Boisko kwadratowe

15 czerwca 2012
Marek Penszko

Ze względu na Euro 2012 ostatnio częściej niż zwykle gapię się w telewizor, ale mimo to starcza mi czasu na inne okazjonalne zajęcia, ot choćby na lekturę wydanej niedawno książki Iana Stewarta Dlaczego prawda jest piękna. Można by sądzić, że to coś filozoficznego, gdyby nie podtytuł: O symetrii w matematyce i fizyce. Chodzi głównie o symetrię struktur matematycznych, a więc pojęcie znacznie szersze niż to, którego dotyczy powiedzonko Tuwima „symetria: estetyka idiotów”. Czytam poniekąd zawodowo, bo w związku z recenzją, ale z dużą przyjemnością, ponieważ jest to zdecydowanie inny profesor Stewart, niż ten, którego znam z paru innych publikacji. Rzekłbym: Stewart dla maluczkich, czyli w sam raz dla mnie. Poprzednio w poważnych (bo były też typowo rekreacyjne), ale popularnonaukowych książkach tego autora (np. Oswajanie nieskończoności lub Stąd do nieskończoności) nie brakowało fragmentów, z którymi niezbyt oswojeni z matematyką czytelnicy mogli mieć zgryz ze względu na zawiłe lub zwięzłe opisy. Tym razem przeciwnie, jest szczegółowo, jasno i zrozumiale – czasem do przesady i z przymrużeniem oka, jak dla pierwszoklasisty (np. 53 oznacza pomnożenie 5 przez siebie samo trzy razy, co daje 125, a x2 oznacza x razy x, gdzie x jest symbolem nieznanej liczby). Na razie przeczytałem mniej więcej jedną trzecią, ale nie przypuszczam, aby dalej coś się radykalnie zmieniło – mimo że czeka mnie m. in. spotkanie z mechaniką kwantową, teorią względności i teorią strun – bo autor na początku deklarował, że będzie o maluczkich pamiętał, a zwłaszcza o zasadzie: „zamieszczanie równań obniża sprzedaż dzieła o połowę”.

W historycznej wędrówce algebraicznej, rozpoczynającej dzieło, sporą część zajmują dokonania starożytnych i średniowiecznych uczonych. Z Arytmetyki Diofantosa profesor przytacza jedno zadanie, które dziś równie dobrze można by nazwać łamigłówką.

Znajdź trzy liczby (a, b, c – całkowite dodatnie) takie, że ich suma i suma każdych dwóch z nich jest kwadratem.

W książce podana jest odpowiedź, ale brak oryginalnego, czyli starogreckiego sposobu rozwiązywania, który wydaje się całkiem sprytny, więc go przytoczę.
Diofantos założył, że:
a + b + c = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
a potem dopasował:
(I) a + b = x2 oraz
(II) c = 2x + 1
i jeszcze założył:
(III) b + c = (x – 1)2
Z układu równań I, II i III wynika:
a + c = 6x + 1 i ta suma powinna być kwadratem, co spełnione jest dla x = 0, 4, 8, 20, 28, 48, 60, 88, 104, …
Grek podał jedną odpowiedź – dla x = 20: a = 80, b = 320, c = 41 – czyli najmniejszą z różnymi liczbami.

W wydanej przed ponad półwieczem Elementarnej teorii liczb profesor Wacław Sierpiński nawiązał do tego zadania, przypominając problem doskonałego prostopadłościanu (zwanego też doskonałą cegiełką Eulera), który sprowadza się do pytania: czy same liczby a, b i c w rozwiązaniu mogą być kwadratami? Odpowiedź nie jest znana do dziś. Inaczej mówiąc, nie wiadomo, czy istnieje prostopadłościan, którego wszystkie podstawowe wymiary (długości krawędzi, przekątnych boków i przekątnej prostopadłościanu) wyrażałyby się liczbami całkowitymi. Wiadomo natomiast, że jeśli pominąć warunek, aby kwadratem była suma wszystkich trzech liczb, to rozwiązań będzie nieskończenie wiele.

Na koniec, pozostając przy kwadratach, powrócę do futbolu.

Na planecie Melmac boisko do piłki nożnej ma kształt sześciokąta z jednakowymi kątami, równymi 120 stopni. Długości boków wyrażają się różnymi liczbami metrów, a każda równa jest kwadratowi liczby całkowitej. Ile wynosi obwód boiska, jeśli jest on mniejszy niż pół kilometra?

Zadanie jest nieproste, ale nie tracę nadziei, że ktoś nawet narysuje to boisko o kuriozalnym kształcie, na którym grywał Gordon Shumway.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.