Łucznicy

11 grudnia 2012
Marek Penszko

W listopadowym Świecie Nauki pisałem o partycjach. Związany z tym tematem konkurs zadaniowy dobiegł końca, więc mogę przytoczyć jedno z zadań, które okazało się odrobinę kontrowersyjne.

Na wstępie zwięzła prezentacja.
Partycja to przedstawienie liczby w postaci sumy liczb, np.
7 = 3 + 2 + 1 + 1
Operujemy wyłącznie liczbami całkowitymi dodatnimi; kolejność składników nie ma znaczenia; każda liczba jest także partycją samej siebie, a więc np. partycją liczby 7 jest również 7.

Partycje stanowią dość obszerny i wbrew pozorom nieprosty dział teorii liczb. Dopiero w ubiegłym roku rozgryziony został, czyli podporządkowany w miarę eleganckiemu wzorowi (ale jednak bardzo skomplikowanemu i – co ciekawe – związanemu z fraktalami) jej najtwardszy orzech – ciąg liczb partycji kolejnych liczb:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101,… (A000041).
Ciąg szybko rośnie. Na przykład 5 ma siedem partycji:
5
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1,
ale dla 100 jest ich już ponad 190 milionów.
Pozornie proste „porcjowanie” okazuje się zaskakująco zawiłym zagadnieniem głównie ze względu na obfitość różnych rodzajów partycji oraz twierdzeń, dotyczących zależności między nimi.

Kolej na wspomniane zadanie.
Robin Hood, Mały John i Szkarłatny Will współzawodniczyli w zawodach łuczniczych. Każdy z nich oddał sześć strzałów do tarczy. Kropki oznaczają miejsca wszystkich trafień.

Robin pierwszym strzałem zdobył 3 punkty, a John kilkoma pierwszymi strzałami – 22. Zawody zakończyły się potrójnym remisem. Kto trafił w centrum tarczy?

Kilka osób, uczestniczących w konkursie, zadało pytanie lub zasugerowało, że zadanie nie ma nic wspólnego z partycjami. Czy rzeczywiście? – to dodatkowa zagadka, polegająca na wykazaniu, że jednak ma.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.