, który teraz wygląda na musztardę po obiedzie.
    Z kolei pisząc kolejny post z [5 lipca o godz. 21:48] ryzykowałem, że już czeka na publikację kilka prawidłowych rozwiązań, a ja tu uzewnętrzniam jakieś hamletowskie rozterki…
    Ale też trudno wyobrazić sobie inny system niż wstrzymywanie publikacji prawidłowych rozwiązań – tego wymaga dobro tej zabawy.

    Teraz przychodzi mi do głowy, że ten system wybiórczej publikacji to przykład z zakresu tzw. Wiedzy Wspólnej, która dostarcza wielu ciekawych zadań. Klasyczne ich przykłady dotyczą dżentelmenów w kolorowych lub numerowanych cylindrach, którzy widzą nakrycia głowy sąsiadów ale nie swoje.
    Może ktoś wymyśli jakąś zagadkę z postami zamiast kapeluszy?

    Inny pomysł to Licznik Odpowiedzi Poprawnych, aktualizowany raz dziennie.
    Byłoby to bardzo dyskretne ujawnienie rąbka wiedzy, które nie popsuje dobrej zabawy. Mógłby pojawiać się tylko przy wybranych, trudniejszych problemach, Ale to oczywiście dodatkowe obciążenie gospodarza blogu, którego prowadzenie jest pewnie i tak wystarczająco pracochłonne.

    Posty uwalniam hurtem, stąd musztarda.
    Pomysł LOP-u fajny, tylko żeby gospodarzowi się chciało tak, jak mu się nie chce. A poza tym to jednak nisza.
    mp

  12. PS. Żeby nie psuć zabawy i nie zniechęcać do nadsyłania własnych rozwiązań, LOP mógłby liczyć tak jak prehistoryczni myśliwi czyli:
    nic, jeden, wiele.
    Ci ostatni znali jeszcze wartość „dwa”, ale tak jak proponuję, każdy miałby szansę znaleźć się w pierwszej trójce, tzn. mógłby się łudzić…

  13. Nie chcę wyjść na lizusa (oj tam, najwyżej) ale chwała gospodarzowi, że mu się jednak chce… bo to jednak nisza… a roboty po pachy.

    Nie chcę wyjść na… (sam nie wiem, na co), ale dodam, że roboty za friko.
    mp

  14. LOP istnieje, np. teraz można przypuszczać, że odp. 777, 778, 782, 785, 788 są poprawne.

    Pani Olu, to nie tak, bo niektóre komentarze wędrują do kosza (na prośbę komentatorów). Zdarza się też spam.
    mp

  15. @ OlaGM [8 lipca o godz. 19:00 192792]
    Nie rozumiem, bez liczenia widać że taki ciąg nie może być poprawny (l. parzyste). A tu wręcz żadna suma trójek nie jest pierwsza…?

    Nie chodzi o ciąg, lecz o numery komentarzy.
    mp

  16. I jak ten LOP podejrzeć? Bo przecież to nie liczba komentarzy…

  17. Jeśli jakiś komentarz nie zostaje ujawniony, to zawsze zakładam, że jest tam trafna odpowiedź. Nie musi być, jak wyjaśnił Pan Marek, ale i tak lepszego LOP-u nie ma. Z obecnych numerów można wywnioskować, że dobrych odpowiedzi jest 5, a ostatnia (788) pojawiła się nie później niż 7 lipca rano.

    PaniOlu, nieujawnione ujawnię dziś wieczorem. Będzie Pani zaskoczona.
    mp

  18. Ha, ha, siła sugestii. W komentarzu p. Oli numery zostały obcięte i było ich 5, a chwilę przed jego przeczytaniem badałem całkiem podobne zestawy liczb (tyle że oczywiście nieparzystych)… Ale z coraz większym przekonaniem że to syzyfowe prace.

  19. O! Tak, jestem zaskoczona 🙂
    Pozdrawiam, Ola

  20. Brawo p. Olu!

    Nawet wczoraj poszedłem chwilę tropem reszt mod 3 ale nie doszedłem do żadnej konkretnej konkluzji a analiza wszystkich przypadków wydała mi się b. skomplikowana. Czyli byłem tak blisko rozwiązania jak nasza reprezentacja wygrania mundialu 😉

    A tu powala celność i prostota konkluzji!

    Ze względu na przemienność i łączność sumowania wystarczy dla ułatwienia rozważać niemalejące ciągi możliwych reszt (mod 3) pięciu liczb. Albo wystąpią wszystkie 3 różne wartości reszt, albo jakaś wartość co najmniej 3x. A to oznacza że suma jakiejś trójki wybranej z tej piątki będzie podzielna przez 3 czyli złożona.

  21. Dziękuję bardzo! 🙂

css.php