Inna antymagia
Jeśli liczby od 1 do n^2, rozmieścić w kwadracie n×n tak, że suma n liczb w każdym rzędzie – poziomym, pionowym i na przekątnych – będzie taka sama, równa n(n^2+1)/2, to powstanie kwadrat magiczny. Od starożytności znany jest jedyny (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych) najmniejszy taki kwadrat – 3×3:
Jeżeli w pierwszym zdaniu wytłuszczony tekst zastąpić następującym: …”będzie inna i wszystkie te sumy będą fragmentem ciągu liczb naturalnych” – to otrzymamy definicję kwadratu antymagicznego. Antymagicznych kwadratów 3×3 nie ma, najmniejsze to 4×4.
Pojęcie kwadratów magicznych i antymagicznych bywa rozszerzane na wszystkie, spełniające tylko jeden podstawowy warunek: jednakowe (magia) lub różne (antymagia) są sumy w 2n+2 rzędach. Natomiast liczby w kwadracie mogą być dowolne, byleby były różne. Przy takim ujęciu kwadratów magicznych i antymagicznych robi się multum (pojawiają się także antymagiczne 3×3 i 2×2). Teraz można zacząć się bawić w wyłuskiwanie spośród nich specyficznych okazów.
Jakie liczby naturalne i w jaki sposób należałoby rozmieścić w kwadracie 3×3, aby osiem sum tworzyło ciąg kwadratów, zaczynający się od najmniejszej możliwej liczby? Jasne, że tym minimum będzie 9, czyli chodzi o ciąg sum: 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Nie wiem, ile różnych rozwiązań ma to zadanie, ale przypuszczam, że sporo. Czy komuś uda się znaleźć „na piechotę” takie, w którym wszystkie liczby – poza jedną, umieszczoną w środku – będą parzyste.
Komentarze
Np.
4,26,6
10,1,14
2,54,44
🙂 To pierwsze nadesłane rozwiązanie, w dodatku identyczne, jak to, które znam, więc jest bardzo prawdopodobne, że nie „Np.” tylko jedyne.
mp
Może to od wakacyjnego słońca ale chyba nie zrozumiałem warunków zadania…
Wpisałbym liczby: 9, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324 ale to zapewne zbyt proste aby było właściwe.
Kwadrat powinien wyglądać następująco:
44 52 4
16 1 8
4 28 4
Liczby powinny być różne (zgodnie z definicją kwadratu antymagicznego).
mp
Brzeszczot zainspirował mnie do znalezienia 41 rozwiązań. Ponieważ jest ich za dużo żeby wypisywać więc podam jak je uzyskać.
Bierzemy sumy takie jak u Brzeszczota czyli w kolumnach (od lewej): 64, 81, 16, w wierszach (od góry): 100, 25, 36, przekątne lewodół-prawogóra: 9, lewogóra-prawodół: 49. Przyjmijmy oznaczenia macierzowe dla naszego kwadratu 3×3. a22 (środek kwadratu)=1 dla wszystkich rozwiązań, a13 (prawy górny róg) oznaczmy przez X, a21 (środkowe pole pierwszej kolumny oznaczmy przez Y, wtedy: jeśli X=0 to Y=10-15, 17-21, czyli mamy 11 kwadratów (zero jest liczbą naturalną). Przykładowe dwa kwadraty:
(X,Y)=(0,10) to:
46, 54, 0
10, 1, 14
8, 26, 2
(X,Y)=(2,15) to:
43, 55, 2
15, 1, 9
6, 25, 5
X=2 to Y=10, 13-15, 19-21, 24 czyli 8 kwadratów
X=3 to Y=11, 13, 15, 17-18, 20, 22, 24 czyli 8 kwadratów
X=5 to Y=13, 15, 17, 20, 22, 24 czyli 6 kwadratów
X=6 to Y= 14, 17, 21, 24 czyli 4 kwadraty
X=8 to Y= 18-19, 21-22 czyli 4 kwadraty
Razem 41 kwadratów.
Należałoby jeszcze pokombinować z 35 pozostałymi permutacjami sum dla kolumn i wierszy razy dwa bo 9 i 49 dla sum ukośnych można zamieniać miejscami. Cześć z nich sprawdziłem i nic.
Są jeszcze dwa inne układy sum: (9,49, 64) (16, 25, 81) (36, 100) oraz (9, 16, 100) (25, 36, 64) (49, 81) ale wydaje mi się że dla nich udowodniłem, że się nie da 🙂
No tak.. Nie doczytałem.
44 54 2
14 1 10
6 26 4
No to mam jeszcze 61 kwadratów :), konwencja jak w poprzednim komunikacie.
(16, 81, 64) (36, 25, 100) (9, 49)
X=0 to Y=2-3, 5-6, (4 kwadraty)
X=2 to Y=3, 7, 10 (3 kw.)
X=3 to Y= 0, 2, 4, 7, 9, 11 ( 6 kw.)
X=5 to Y= 0, 2, 4, 6-7, 9, 11, 13 (8 kw.)
X=6 to Y= 0, 3, 5, 9-11, 14 ( 7 kw.)
X=8 to Y= 3-5, 7, 9-11, 13-14 ( 9 kw.)
Razem 37 kwadratów
(64, 81, 16) (36, 25, 100) (49, 9) ( uwaga przekątne odwrotnie niż w poprzednich dwóch grupach)
X=0 to Y= 10-11, 13-14 (4 kw.)
X=2 to Y= 10, 13, 15 (3 kw.)
X=3 to Y= 11, 13, 17, 19 (4 kw.)
X=4 to Y= 14-15, 17 (3 kw.)
X=5 to Y= 13, 15, 21 (3 kw.)
X=6 to Y= 14, 17, 22 (3 kw.)
X=7 to Y= 15, 18, 20-21 (4 kw.)
Razem 24 kwadraty
Suma sumarum, w trzech grupach naliczyłem 41 + 37 + 24 = 102 kwadraty
(Był kiedyś czołg z takim numerem 😉 )
Ale gdyby nie Brzeszczot to nie wiem czy bym się zebrał do szukania 🙂
skumałem o co chodzi dopiero po podaniu odpowiedzi Brzeszczota..
Spytko: 0 jest liczbą naturalną ale nie jest parzysta 😉
@stud: Pełna zgoda, bo co to za liczba parzysta z której nie można utworzyć ani jednej pary ?
Ja jednak zaliczyłem zero do liczb parzystych
http://pl.wikipedia.org/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb
gdyż podobnie jak Prezydent Komorowski
http://wiadomosci.wp.pl/kat,1342,title,Komorowski-na-konferencji-mial-sciage-z-Wikipedii,wid,12263407,wiadomosc.html?ticaid=11127a
uległem czarowi Wikipedii 😉
Wśród 102 kwadratów które podałem wcześniej (przynajmniej jeden z nich ma powtarzające się cyfry, więc jest ich co najwyżej 101) znalazłem jeszcze 3 składające się z liczb parzystych ale bez zera (poza 1 w środku). (Takich z zerem jest trochę więcej 😉 ale nie chcę już drażnić studa) O dziwo okazały się one odbiciami kwadratu podanego przez Brzeszczota. Nasuwa się przypuszczenie że pozostałe prawie sto też zawiera takie odbicia więc takich prawdziwie różnych może być np. 4 razy mniej czyli ok. 24, albo ok. 30 bo grupy różnią się ilościowo. W każdym razie wygląda na to, że kwadrat zgłoszony przez Brzeszczota jest jedyny składający się z liczb parzystych bez zera.