Ciągi Bonda

28 sierpnia 2011
Marek Penszko

Wiadomo, co oznaczają dwa zera w bondowskim kryptonimie 007 – licencję na zabijanie. A co oznacza siódemka? Licencję na nieśmiertelność czy powodzenie? Bo chyba nie numer kolejny agenta – to byłoby zbyt banalne.
A gdyby założyć, że cały kryptonim jest czymś innym, a mianowicie – stanowi trzy początkowe wyrazy jakiegoś tajemniczego ciągu matematycznego. Jakiego? Oto zagadka.

W encyklopedii OEIS jest ponad 30 ciągów zaczynających się od  [0,0,7,…], ale wszystkie są dość osobliwe lub oparte na mocno zakręconych zasadach. Zdecydowaną większość z nich tworzą kolejne cyfry w rozwinięciach dziesiętnych ułamków właściwych, uwzględniając tylko cyfry po przecinku oraz rozwinięcia nieskończone. Ku takim ciągom wiodą ułamki 1/x dla 125 < x < 142,(857142). Interesujący jest jeden z nich – ten, w którym 1/x stanowi „klucz do zrozumienia wszechświata”, czyli  stałą struktury subtelnej. Teoretycznie Ian Fleming mógł słyszeć o tej stałej i zainspirować się nią, bo była znana (wprowadzona przez Arnolda Sommerfelda) 36 lat przed pojawieniem się Bonda. Praktycznie szansa, że tak było, jest bliska zeru.

Drugi bondowski ciąg, zasługujący na uwagę, wiąże się z szachami:
0, 0, 7, 74, 882, 11144, 159652, 2571960,…
Dotyczy on liczby całkowicie różnych środkowo symetrycznych ustawień 2n nie atakujących się wież na szachownicy 2n x 2n:
Gwoli jasności przykład jednego z 7 ustawień dla n = 3, czyli na planszy 6 x 6:

Jak widać w układzie nie występuje żaden inny rodzaj symetrii poza środkową. Na planszy 4 x 4 takie ustawienie nie jest możliwe – symetrii środkowej zawsze towarzyszą inne.

Kolej na trzeci ciąg, którego nie ma w OEIS. Dotyczy on liczby różnych sposobów dokonania pewnego „zabiegu” na kwadracie (n+1) × (n +1), w którym pola ponumerowano wierszami od góry. Proszę spróbować określić ten „zabieg”, czyli zasadę budowy ciągu, na podstawie wyrazów odpowiadających kolejnym kwadratom z liczbami:

Wartość następnego wyrazu, dla n = 5 (kwadrat 6 × 6), nie jest równa zeru, ale ile wynosi – nie wiem, chyba nie więcej niż sto. Natomiast wiem, że jako następne w ciągu znowu pojawia się zero…

Przypuszczam, że to indukcyjne zadanie jest bardzo trudne. Bond by sobie z nim nie poradził, może Sophie Neveu.

A na deser coś prostego – powtórka ze szkoły.
Najbardziej bondowski byłby ciąg [0,0,7,0,0,7,0,0,7,…]. Jaki ułamek zwykły mu odpowiada? Inaczej mówiąc, chodzi o znalezienie najmniejszych wartości a i b takich, że a/b = 0, (007)

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.