Teścik 1
Oto zadanie testowe dla kandydatów ubiegających się o intratną posadę. Szybkość udzielenia odpowiedzi ma istotny wpływ na decyzję o przyjęciu do pracy.
Rysunek przedstawia wycinek kołowy, który stanowi 1/6 koła. Czerwone punkty dzielą łuk na trzy równe części. Zielone punkty umieszczone są w odległości jednej trzeciej długości ramion od środka koła. Czy niebieskie odcinki, z których każdy łączy czerwony i zielony punkt, są równoległe, czy nie? A jeżeli nie, to gdzie przecinają się linie proste, których częścią są te odcinki – z prawej górnej czy z lewej dolnej strony? Odpowiedź proszę krótko uzasadnić.
Komentarze
Długość łuku wyznaczonego przez zielone punkty wynosi: 2(pi) 1/6 * 1/3R.
Długość łuku wyznaczonego przez czerwone punkty wynosi: 2(pi) 1/6 * 1/3R.
Łuki wyznaczone przez punkty (na dużym okręgu i okręgu zawierającym zielone punkty współśrodkowym z dużym okręgiem) są równe.
Ale Izielone punktyI nie jest równe Iczerwone punktyI
(Litera I na początku i końcu symbolizuje odległość pomiędzy punktami), gdyż odległością tą jest cięciwa wyznaczona przez punkty na odpowiednich okręgach, a ta jest dłuższa, gdy promień okręgu jest dłuższy (to właśnie dlatego przyśpieszenie dośrodkowe musimy rozpatrywać przy wielkościach dążących do 0, i nie da się tego przekonująco narysować).
Odcinki nie są równoległe, przetną się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych mającego początek w środku okręgu z którego wycięto fragment przedstawiony na rysunku.
Pośpiech zazwyczaj szkodzi, dlatego chciałbym dodać, że odległości będą większe a nie dłuższe, a odcinki się nie przetną, tylko proste je zawierające, reszta moim zdaniem jest OK.
Pozdrawiam 🙂
Tak na szybko to pomyślałem, że tak. Prowadząc promień od ‚czubka’ wycinka do połowy łuku wycinka (coś jak środkowa tego wycinka koła), mamy chyba równe wysokości wszystkich punktów od tego odcinka. Po dłuzym zastanowieniu to wysokość ta zmienia się z sinusem/cosinusem…. chyba… po jeszcze dłuższym to chyba przetną się po lewej stronie wycinka. Wydaje mi się, że wyskość do tej środkowej wycinka koła, idąc po łuku, będzie rosła szybciej na początku i zwolni na końcu (sinus) względem wysokości poruszającej sie po promieniu (boku) łuku. 1/3 odległości wydaje się bliżej początku, choć punkt ‚równowagi’ może być akurat w narysowanej 1/3. Trzeba znaleźć punkt,gdzie wysokość względna jest równa względnej długości łuku….. może to akurat będzie 1/3?????
Nie wiem dokładnie…. dopiero wstałem i jestem przed śniadaniem…. urlop!!!!!! 🙂
Linie proste przetną się z lewej dolnej strony. 😉
Wynika to z tego, że długość łuku jest nieco dłuższa od promienia. Gdyby PI zaokrąglić do 3 to proste byłyby równoległe.
Pozdrawiam.
Odcinki z całą pewnością nie są równoległe.
Gdybyśmy połączyli dwa narysowane promienie okręgu (poziomy i ukośny) uzyskalibyśmy trójkąt równoboczny. Aby odcinki były równoległe musiałyby dzielić dorysowany bok na trzy równe odcinki, lecz wówczas środkowy łuk byłby krótszy od dwóch bocznych. Jeśli odcinki łączą narysowany łuk na równe części oznacza to, że odcinki oddalając się od środka okręgu oddalają się od siebie. Przecięcie wypada więc gdzieś na dole po lewej.
Przetną się po prawej górnej.
dolna prosta ma współczynnik kierunkowy ok. 1,773
górna prosta – 1,692
Wyliczenia:
Założenie: R = 3
? = 1/3? = 20?
współrzędne punktów:
ziel1 (1;0)
czerw1 (3cos; 3sin?)
ziel2 (cos(3?); sin(3?))
czerw2 (3cos(2?); 3sin(2?))
zamiast ? miało być alfa, beta i stopień
Odcinki nie są równoległe, proste przecinają się po lewej dolnej stronie rysunku. Jest tak dla tego że kąt x (patrz link) http://www.bankfotek.pl/view/1555467
jest nieco mniejszy niż 10 stopni (możemy to policzyć np. z tw. cosinusów). Z rysunku widać że odcinki byłyby równoległe gdyby było 2*x=20. Ponieważ jest 2*x < 20 to kąt rozwiera się na wschód a więc przecięcie ramion kąta mamy po lewej stronie rysunku.
Nie są równoległe. Przetną się po lewej stronie. Jeżeli środek koła jest w punkcie (0,0), a promień jest równy 1, to punkt przecięcia prostych ma w przybliżeniu współrzędne (-14.14,-8.16)
z lewej dolnej
Linie sa rownolegle.
Są równoległe. Należy dorysować brakujące ramię trójkąta równobocznego, którego dwa boki tworzą ograniczenia wycinka koła. Problematyczne odcinki dzielą to brakujące ramię na trzy równe części. Powstaje konstrukcja, która jest symetryczna względem prostej dzielącej narysowany kąt na dwie równe części. Z tej symetrii wynika równoległość problematycznych odcinków (prostych). Czy dostanę tę robotę?
Tę nie, ale coś się znajdzie 🙂
mp
Odległość między zielonymi punktami wynosi 1/3 R. Odległość między punktami będącymi przecięciem ramion z okręgiem wynosi R, więc odległość między czerwonymi punktami jest większa niż 1/3 R. Wniosek: odcinki nie są równoległe i proste przetną się z lewej dolnej strony.
R to promień okręgu
Moje rozwiązanie, nie najkrótsze, ale warte prezentacji, przedstawiam w punktach.
1. Wprowadzam oznaczenia: środek okręgu O, górny punkt zielony A, górny punkt czerwony B. Ponadto prowadzę symetralną całej figury i punkt przecięcia jej z łukiem oznaczam S. Jest oczywiste, że miara kąta AOS wynosi 30°.
2. Inna oczywista oczywistość to ta, że odcinki, o które chodzi w zadaniu, będą równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z nich będzie równoległy do symetralnej OS. Tak więc zajmę się równoległością AB i OS, nie wprowadzając żadnych oznaczeń dla punktów w dolnej części rysunku.
3. Należy jeszcze poprowadzić odcinek OB i zauważyć dwie kolejne oczywistości, wynikające z warunków zadania: kąt AOB ma 20°, a kąt BOS 10°.
4. Jeśli proste AB i OS mają być równoległe, to kąt OBA (oznaczony dalej jako beta) też musiałby mieć 10° jako naprzemianległy względem BOS. A kąt OAB, oznaczony jako alfa, 150°, bo trzeci kąt trójkąta AOB wynosi na pewno 20°.
5. Twierdzenie sinusów jest prawdziwe dla wszystkich trójkątów, także rozwartokątnych. Skoro więc kąt alfa leży naprzeciwko boku OB 3x dłuższego od boku naprzeciwko kąta beta (OA), a zgodnie z twierdzeniem sinusów sin alfa/OB = sin beta/OA, to sin beta/sin alfa = 1/3.
6. Czy zatem sin 10/sin 150 = 1/3? Sin 150 = sin 30 = 0.5, pamiętamy ze szkoły, a sin 10 sprawdzamy w tablicach bądź obliczamy na kalkulatorze, i to jest ca. 0.1736. W omawianym przypadku sin beta/sin alfa jest większe od 1/3 (3 x 0.1736 = ca. 0.52). Stąd wniosek, że odcinki AB i OS, a tym samym AB i jego odpowiednik w dolnej części figury, nie są równoległe.
7. Ale w jaki sposób one nie są równoległe, czyli gdzie wypadnie punkt przecięcia, od strony punktu O, czy od strony punktu S? Jeśli sin beta/sin alfa = 1/3, to zapewne kąt beta jest troszkę mniejszy niż 10°, aby uzyskać sinus mniejszy niż 0.1736. Ciekawe, że sin (10-x) dla małego dodatniego x będzie mniejszy niż sin 10, ale odpowiedni sin (150 + x) będzie równy sin (30 – x), i też będzie mniejszy od sin 30. Jednak funkcja sinus w otoczeniu 10° zmienia się szybciej niż w otoczeniu 30°, stąd kąt beta powinien być nieco mniejszy od 10°, tym samym kąt alfa bardziej rozwarty niż 150°, i punkt przecięcia wypadnie gdzieś po lewej stronie, a więc od strony wierzchołka O, a nie punktu S.
8. Sprawdziłem to dla x = 1°, a więc dla kątów 9° i 151°. Tutaj już sin beta/sin alfa < 1/3, tak więc kąt alfa musi być gdzieś pomiędzy 150° a 151°. Dlatego proste na rysunku wydają się niemal równoległe.
9. W gruncie rzeczy zadanie sprowadza się do rozwiązania trójkąta o bokach 1 i 3 i kącie między nimi 20°. Można wykorzystać wzory np. stąd:
http://www.slideshare.net/piotrszlag/rozwiazywanie-trojkata
Mnie się już nie chciało. Swoją drogą, fajne byłoby rozwiązywanie trójkątów online: podajemy na przykład dwa boki i kąt, i w odpowiedzi dostajemy wszystko inne, nie znalazłem takiej przydatnej strony po polsku, może jest po angielsku.
10. Być może istnieją rozwiązania elegantsze, niewymagające znajomości sinusa 10 czy korzystania ze ściągi z wzorami, ale to rozwiązanie bardzo mi się podoba, bo jest moje 🙂 Pozdrawiam.
Przetną się z lewej dolnej. Odcinek łączący zielone kropki ma mniejszą długość niż odcinek łączący czerwone kropki, bo długość łuku okręgu zawartego między czerwonymi kropkami jest taka sama jak między zielonymi kropkami, ale łuk między zielonymi jest bardziej „wypukły”.
I o to chodzi – krótko i prosto, czyli genialnie 🙂
mp
Oznaczenia:
O – środek wycinka
A – wyżej położony zielony punkt
B – niżej położony zielony punkt
C – wyżej położony czerwony punkt
D – niżej położony czerwony punkt
E – najwyższy punkt na rysunku
F – najniższy punkt na rysunku po prawej stronie
1 ABDC jest trapezem równoramiennym o podstawach AB oraz CD (dowód jest trywialny).
2 OAB oraz OEF to trójkąty równoboczne, boki drugiego z wymienionych są trzykrotnie dłuższe od boków pierwszego.
3 Przypuśćmy, że AC || BD, wtedy ABDC jest prostokątem i |CD|=|EC|=|DF|=|AB| oraz |EF|=3|AB|
4 Czworokąt CDFE jest trapezem równoramiennym o podstawach CD i EF (dowód trywialny). Niestety w rzeczywistości nie może istnieć przy założeniu z punktu 3, ponieważ suma długości krótszej podstawy i ramion jest równa długości dłuższej podstawy. Aby mógł istnieć musi być spełniony warunek |CD|>|AB|, czyli proste AC i BD przecinają się „z lewej dolnej strony”.
PS. Można szybciej obliczając |CD| jako długość boku 18-kąta foremnego, ale bez kalkulatora nie da rady bo pojawia się sinus 10 stopni.
Trywialny dowód :-): Jeżeli w czworokącie przy dwóch niesąsiadujących bokach mamy identyczne kąty (a tak jest w zadaniu ze względu na symetrię) to zachodzi warunek 2* |alfa| + 2* |beta| = 360 stopni, gdzie alfa to kąty przy jednym boku a beta przy naprzeciwległym. Więc |beta|= 180-|alfa| i boki są równoległe, bo mamy do czynienia z kątami jednostronnie wewnętrznymi.
Trojkat miedzy zielonymi punktami i srodkiem kola jest rownoboczny, to samo miedzy skrajnymi punktami luku i srodkiem kola (360/6=60stopni a do tego rowne odcinki). Ciagniemy prosta od srodka kola do srodka odcinka poprowadzonego przez skrajne punkty luku. Mamy w ten sposob trojkat prostokatny. Kat prosty jest przy przecieciu odcinka miedzy skrajnymi punktami. Prosta miedzy zielonymi punktami przecina utworzona prosta od srodka kola tez pod katem 90 i w ten sposob mamy prostokat. Prostokat ma zas boki rownolegle tak wiec odcinki o ktore jest pytanie nie przetna sie.
Przepraszam za styl postu ale pisze z klawiatury ekranowej 🙁
Swietna lamiglowkan 🙂 pozdrawiam
obydwa odcinki łączące punkty czerwone z zielonymi są do siebie równoległe. Ponieważ z geometrią miałam do czynienia ponad 50 lat temu, nie jestem w stanie tego stwierdzenia matematycznie uzasadnić. Ale wyrażnie widać, że obydwa odcinki w jednakowym stopniu wyznaczają nowe wycinki koła o promieniu odcinków pomiędzy czerwonymi i zielonymi punktami. Te nowe wycinki są także 1/6 powierzchni koła o nowym promieniu. Poza tym, punkty czerwone i zielone są umieszczone w 1/3 długosci wycinka okręgu oraz promieni koła. Gdyby przedłużyć te odcinki, stałyby się one cięciwami łączącymi punkty na okręgu równoodległe – i rozmieszczone po przeciwnych stronach okręgu. To chyba „by było na tyle”.Myślę, że po pewnym zastanowieniu się mogłabym udowodnić to matematycznie.
Ech, co ten wieczorny drink robi z logicznym rozumowaniem 😀 Oczywiście przekombinowałem wczoraj wieczorem. Wydaje mi się iż proste spotkają się po prawej stronie. Odcinek od zielonego punktu do czerwonego jest dłuższy niż 2/3 promienia koła itd…
pozdrawiam
Szanowny Panie Marku,
W realnym świecie, dla kandydatów ubiegających się o intratną posadę, to nie szybkość udzielenia odpowiedzi na tak głupie (i nie mające zresztą nic wspólnego z realnymi problemami czekającymi na stanowisku pracy) pytanie ma istotny wpływ na decyzję o przyjęciu do pracy, a tylko to, kogo taki kandydat zna z osób, mających wpływ na decyzję komisji rekrutacyjnej.
Pozdrawiam!
Tym razem wyjątkowo nie ujawniam od razu komentarzy z błędnymi rozwiązaniami, ponieważ ich ujawnienie jednoznacznie wskazywałoby na rozwiązanie prawidłowe.
Niniejszy komentarz ujawniłem, ponieważ na nic on nie wskazuje i nie ma nic wspólnego z czymkolwiek 😉
mp
PS: A ad meritum – wszystko zależy od tego, jaki model geometrii przyjmiemy, a więc jaką uznamy definicję równoległości. W mojej geometrii to te odcinki są równoległe – ale nie wiem, jak to jest w pańskiej.
Pozdr.
1/6 kola – kąt 60 stopni = trojkat rownoboczny wiec odleglosc miedzy pkt zielonymi = 1/3 promienia
Odpowiedz na pyt = jaki jest stosunek odleglosc miedzy czerwonymi kropkami do odleg. miedzy zielonymi.
Moza policzyc ze odleglosc miedzy zielonymi = 2xsin(10) * promien = 0.34 promienia > 1/3 promienia kola wiec linie przetna sie z lewej dolnej
Oczywiscie chodzi o odleglosc miedzy czerwonymi = 2x sin(10) * promien.
A 10 stopni bierze sie z tego, ze trojkat srodek kola + 2 czerwone pkt. sa oparte o 1/3 * 1/6 * 360 stopni a sinus jest na polowe podstawy.
Odcinki nie są równoległe odległość pomiędzy zielonymi punktami wynosi 1/3R a odległość pomiędzy czerwonymi 2R sin 10 stopni ok 0,35R, proste przetną się na dole
Niebieskie odcinki sa rownolegle. Zeby tak bylo luki pomiedzy czerwonymi i zielonymi punktami musza byc rowne. co latwo wykazac. Jezeli promien kola poprowadzonego przez zielone punkty oznaczymy R to dlugosc luku pomiedzy punktami zielonymi wyniesie 1/6 z 2Pi R. A dlugosc luku kola poprowadzonego po czerwonych punktach to 1/18 z 2Pi3R. Po uproszczeniu liczb otrzymam wynik 1/3 PiR = 1/3 PiR. Mam racje?
Zależy w jakiej sprawie. Jeśli chodzi o długość łuków – racja, jeśli o równoległość odcinków – nie.
mp
A to uzasadnienie bez rachunków:
Uzupełnijmy brakujący bok trójkąta równobocznego. Łatwo sprawdzić że gdyby zrzutować prostopadle punkty zielone na ten uzupełniony bok to te odcinki byłyby równoległe. Nazwijmy te rzuty punktami niebieskimi. Wystarczy pokazać ze rzuty punktów czerwonych na ten bok leżą na lewo i na prawo odpowiednio od lewego punktu niebieskiego i prawego punktu niebieskiego. Jest tak dla tego że odcinkom łuku które są bardziej równoległe do dorysowanego boku (te bliżej środka luku) odpowiadają dłuższe odcinki na dorysowanym boku i odwrotnie, tym stromszym odcinkom łuku odpowiadają krótsze odcinki na dorysowanym boku. Posuwając się po łuku (od środka) równymi fragmentami tegoż otrzymamy na boku ciąg malejących rzutów tychże łuków. Stąd punkt czerwony odpowiadający końcowi łuku kąta 10 stopni licząc od środka zostanie zrzutowany bliżej wierzchołka trójkąta niż punkt niebieski. Innymi słowy rzuty na bok równoodległych punktów na łuku dają nierówne odcinki na boku. Te bliżej środka boku są dłuższe a te bliżej wierzchołków krótsze. Wniosek: odcinki (z rysunku wyjściowego) nie są równoległe i ich przedłużenia przecinają się po lewej stronie rysunku.
Myślałem że uda się krócej 🙂
Odległość między zielonymi punktami wynosi ok. 0.33r, a między czerwonymi ok 0.35r, a więc przecięcie w lewej dolnej.
Hmm, pytania na rozmowach o pracę bywają bardzo różne i szybkość odpowiedzi ma akurat zasadnicze znaczenie. Kiedyś starając się o pracę analityka, który musi umieć szybko i dobrze liczyć dostałem pytanie: Ile jest 3% z 300? Odpowiedź oczywista bo bardzo łatwo to policzyć, jednak mimo iż w realnym świecie powyższe wyliczenie nie jest raczej istotne, pracodawca może brać pod uwagę szybkość wyliczenia wyniku w warunkach jakby nie było stresowych 🙂
PS. praca została mi zaoferowana ale jej nie przyjąłem ze względu na niskie wynagrodzenie 😉
Odcinki są równoległe. Jeśli dorysować koło do końca, to odcinki przeprowadzone z przeciwległego wycinka by się pokryły z tymi widocznymi na rysunku. Nie potrafię wskazać innego wyjaśnienia. Może to będzie coś z Talesem?
@stud
Naprawdę potrzebowali oni analityka, czy raczej rachmistrza? A na temat tzw. genialnych rachmistrzów, to polecam lekturę ‚Szpitala Przemienienia’ Lema. Niestety, ale „dar” szybkiego liczenia „w rozumie” na ogół nie idzie w parze z owym „rozumem” szerzej zrozumianym, w tym sensie, że ci „genialni” rachmistrze są na ogół osobami ociężałymi umysłowo.
Pozdr.
@Gospodarz
1. Te odcinki się wyraźnie nie przecinają, ergo są one równoległe!
2. Mój pierwszy komentarz to ma bardzo dużo wspólnego z realnym światem.
Pozdr.
Można jeszcze prościej pomyśleć, niż przedstawiłem to wcześniej, mianowicie poprowadzić styczną do okręgu, i wtedy z twierdzenia Talesa, albo z podobieństwa trójkątów, wyjdzie, że odcinek stycznej musi być podzielony jak 2/3:1/3, i tak samo podzielony jest łuk okręgu. Czyli sinus kąta musiałby być proporcjonalny do tegoż kąta, więcej, tym samym być, co ten kąt (w mierze łukowej), a tak, jak wiemy, nie jest, to znaczy jest tylko w granicy dla x->0. Czy więc dają dobrą pracę za wyrażenie na rozmowie kwalifikacyjnej przekonania, że kąt to nie to samo co jego sinus?
@Kagan: Znacznie częściej spotykam się z sytuacją: tego Pana nie zatrudnimy, ponieważ już go znamy 😉
Jak widzisz, biednemu zawsze wiatr w oczy wieje.
@gpsE
Racja – tylko w merytokracji liczą się obiektywne predyspozycje do zajęcia danego stanowiska – we wszystkich innych ustrojach liczą się zaą głownie znajomości i przesądy (rudego nie zatrudnimy, bo fałszywy, młodej kobiety też nie, bo pójdzie zaraz na urlop macierzyński, starszej też nie, bo ona ma przestarzałą wiedzę, zaś starszy pan, mimo że sie wciąż dokształca, to będzie zaś pewnie za wolny w robocie, a młody będzie myślał o seksie a nie o pracy itp. itd.) . Stąd też jest jak jest, co też każdy widzi. Podobnie jak na rysunku z tej łamigówki (to ostatnie zdanie będzie zapewnie czasowo ukryte).
Pozdrawiam!
Bardzo dziękuję za frapujące zadanie, którego – niestety – nie udało mi się rozwiązać.
Ergo pracy bym nie dostał….
Chyba, że odpowiedź na pierwsze pytanie mogła by opierać się na stwierdzeniu, że nie bo gdyby tak było to nie było by jednego z wielkich problemów greckiej geometrii……
Wytoczyłem armatę i wyliczyłem po której stronie przetną się cięciwy…Ale chyba nie o to tu chodziło…Chociaż armata daje szansę na pewne uogólnienie zadania (jeśli oczywiście się nie mylę i jeśli n*sin& > sin n*&)
Dziękuję i pozdrawiam
armata wygląda tak:
x – pół odcinka między zielonymi, y – pół między czerwonymi, & – kąt wycinka koła
x / (r/3) = sin(&/2), y/r = sin((&/3)/2)
x = r/3 * sin(&/2), y = r * sin(&/6), podstawienie @ = &/6
x = r/3 * sin(3*@), y = r * sin(@)
y – x = r/3 * [ 3 * sin (@) – sin(3*@)] a [..] > 0 – dowód konstrukcyjny w oparciu o okrąg o r=1…
y jest więc dłuższe…przecięcie lewa dolna….
Roz. @jawa jest świetne, niemniej kwestia „wypukłości” wymaga dowodu, a wtedy rozwiązanie nie będzie już takie krótkie. Intuicja może prowadzić na manowce.
Rozwiązanie gpsE jest bardziej eleganckie od mojego i nie wymaga liczenia sinusa z 10 stopni. Widać mam problem z analitycznym myśleniem, że wszędzie szukam trójkątów prostych.
to prosta trygonometria. Kat odcinka miedzy zielonym i czerwonym punktem do promienia wynosi 27,54833694°, znaczy jest mniejszy niz 30° i wtedy oba odcinki spotykaja sei w dolnym lewym rogu
Można też tak – górny odcinek jest obrazem dolnego w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta 60*, zatem rzeczone odcinki są równoległe dokładnie wtedy, gdy odcinek łączący zielone kropki ma równą długość jak odcinek łączący czerwone kropki.
Zielone kropki – 1/3 R.
Czerwone kropki – x. Ale x wskażemy też na łuku powyżej górnej czerwonej kropki i łuku poniżej dolnej czerwonej kropki. Z drugiej strony odcinek łączący skrajne punkty całego łuku ma długość R. Zatem z nierówności trójkąta x+x+x>R, czyli x>1/3 R. Nie mogą więc być równe.
To jest poprawna odpowiedź?
18 sierpnia o godz. 19:02
„Przetną się z lewej dolnej. Odcinek łączący zielone kropki ma mniejszą długość niż odcinek łączący czerwone kropki, bo długość łuku okręgu zawartego między czerwonymi kropkami jest taka sama jak między zielonymi kropkami, ale łuk między zielonymi jest bardziej ?wypukły?.”
Bardziej wypukły?
Tak, poprawna – wprawdzie nieprecyzyjna, ale obrazowo wyjaśnia istotę rzeczy.
„Bardziej wypukły”, jak np. soczewka oka dzięki akomodacji, gdy obserwujemy blisko znajdujący się przedmiot.
mp