Ratuj Sokratesa
Sokrates został skazany na śmierć przez wypicie trucizny. Prezes trybunału postanowił jednak dać mu szansę.
Przed delikwentem postawiono dwa identyczne puste pudełka oraz 20 buteleczek – w 10 z nich była czysta woda, w 10 pozostałych roztwór, zawierający truciznę. Przyglądając się uważnie, nietrudno było określić, co znajduje się w każdym naczyniu.
Sokratesa poinformowano, że powinien rozmieścić wszystkie buteleczki w pudełkach w dowolny sposób. Następnie oba zostaną zamknięte i do akcji przystąpi egzekutor, który najpierw wybierze na chybił trafił jedno pudełko, a następnie otworzy je, po omacku wyjmie z niego jedną buteleczkę i poda Sokratesowi, aby ten wypił jej zawartość.
Jak Sokrates powinien rozmieścić buteleczki w pudełkach, aby miał największą szansę (jaką?) na uratowanie życia?
Komentarze
Nie lubię komplikować spraw…
do pierwszego pudełka wkładam same trucizny, do drugiego sama wodę, mamy szanse na przeżycie pół na pół. Intuicyjnie wydaje mi się, że nie sposób zwiększyć szans ponad 50% bez możliwości późniejszych ‚roszad’ z zawartościa pudełek.
Z prawdopodobieństw i probabilistyki jestem noga… więc będę się tej odpowiedzi trzymać.
Jest to chyba znane zadanie i nie ma haczyka? Należy jedną buteleczkę z wodą wstawić do jednego pudełka, a 19 do drugiego. Wtedy przy wylosowaniu pierwszego pudełka ma się pewność przeżycia. Przy wylosowaniu drugiego szansa nadal jest: 9/19. Mamy więc 1/2 + 9/19*1/2 = 19/38+9/38 = 28/38 = 14/19, niecałe 74%. Przy n dążącym do nieskończoności szansa będzie się zbliżać do 3/4.
Znane zadanie? Proszę o wskazanie jakiegoś miejsca (w publikacji lub w sieci), w którym jest to zadanie?
Co oznacza n?
mp
@Wiąz: No tak… Sokratesa to Ci się nie chce ratować, ale gdybyś stał na jego miejscu, to błyskawicznie znalazłbyś sposób na zwiększenie swoich szans 🙂
🙂 zmobilizował mnie Pan 🙂 strzelam drugi raz (no może prawie strzelam, bo sprawdziłem dla 2 butelek wody w jednej skrzynce i wyszło trochę mniej):
1) 1 woda
2) 9 woda, 10 trutka
daje to nam około 0,5 + 0,5*(9/19)~=0,7368 na zwycięstwo…
Jeżeli egzekutora nie zdenerwuje niemożność wyjęcia buteleczki z pudełka,
to trzeba wszystkie włożyć do jednego, co da nam przeżywalność 3/4.
W przeciwnym przypadku (gdy termin „rozmieszczenie w pudełku” nie zawiera się w terminie „rozmieszczenie w pudełkach”) należy w jednym z pudełek umieścić jedną buteleczkę z wodą, a w drugim – pozostałe 19, co da przeżywalność 14/19.
Przede wszystkim należy zaznaczyć, że mimo iż nie jest to wprost napisane, to w każdym pudełku musi znaleźć się przynajmniej jedna butelka.
Przyjmijmy, że butelek każdego rodzaju mamy n (a nie 10, jak w treści zadania).
Prawdopodobieństwo przeżycia wynosi (3n-2) / (4n-2), co dla wartości n = 10 daje 28/38 = 14/19 ~= 0.736842105…
======== Rozwiązanie brzydkie ========
Załóżmy, że do pierwszego pudełka włożyliśmy w sumie s butelek, z których a zawiera wodę. Załóżmy również, że liczby te opisują pudełko, w którym znajduje się w sumie co najwyżej n butelek (możemy, bo skoro 2n butelek rozmieszczamy w dwóch pudełkach, to w jednym z nich liczba butelek nie przekroczy n).
Mamy zatem ograniczenia: 1 ‹= s ‹= n oraz 0 ‹= a ‹= s
Prawdopodobieństwo przeżycia, jeśli kat wybierze pierwsze pudełko wynosi a/s. Podobnie, jeśli kat wybierze drugie pudełko, to mamy szansę przeżycia (n-a)/(2n-s).
Zatem funkcja opisująca nasze szanse na przeżycie wyraża się następującym wzorem (zależnym od a i s):
p(a, s) = 0.5 * (a/s + (n-a)/(2n-s)) = 0.5 * (2na + ns – 2as) / (2ns – s^2) = 0.5 * (2a*(n – s) + ns) / (2ns – s^2)
I teraz jedyne co musimy zrobić, to znaleźć maksymalną wartość tej funkcji. Jak to robimy?
Po pierwsze: zauważamy, że funkcja p jest funkcją liniową względem parametru a (tzn. przy ustalonej wartości s). Dodatkowo współczynnik stojący przy a, tzn. (n-s)/mianownik jest nieujemny. Zatem wartości funkcji p wzrastają (a raczej niemaleją) wraz ze wzrostem wartości a.
To znaczy, że największą wartość osiągniemy ustawiająć a = s. Wtedy mamy:
p(a, s) = p(s, s) = 0.5 * (s/s + (n-s)/(2n-s)) = 0.5 * (2 – n/(2n – s))
Tutaj natomiast widzimy, że największą wartość funkcja przyjmie, gdy ułamek n/(2n-s) będzie najmniejszy, tzn. jego mianownik 2n-s największy, tzn. gdy s będzie najmniejsze z możliwych, tzn. s = 1.
A zatem funkcja p przyjmuje największą wartość dla a = s = 1 i wartość ta wynosi:
p(1, 1) = 0.5 * (1/1 + (n-1)/(2n-1)) = 0.5 * (3n-2)/(2n-1) = (3n-2)/(4n-2)
======== Rozwiązanie ładne ========
Podobnie jak powyżej załóżmy, że w pierwszym pudełku umieściliśmy niewięcej butelek niż w pudełku drugim.
Niech w pierwszym pudełku będzie b butelek, z których a jest z wodą.
Analogicznie w drugim pudełku mamy d butelek, z których c jest z wodą.
Z narzuconych ograniczeń mamy: a+c = n, b+d = 2n oraz b ‹= d.
Prawdopodobieństwo przeżycia, to oczywiście 0.5 * (a/b + c/d)
Teraz skoncentrujmy się tylko na maksymalizacji wartości a/b + c/d. Osiągniemy to dzięki odpowiedniemu przekładaniu butelek z wodą i trucizną.
Jeśli w pierwszym pudle mamy butelki z trucizną, w drugim pudle musimy mieć butelki z wodą (skoro w pierwszym pudle jest butelka z trucizną, to a ‹ b ‹= n, czyli a ‹ n, co wobec równości a+c = n daje c›0) – przenosimy zatem jedną butelkę z trucizną z pierwszego pudła do drugiego, oraz butelkę z wodą z drugiego do pierwszego.
Ta operacja nie zmienia wartości b i d, a wzrasta o 1 natomiast c maleje o 1. Zatem nasza wartość a/b + c/d wzrosła o 1/b – 1/d, natomiast 1/b – 1/d ›= 0, bo b ‹= d.
Powyższą operacje wykonujemy tak długo, aż w pierwszym pudle pozostaną same butelki z wodą, tzn. a=b.
W drugim etapie będziemy przenosić butelki z wodą z pierwszego pojemnika do drugiego (o ile w pierwszym są conajmniej dwie takie butelki).
Pojedyncze przeniesienie powoduje zmniejszenie wartości a,b o 1 oraz zwiększenie wartości c, d o 1. Wartość a/b pozostaje bez zmian (bo a=b), natomiast wartość c/d zostaje zastąpiona wartością (c+1)/(d+1).
Pozostaje zauważyć, że (c+1)/(d+1) ›= c/d, bowiem po przemnożeniu obu stron nierówności przez oba mianowniki otrzymujemy (c+1)d ›= c(d+1), czyli cd+d ›= cd+c, czyli d›=c co jest oczywiście prawdą.
W ten sposób dotarliśmy do stanu a=b=1, co oznacza, że najlepszym rozwiązaniem jest pozostawienie w jednym pudle tylko jednej butelki z wodą. Oczywiście teraz już łatwo znajdujemy wzór ogólny na prawdopodobieństwo przeżycia, czyli 0.5 * (1 + (n-1)/(2n-1)) = (3n-2)/(4n-2).
Jak wszystkie butelki będą w jednym pudełku to będzie miał 75% szans na przeżycie.
Do pierwszego pudełka jedną buteleczkę z wodą, do drugiego pozostałe buteleczki. Szansa wylosowania buteleczki z wodą wyniesie 14/19.
Do pierwszego pudełka 1 buteleczka z wodą.
Do drugiego pudełka reszta buteleczek.
Szansa przeżycia 0.73684210526315789473684210526316
(no chyba że można w pudełeczku umieścić zerową ilość buteleczek, to wtedy 0.75)
przy okazji:
jak miała na imię ta na „K”
Ksantypa czy jakoś tak
więc czy naprawdę warto tak się męczyć myśleniem?
Na pewno znałem to zadanie w wersji o kulkach w dzbanach, ale to było dawno temu, z którejś z książek w wersji papierowej, po polsku, Hodża Nasreddin, czy coś podobnego. Należało rozdzielić 6 kul, 3 białe i 3 czarne, na 2 dzbany, żeby zmaksymalizować szansę, potem się losowało dzban i wyciągało w ciemno kulę. Co do n, to można powiedzieć, że w zadaniu o kulach było n=3, w naszym zadaniu n=10.
Czyli zapewne jedna z cyklu książek Zdzisława Nowaka. Sprawdzę przy okazji, bo lubię takie ciekawostki. A może potwierdzi to ktoś z komentatorów i poda konkretny tytuł.
mp
Jedna pusta osobno, reszta do drugiego pudła.
P = 1/2 + (9/19)/2 = 28/38
To była pierwsza myśl, ale chwilę później uświadomiłem sobie, że Sokrates nie zdecydował się na taki banał, jak ocalenie życia, gdy otworzyła się przed nim możliwość zawieszenia między życiem a śmiercią na wieczność. Sokrates wrzuciłby wszystkie butelki do jednego pudła i zacisnąłby kciuki, by egzekutor nie zauważył wybrzuszeń na jego ściankach (bo to małe pudło było).
Jeszcze łut szczęścia i… (biedny egzekutor, swoją drogą)
Chyba trudniej byłoby podpowiedzieć Sokratesowi, gdyby nakazano mu umieścić w każdym pudle co najmniej jedną butelkę z trucizną.
Jeszcze trudniej, jeśli powiemy, że jest N butelek z wodą i M butelek z trucizną. Przykładowo dla N=100 i M=1000 już odpowiedź nie jest oczywista.
Zmaksymalizowanie szansy na wylosowanie buteleczki z wodą nastąpi, gdy w pierwszym pudełku będzie tylko jedna buteleczka z wodą, zaś wszystkie pozostałe, tj 9 buteleczek z wodą i 10 z trucizną znajdą się w drugim pudełku. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania buteleczki z wodą będzie wynosić 14/19, a więc sporo ponad 50%.
Szansa na życie znacznie wzrośnie jeśli do pierwszego pudełka włożę jedną buteleczkę z wodą ( pewne 50% na wybór tego pudełka ) a do drugiego włożę wszystkie pozostałe 19 czyli 9 z wodą i 10 z trucizną. Jeśli kat wybierze to pudło to nadal mam 47,3 % szansy na życie.
Pierwsze co przychodzi mi do głowy to do pierwszego pudełka wrzucamy 1 butelke z wodą, a do drugiego 10 trucizn i 9 wód 😉
Jeżeli wybrane zostanie pierwsze pudło to mamy 100% pewności, że Sokrates wyjdzie z tego cało.
Jeżeli wybrane zostanie drugie pudło to mamy 9/19 szans na to, że Sokrates wyjdzie z tego cało. 9/19 daje nam 47,37% pewności powodzenia.
Więc w sumie mamy 147,37% / 2 = 73,68 % pewności.
Jeśli tak można, to najlepiej włożyć wszystkie buteleczki do jednego pudełka. Wtedy szansa przeżycia wynosi 75%. Jeśli jednak nie dopuszczamy, żeby któreś pudełko było puste, to należy włożyć jedną buteleczkę z wodą do jednego pudełka, a pozostałe 19 do drugiego. Szansa na przeżycie wynosi wtedy ok. 73,68%
Niestety Sokrates nie miał szczęścia i wylosował butelkę z trucizną. Jednak pewien szaman wie, jak uratować Sokratesa.
Aby zneutralizować truciznę Sokrates musi spożyć po jednej tabletce innych trucizn (typu A i typu B), a po 24 godzinach ponownie po jednej tabletce trucizn typu A i B. Spożycie w jednej chwili większej ilości jednej z tych trucizn niż drugiej powoduje natychmiastową śmierć. Spożycie więcej niż jedna tabletka jednej z tych trucizn również powoduje śmierć.
Sokrates otrzymał od szamana dwie tabletki trucizny typu A i dwie tabletki trucizny typu B. Niestety wszystkie tabletki wyglądają identycznie.
Jakie są szanse, że Sokrates przeżyje tę próbę? Jeśli nic nie zrobi, to zabije go trucizna z butelki otrzymanej od trybunału…
Bardzo możliwe, patrzę do https://pl.wikipedia.org/wiki/Zdzis%C5%82aw_Nowak_%28pisarz%29 i na pewno miałem „Po rozum do głowy: wesoła logika”, któreś z późniejszych wydań. Pamiętam było tam takie ciekawe zadanie, które spodobało mi się, bo w zasadzie wydaje się, że nie da się go rozwiązać, a jednak: jest pięciu podejrzanych o popełnienie złego uczynku i prowadzący śledztwo pyta każdego z nich po kolei, kto to zrobił. Pierwszy mówi, że to nie on, drugi, że nie on, trzeci, że zrobił to czwarty, czwarty, że zrobił to piąty, a piąty, że nie on. I na podstawie tych informacji należy wskazać jeśli nie sprawcę, to co najmniej głównego podejrzanego.
Nie jestem jednak na 100% pewien, czy zadanie o kulach jest z tej książki, i czy w ogóle Zdzisław Nowak. Jak Pan znajdzie, to będę wdzięczny za informację.
Do pierwszego pudełka wkładam tylko jedną butelkę z wodą, do drugiego 19 pozostałych butelek. Prawdopodobieństwo uratowania Sokratesa wynosi: 1/2 * 1 + 1/2 * 9/19 = 28/38
@ miodziu
super zadanko
moja odpowiedź to 33.(3)%
Do jednego pudełka należy włożyć fiolkę z wodą a do drugiego 9 fiolek z wodą i 10 z trucizną. Wówczas prawdopodobieństwo przeżycia wyniesie 1/2*1=1/2*9/10 = 19/20 = 0.95, czyli całkiem sporo.
A co do zadania miodzia należy przełamać każdą tabletkę na pół i zjeść najpierw po jednej połówce, a po 24 godzinach po drugiej polówce.
@miodziu
Jeżeli można podzielić tabletki na dwie równe części, to Sokrates może wziąć z każdej po połowie. Da to w sumie 1 całą tabletke A i 1 całą tabletke B. Po 24h zjada te, które mu pozostały i… po raz kolejny wygrał życie 😉
@miodziu
Szanse Sokratesa na ujście z życiem, zdając się całkowicie na los wybierając dwie tabletki do połknięcia razem, wynoszą 50%.
@kroQ
Zaproponowałbym pewną modyfikację pomysłu, jako że z doświadczenia wiem, iż dzieląc tabletkę rzadko kiedy otrzymuje się dwie równe części. Lepiej byłoby wrzucić wszystkie cztery tabletki do moździerza, rozgnieść je na pył, dokładnie wymieszać i po tej operacji każda miarka tej mieszaniny będzie zawierała równą część substancji A i substancji B.
Sokrates powinien włożyć wszystkie butelki do jednego pudełka a drugie powinno pozostać puste. Szansa na przeżycie wynosi wtedy p = 3/4. Gdyby natomiast o życiu Sokratesa decydował dajmy na to prokurator wojskowy z lat 50-tych ubiegłego wieku to dokonałby drobnej korekty przekładając jedną butelkę z trucizną do pustego pudełka. W tej sytuacji szansa przeżycia Sokratesa dramatycznie spada do p = 0,263158.
Wszystkie butelki do jednego pudełka, wtedy szansa przeżycia wynosi 3/4.
Jeśli pozostawienie pustego drugiego pudełka nie jest akceptowane, to trzeba tam umieścić jedną butelkę z wodą, wtedy szansa przeżycia maleje do 28/38.
W jednym pudełku należy umieścić flaszkę z wodą a pozostałe flaszki w drugim.
Prawdopodobieństwo wylosowania flaszki z wodą wyniesie wówczas
(1/2) *1+(1/2)*(9/19)=14/19
Sokrates nie ma łatwego życia. Po uporaniu się z truciznami wpadł w ręce zbójców, którzy również chcą go poczęstować trucizną.
(Zbój): Masz tu trzy pudła. W jednym jest butelka z wodą, w pozostałych butelka z trucizną. Wybierz sobie jedno pudło, to właśnie z niego będziesz musiał wypić napój. Po wypiciu napoju puszczę Cię wolno.
(Sokrates): Wybieram to pudło (i wskazał jedno z pudeł). Może pokażesz mi w którym z pozostałych pudeł jest trucizna?
(Z): Dobrze (i otwarł jedne z pozostałych pudeł – była tam trucizna).
(S): A czy mogę zmienić wybór? Chciałbym zamienić moje pudło na to trzecie (tzn. to, którego nie wybrał początkowo Sokrates i którego nie otworzył Zbój).
Czy Sokrates dobrze robi zmieniając pudło? Jakie ma szanse na przeżycie?
„No to trzeba było od razu mówić”, że dwie różne tabletki.
(tak naprawdę to moja pomyłka, bo na szybko pisałem poprzedni komentarz)
W takim razie prawdopodobieństwo przeżycia to 2/3 czyli 66.(6)%
@ tabletki miodzia
Sokrates ma szansę przeżycia równą 50%.
(wygląda na to, że wcześniej rozwiązywałem jakieś inne zadanie)
Do jednego pudła wsadzamy jedną butelkę z wodą, do drugiego wszystkie pozostałe; wówczas szansa na przeżycie wyniesie prawie 74%. Najważniejsze, żeby się nie pomylić, bo wtedy szanse się odwrócą 😉
Kiedyś rozwiązywałem z zasady identyczną łamigłówkę i wydaje mi się, choć nie mogę tego teraz sprawdzić, że znalazłem ją w zbiorze zadań wydanym przez Autora 🙂
Chociaż statystyka jest mi zupełnie obca postanowiłem jednak trochę podejść na „chłopski rozum” do całego problemu. Pierwsza myśl- najwyżej 50% szans:
1 wariant: do 1 pudełka 10 butelek z wodą, do 2 pudełka 10 butelek z trucizną. Przy pierwszym wyborze kata (tj. wybór samego pudełka) szanse Sokratesa wynoszą 50%, przy 2 wyborze kata (tj. wybór butelki) szanse są albo 100% (gdy pudełko z wodą) albo 0% (przy butelkach z trucizną). Wychodzi na to, że szanse na przeżycie Sokrates ma jedynie 50% 🙂
2 wariant: do każdego pudełka po 5 butelek i z wodą i z trucizną. Jako że wybór pudełka w takim wypadku nie ma znaczenia, obydwa mają taką samą zawartość to faktycznie istotny jest tylko 2 wybór- samych butelek w pudełku. Jako że i z trucizną i z wodą jest tyle samo- znowu mamy wynik 50%
3 wariant, zwiększający (moim zdaniem, nie poparty profesjonalnymi wyliczeniami statystycznymi) prawdopodobieństwo przeżycia: nie ma w tej zagadce mowy o tym, że musi być taka sama ilość butelek w każdym pudełku. Do 1 pudełka wsadzamy 1 butelkę z wodą, do 2 pudełka pozostałe 19 (9 z wodą, 10 z trucizną). Przy 1 wyborze kata znowu mamy 50 % szans na pozytywny dla Sokratesa wybór, ale w wypadku wyboru pudełka z 1 butelką wody ma 100% na przeżycie, a przy wyborze 2 pudełka (9 woda, 10 trucizna) 9/19 * 100% szansy na przeżycie, co może jest trochę poniżej 50% ale i tak wydaje się całkiem dobrym wynikiem zważywszy na „pewniaka” jakim jest 1 pudełko. Ktoś może potwierdzić ewentualną poprawność mojego rozumowania?
Trzeci wariant jest właściwy.
mp
@ miodzio
Sokrates przeżyje z p=2/3
Mój ostatni wpis dotyczy tabletek A i B, ale odpowiedź dla zbójów z butelkami jest taka sama, tzn. Sokrates powinien zmienić pudło i wtedy ma szansę przeżyć z p=2/3. Jeśli nie zmieni to przeżyje z p=1/3.
@miodziu – pudła
Widać, że ów systematycznie truty Sokrates głowę ma nie od parady. Decydując się na zmianę pierwotnie wybranego pudła dwukrotnie zwiększa swoje szanse na przeżycie tej próby. W tej sytuacji jego szanse wynoszą 2/3.
@miodziu
Oczywiście, że powinien zmienić to pudło.
Typowe zagadnienie z użyciem paradoksu Monty’ego Halla.
@ Jędrek-bis
A swoją drogą, Twoje moździeżowe rozwiązanie problemu tabletek, powinno zostać odnotowane w annałach obok „jajka Kolumba ” i „węzłów gordyjskich Aleksandra” 😉
Jeśli Sokrates umieści wszystkie buteleczki w jednym pudełku, to:
1/4 – minimalne prawdopodobieństwo utraty życia,
1/4 – minimalne prawdopodobieństwo ocalenia,
1/2 – prawdopodobieństwo, że nastąpi ERROR, tj. nie wiadomo co się wydarzy, gdy egzekutor nie znajdzie buteleczki po wylosowaniu pustego pudełka. Nie można więc precyzyjnie ocenić prawdopodobieństwa ocalenia życia Sokratesa. Można postawić hipotezę o tym, że poszukiwanie buteleczki ‚po omacku’ będzie trwało >nieskończenie< długo, tj. tak długo dopóki egzekutor będzie w stanie szukać.
Zamiast ryzykować, lepiej dla pewności włożyć jedną buteleczkę z wodą do jednego pudełka, a do drugiego resztę buteleczek. Wtedy szansa na ocalenie to 14/19. 😉
Daję Sokratesowi 73,68% szans na przeżycie. Do jednego pudełka wkładam jedną fiolkę z wodą a do drugiego pozostałe 19 fiolek. No chyba, że można wszystkie fiolki włożyć do jednego pudełka a drugie pozostawić puste (wszak mamy dowolność rozmieszczania fiolek), to wtedy szanse wzrastają do 75%.
Nie mam pojęcia, jak rozmieścić butelki, proponuję zatem, aby przed wypiciem Sokrates zapoznał się z ulotką dołączoną do opakowania albo skonsultował się z lekarzem lub farmaceutą, zwłaszcza jeśli podejrzewa, że specyfik może zagrażać jego życiu lub zdrowiu 😉
Mój 10-letni syn wymyślił, że Sokrates powinien położyć w każdym pudełku na dno 5 butelek z trucizną, a na wierzch – 5 butelek z wodą.
Rozwiązanie 10-latka genialnie proste i praktyczne 🙂
mp
Hmm
Czyzby jedno pudelko bylo calkowicie puste, 11/20
Nie no, ja od początku rozumowałem, że jak Sokrates wrzuci wszystkie butelki do jednego pudełka, to będzie to postrzegane jako złamanie reguł i nastąpi w najlepszym przypadku losowanie z drugiego pudełka fifty-fifty lub wręcz jakaś „karna butelka”.
Ja nadal tak uważam.
mp
Patrząc na wyniki z rachunku prawdopodobieństwa ja również włożyłbym do jednego pudełka jedną butelkę z wodą, a do drugiego pozostałe 19 (10 z trucizną i 9 z wodą). Chociaż rozwiązanie 10-cio latka genialne 😀 gorzej jakby egzekutor zaczął przebierać w butelkach ;p