Przez osiem

17 lipca 2013
Marek Penszko

Ile jest liczb złożonych z różnych cyfr? A ściślej: ile jest różnych liczb całkowitych dodatnich, w których każda cyfra jest inna?
To zależy w jakim systemie liczbowym. W dwójkowym tylko dwie – 1 i 10, w trójkowym dziesięć – 1, 2, 10, 12, 20, 21, 102, 120, 201, 210. Dalej kombinować jest nieco trudniej. W systemie dziesiętnym należałoby najpierw policzyć oddzielnie liczby liczb n-cyfrowych dla  każdego n od 1 do 10, korzystając ze wzoru, który łatwo wyprowadzić – 9*9!/(10-n)!, choć dla małych n bez wzoru można się obejść. Otrzymalibyśmy ciąg:

9, 81, 648, 4536, 27216, 136080, 544320, 1632960, 3265920, 3265920.

Jak wynika ze wzoru, każdy n-ty wyraz (oprócz pierwszego) jest 11-n razy większy od poprzedniego. W sumie liczb różnocyfrowych jest więc 8877690. To sporo, ale jednak tylko niespełna promil w obejmującym je zakresie (od 1 do 9876543210).
Chyba najciekawsze wśród tych liczb są tzw. liczby trwałe, czyli takie, których wielokrotności są ich anagramami (to określenie dotyczy etymologicznie liter i słów, ale wygodnie jest objąć nim także cyfry i liczby). Najmniejsze trwałe są 4-cyfrowe i jest ich siedem:

1035 (*3=3105), 1089 (*9=9801), 1359 (*7=9513), 1386 (*6=8316), 1782 (*4=7128), 2178 (*4=8712), 2475 (*3=7425)

Mnożniki tworzące anagramy wynoszą 3, 4, 6, 7 i 9. Mnożniki 2 i 5 pojawiają się dopiero przy liczbach 6-cyfrowych – najmniejsze z nich to 125874 (*2=251748) i 142857 (*5=714285). Mnożnik 8 daje anagram najpóźniej.
Proszę znaleźć („na piechotę”) liczbę siedmiocyfrową złożoną z różnych cyfr, w której wystarczy odpowiednio przestawić cyfry, aby otrzymać liczbę ośmiokrotnie od niej większą. Jeśli dodać, że w liczbie tej nie występują cyfry 2, 7 i 9, to jej znalezienie metodą logmac (logika plus macanie 🙂 ) będzie szybsze niż napisanie programu, a przy odrobinie szczęścia znacznie szybsze.