Złote A4
Przypomnijmy: podział liczby a na dwie liczby b i c (a=b+c) jest złoty, gdy b/c=a/b. Zwykle chodzi o podział odcinka, ale czemuż by np. Duńczyk i Kwinto nie mieli dokonać złotego podziału gotówki podjętej z konta Kramera?
Przy omawianiu złotego podziału zawsze pojawia się wiele przykładów. Mają one podkreślać wagę zjawiska, które jakoby często występuje w naturze i w sztuce. Przykładami sypie np. Dan Brown w Kodzie Leonarda da Vinci. Znaczna większość z nich, jak wykazały badania prowadzone w ostatnich latach, jest przynajmniej mocno naciągana. Tu i ówdzie można też natknąć się na przykłady ewidentnie błędne, np. że złotą proporcję tworzą długości boków kartki formatu A4, czyli że jest to tzw. złoty prostokąt. Tymczasem, jak wiadomo, stosunek długości dłuższego do krótszego boku formatów arkuszy serii A, B i C równy jest sqrt 2, czyli 1,414… Natomiast dla złotego podziału proporcja wynosi fi, czyli 1,618…
Format A4 ma wymiary (zaokrąglone do całkowitej liczby milimetrów) 210×297 mm. Proponuję przerobić go na złoty prostokąt, odcinając z każdej strony pasek jednakowej szerokości. Jaka będzie szerokość tego paska (z dokładnością do dziesiątych części milimetra)?
Komentarze
Szerokość odciętej ramki wynosi 34,62 mm (34,6 mm). Pozostaje prostokąt o wymiarach 140,76 mm na 227,76 mm (140,8 mm / 227,8 mm).
Nb. w stosunku do klasy skomplikowania poprzednich zadań, to jest trywialne.
Kwinto, Duńczyk, Kramer – jeszcze nie przeczytałem treści zadania, a już mi się podoba 🙂
Panie Marku, tak po prostu równanie kwadratowe? Nie ma haczyka?
Chyba nie. Ot, taka prosta ciekawostka dla początkujących i dla odmiany.
m
(210-x)/(297-x) = (297-x)/(210+297-2x), skąd x to z grubsza 69.23.
Upps, jak z KAŻDEJ strony, to wynikiem jest x/2.
Jeśli mniejszy bok kartki ma długość a, dłuższy bok b, a fi = (sqrt(5)+1)/2, to szerokość paska wyraża się wzorem (fi*a-b) / (fi-1)
Dla a=210, b=297 otrzymujemy 69,23104…
Wymiary nowej kartki to około 140,77 x 227,77
Nie wiem gdzie jest tu podstęp. Jeżeli go nie ma, to jest do ułożenia proste równanie:
(297-x)/(210-x)=(1+sqrt(5))/2. Przybliżone rozwiązanie x=69,23 mm.
Zadanie banalne jeśli ma się excela pod ręką.
Należy odciąć 6cm i 9.2mm
Pasek bedzie mial szerokosc 69,2 mm
69.2
(równanie liniowe, http://www.algebrahelp.com)
Z każdej z czterech stron, czy wystarczy ciachnąć raz wzdłuż boku a i raz wzdłuż boku b?
Właściwie to na jedno wychodzi (w jednym przypadku wynik będzie 2 razy mniejszy niż w drugim).
mp
69,2mm
Analitycznie czy w Excelu, z wykorzystaniem narzędzia „szukaj wyniku” – minutka roboty 🙂
Teraz się zastanawiam, czy dobrze zrozumiałem fragment „odcinając z każdej strony”. Jeśli trzeba odciąć pasek z każdego z cztrech brzegów kartki, to wynik będzie oczywiście dwa razy mniejszy.
Nie wiem czy dobrze – bo jakieś zbyt łatwe… odpowiedź: 69,23mm
Do policzenia wystarczył zwykły układ równań:
(297-x)/(210-x) = 1,618…
Pozdrawiam
szerokość paska=69,2233….mm
O ile dobrze zrozumiałem to zadanie wygląda na proste zadanie matematyczne: znajdź x taki, żę (297-2x)/(210-2x) = fi
Rozwiązaniem jest x = 34,6 mm
69,2 mm
Jest to rozwiązanie równania (297-x)/(210-x)=fi
Pasek odcinamy z „każdego” boku rozumiem jako odcięcie wzdłuż krótszego i dłuższego boku a nie wzdłuż wszystkich czterech boków 🙂 co skutkowałoby zmniejszeniem o połowę szerokości odcinanego paska.
Jak z każdej strony, a stron jest cztery, to pasek będzie miał ok. 34.6 mm. Można oczywiście załatwić sprawę dwoma cięciami, wtedy odetniemy 2x szerzej, czyli 69.2 mm.
Musimy odciąć pasek o długości pomiędzy 66,6 a 66,7mm.
Dzisiaj trochę oszukiwałem: wreszcie przydał mi się dodatek Solver w Excelu 🙂
Pozdrawiam
69,2mm
Kwestia zaokrągleń 😉
dokładnie należy odciąć 69,23098mm, aby uzyskać stosunek równy 1,61803398874989. Odcięcie 69,23 daje już całkiem dobre rezultaty.
Pozdrawiam 🙂
Zaokrąglenie było zbyt „kanciaste” 😉
mp
Teraz dopiero zauważyłem, że w podanym przeze mnie wzorze (fi*a-b) / (fi-1) występuje dzielnik (fi-1), który jest równy oczywiście 1/fi. Zatem z wzoru można wyeliminować dzielenie i szerokość paska będzie wyrażała się wzorem (fi*a-b)*fi. Pięknie 🙂
Szerokość to (fi – sqrt(2) ) / sqrt(5) * 210 mm = 19,1 mm
Albo coś pokręciłem albo to było zadziwiająco „szkolne” zadanie.
Chyba jedno i drugie 😉
mp
34,6 mm
wymiary kartki: 227,8 mm x 140,8 mm
To może spytam inaczej:
Czy z każdej strony oznacza: z dwóch? czy z czterech stron?
Z każdej to z wszystkich, czyli z czterech. Może być też z dwóch, ale różnej długości – wtedy oczywiście pasek będzie dwukrotnie szerszy.
mp
Z każdej strony odciąłbym 34,62 milimetra.
Piotr
między 66,6 mm a 66,7 – hmmm, 666? przypadek? 😛
6,1 mm z każdej strony lub po 12,2 z 2 sąsiednich
Ech, zgubiłem jedną dwójkę. 34,616 mm dla A4.
34,665 gdyby liczyć dokładniej, tj. Pole A0 = m^2 i stosunek = sqrt(2).