Dwie loterie

25 sierpnia 2011
Marek Penszko

Dostałem do recenzji książkę wydaną przez szacowne Wydawnictwo Literackie i w związku z tym poczułem się trochę jak krytyk literacki. Dzieło (350 stron) dotyczy wprawdzie nauki ścisłej – matematyki, ale podanej w bardzo przystępnej, popularnej, rzekłbym humanistycznej formie. Autorem jest kosmolog, fizyk i matematyk z Cambridge profesor John D. Barrow, znany już polskiemu czytelnikowi z kilku pozycji (Pi razy drzwi, Teorie wszystkiego…, Początek Wszechświata, Księga nieskończoności). Najnowsza  –  Jak wygrać na loterii? Czyli z matematyką na co dzień – jest zbiorem stu bardzo krótkich esejów na temat matematycznych aspektów różnych zjawisk, procesów lub po prostu zdarzeń – najczęściej takich, które z różnych względów są nam bliskie. Pisana ze swadą, okraszona humorem, obfituje w ciekawostki, więc wciąga, zwłaszcza jeśli ktoś zapomniał, czego się uczył w szkole, bo sporo tekstów dotyczy spraw elementarnych. Krótko mówiąc, to godne polecenia czytadło, zwłaszcza dla laików, do konsumpcji na raty, bo każdy tekst stanowi odrębną całość na parę minut przyjemnego z pożytecznym.
Nie byłbym oczywiście sobą, gdybym nie zapolował na błędy (to krzepiące utwierdzić się w przekonaniu, że inni także je popełniają), które okazało się wyjątkowo owocne, bo na takiego piętrowego byka, jak tym razem, dotąd nie trafiłem.

W trakcie wyjaśniania, na czym polega trudność obliczeniowa, pojawia się przykład (strona 98):

weźmy na początek coś, co pozornie wydaje się proste: znajdźmy dwie liczby pierwsze składające się na sumę 389965026822507.

W pierwszej chwili sprawa wydaje się nie tylko prosta, ale wręcz trywialna, bo jeśli dwie liczby pierwsze mają składać się na nieparzystą sumę, to jedna z nich musi być dwójką, ale wtedy druga nie będzie liczbą pierwszą, bo na końcu pojawi się piątka. Tymczasem w książce podane jest rozwiązanie: 5569 + 389965026819938.

Gdy zobaczyłem gigantyczną parzystą liczbę pierwszą natychmiast zajrzałem do angielskiego oryginału, a tam… nie ma ani takiego zadania, ani tym bardziej rozwiązania. Skąd się wzięło w polskim przekładzie  – oto zagadka.

Komu nieobca jest hipoteza Goldbacha, a zwłaszcza związane z nią ciekawostki, ten zapewne sam szybko skoryguje błąd. Dla pozostałych krótkie wyjaśnienie.

Każda liczba naturalna parzysta 2n>2 jest sumą dwóch liczb pierwszych p i q – tak brzmi wspomniana hipoteza. Na przykład 12 można rozbić, czyli przedstawić jako sumę p i q na jeden sposób (5 + 7), ale każde 2n>12 – na co najmniej dwa sposoby. Liczbę 68 da się podzielić na dwa sposoby (7 + 61 i 31 + 37), ale każde 2n>68 – na co najmniej trzy sposoby. 128 – na trzy sposoby (19 + 109, 31 + 97, 61 + 67), ale jeśli 2n>128, to będą przynajmniej cztery sposoby itd. Jak widać liczba rozbić (podziałów, partycji) rośnie wraz ze wzrostem liczby 2n, choć nie jest to ciąg monotoniczny, czyli trafiają się w nim górki i dołki. Na przykład, choć 68 dzieli się tylko na dwa sposoby, to 60 – na sześć sposobów.

Nazwijmy podziałem ekstremalnym danej liczby 2n taką partycję, w której różnica (q – p) jest największa (q>p), czyli p jest najmniejsze (pmin). Ciąg pmin dla kolejnych 2n jest ciągiem „skaczącym”, ale osiąga maksimum, którego jak dotąd nie przeskoczył (sprawdzono przy użyciu komputera dla wszystkich 2n<12×1017). To maksimum wynosi 5569 dla 2n = 389965026819938. Inaczej mówiąc, tej długiej liczby nie można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych, z których mniejsza będzie mniejsza od 5569.
I już jesteśmy blisko poprawki. Zadanie-polecenie w książce powinno brzmieć tak:

weźmy na początek coś, co pozornie wydaje się proste: znajdźmy dwie liczby pierwsze  składające się na sumę 389965026819938, ale takie, między którymi różnica będzie największa (wcale nie wydaje mi się to pozornie proste).

Rozwiązanie: 5569 + 389965026814369.
Gdyby ktoś miał wątpliwości, może skorzystać z testera liczb pierwszych.

Na koniec wróćmy do loterii, nie zapominając o liczbach pierwszych. Ściślej, chodzi o grę liczbową typu Lotto i typowy kupon:

Zasady także są typowe – grający skreśla sześć liczb.
Panowie A, B i C mają ustalone, ogólne sposoby gry.
A skreśla najpierw cztery mniejsze liczby, a potem dwie większe, ale takie, których suma równa jest sumie czterech mniejszych.
B uważa, aby w żadnym wierszu, ani w żadnej kolumnie nie znalazła się więcej niż jedna skreślona liczba.
C skreśla tylko liczby pierwsze.
Czy jest możliwe, aby wszyscy trzej trafili szóstkę w tym samym losowaniu, czyli aby każdy z nich skreślił jednakowe liczby? Jeśli tak, to jakie?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.