Po szóste
W testach na inteligencję i w zbiorkach łamigłówek nierzadko pojawiają się ciągi. Niektóre z nich na tyle często i od tak dawna, że można je uznać za „klasyczne”. Do takich należy następujący:
77, 49, 36, 18, …
Jak zwykle w tego typu zadaniach, chodzi o odkrycie reguły, rządzącej ciągiem i wpisanie kolejnego wyrazu. W tym przypadku szukana liczba kończy ciąg, a zasada jego budowy jest prosta: każdy następny wyraz otrzymujemy, mnożąc przez siebie cyfry poprzedniego. Na końcu pojawi się więc 8.
Ciągi jako testy lub łamigłówki są często niejednoznaczne, czyli można znaleźć więcej niż jedno rozwiązanie. Dotyczy to także powyższego ciągu. Gdyby jego piątym wyrazem było 9, to jaki byłby szósty wyraz w ciągu: 77, 49, 36, 18, 9, …? Odpowiedź należy oczywiście uzasadnić, czyli podać regułę budowy ciągu.
Zadanie pochodzi ze styczniowego Świata Nauki. Przytaczam je, ponieważ ciekaw jestem, ile można znaleźć różnych rozwiązań. W związku z tym, jeśli zbierze się przynajmniej pięć jednakowych, uwolnię je i będę oczekiwał (niewykluczone, że bezskutecznie) na następne – inne.
Nie muszę chyba dodawać, że chodzi o w miarę prostą regułę „rozrywkową”, a nie związaną z teorią ciągów liczbowych. Nie musi to być reguła tak prosta, aby każdy wyraz jednoznacznie wynikał z poprzedniego, ale też nie złożona z więcej niż dwu „podreguł”. Wykluczamy także stosowanie trójkąta różnicowego, prowadzącego do wzoru na n-ty wyraz:
a(n)=(17/12)n^4-(35/2)n^3+(925/12)n^2-158n+174
Szóstym wyrazem byłoby wówczas 57.
Komentarze
-9
Od nieparzystego wyrazu odejmujemy podwojoną sumę cyfr, a od parzystego po prostu sumę cyfr
Kolejną liczbę wyznaczmy z iloczynu cyfr poprzedniej minus liczba cyfr tego iloczynu plus dwa
Wychodzi, że kolejnym wyrazem ciągu jest 9 – 1 + 2 = 10
Wydaje mi się, że zmiana projektu graficznego „Polityki” jest niekorzystna dla „niszowych” blogów, trudno tu teraz dotrzeć jeśli się nie wie, czego szukać.
Dzięki temu niszowe blogi pozostają bardzo niszowymi 🙂
mp
Jak można znaleźć różne, to żadne nie będzie idealne 🙂 Stąd ośmielę się przedstawić moje dwa, które średnio mi się podobają, w dwóch osobnych wpisach.
Po pierwsze, postępujemy jak w ciągu wyjściowym, ale jeśli napotkamy jedynkę, to zamiast iloczynu, bierzemy sumę cyfr. Jeśli zaś dojdziemy do liczby jednocyfrowej, następnym wyrazem jest liczba dwucyfrowa złożona z dwóch tych cyfr, czyli 99. W tym wypadku dość szybko wpadniemy w pętlę: 99, 81, 9, 99, etc, także nie jest to udane, ale „reguła dwóch podreguł” jest spełniona.
Drugie rozwiązanie: jak już pisałem, podoba mi się wyjściowa zasada z mnożeniem cyfr, i nie sądzę, by dało się znaleźć jakąś inną lepszą dla czterech pierwszych wyrazów, albo po prostu nie umiem pomyśleć jakoś „w poprzek”. Zasadę można uzupełnić następująco: jeśli suma cyfr dwóch kolejnych wyrazów będzie jednakowa, to kolejnym wyrazem będzie ta właśnie suma cyfr. Nietrudno zauważyć, że wpadamy tu w wyraz 9 aż do nieskończoności, być może można by tu uzupełnić drugą podregułą, zapewniającą ucieczkę od liczby jednocyfrowej, najprostsza to zdublować tę cyfrę, co dałoby 99, 81, 8, 88, 64, 24, 8… i znów pętla, niemniej różnych wyrazów trochę więcej.
Niech S(x) oznacza sumę cyfr liczby x. Wtedy:
dla n nieparzystych: a(n+1) = a(n) – S(a(n))
dla n parzystych: a(n+1) = a(n) – 2*S(a(n))
a(0) = 77
Poszukiwany wyraz a(5) = -9
Gdy S(x) to suma cyfr liczby x, zaś M(x) analogiczny iloczyn, można po prostu:
a(0) = 77
a(n+1) = max(S(a(n)); M(a(n)))
Ciąg stabilizuje się osiągnąwszy 9.
Albo jeszcze coś takiego, nie ukrywam że jestem powodowany niecierpliwością ujrzenia, co wymyślili inni: reguła główna pozostaje, choć nie jest konieczna, można zastąpić ją przez np. „odejmij 28”, a dalej jeśli (#1) otrzymamy kwadrat liczby nieparzystej, to kolejnym wyrazem będzie kwadrat liczby parzystej mniejszej o 1, jeśli zaś (#2) pojawi się kwadrat liczby parzystej, to dzielimy przez dwa aż do skutku, czyli do liczby nieparzystej. Wtedy przypadkiem może być to znów kwadrat liczby nieparzystej. Zgodnie z podregułą #1, kolejnym wyrazem po 9 będzie 4, a zgodnie z #2, następnymi 2 i 1. I znów wchodzi podreguła #1 i mamy 0 (zakładamy, że nie ograniczamy się do liczb naturalnych, i 0 może być). No i potem już zera ad infinitum.
Jeśli każdej liczbie w ciągu nadamy indeks zaczynając od jedynki, to tą szóstą liczbą będzie -9. Kolejną liczbę w ciągu można uzyskać według zasady:
Od liczby o indeksie nieparzystym odejmujemy podwojoną sumę cyfr, a od liczby o indeksie parzystym odejmujemy sumę cyfr. a(n+1)=a(n)-suma_cyfr(a(n))-(n mod 2)*suma_cyfr(a(n))
a(1)=77,
a(2)=77-2*(7+7)=49,
a(3)=49-(4+9)=36,
a(4)=36-2*(3+6)=18,
a(5)=18-(1+8)=9,
a(6)=9-2*9=-9
77
49=7^2
36=6^2
18=suma czynników pierwszych liczby 77 ( zamiast dwóch kolejnych kwadratów)
9=3^2
4=2^2
8=suma czynników pierwszych liczby 18 ( zamiast dwóch kolejnych kwadratów)
a dalej
1
4
6
25
36
i.t.d….
Proponuję następujące zadanie, odkryć regułę dającą następujące ciągi:
60, 13, 14, 10, (8, 7)
77, 19, 20, 10, (8, 7)
99, 18, 9, 7, (8, 7)
66, 17, 18, 9, 7, (8, 7)
nawiasy tradycyjnie oznaczają okres.
Nie wiem czy ilość przykładów nie za bardzo ułatwia rozwiązanie ???
@Spytko: Proponuję następującą regułę:
pierwszych kilka liczb jest ustalonych, a potem występują naprzemiennie 8 i 7 😉
@miodziu: reguła jest jedna, spójna, następny wyraz zależy tylko od poprzedniego 🙂