Pary flirtujące

3 września 2011
Marek Penszko

W wolnych chwilach kojarzę pary, a ściślej – próbuję wymyślać nowe sposoby kojarzenia par liczb. Sprawdzone i znane od starożytności są dwa. Jeden wiedzie ku liczbom pierwszym bliźniaczym, drugi – bardziej wyszukany – ku liczbom zaprzyjaźnionym. Przypomnę, jakie są w obu przypadkach kryteria kojarzenia. Jeśli różnica między dwiema liczbami pierwszymi wynosi 2, to są one bliźniaczkami, a parada par zaczyna się od 3 i 5; jeżeli suma dzielników liczby A jest równa liczbie B, a suma dzielników B równa jest A (A i B pomijamy jako dzielniki), to liczby się przyjaźnią, a w pierwszej parze idą 220 i 284. Bliskie „przyjaciółkom”, ale mało znane są „liczby zaręczone”. Powstają, gdy sposób zaprzyjaźniania odrobinę zmodyfikujemy, pomijając także jedynkę jako dzielnik, bo jest ona – podobnie jak cała liczba – dzielnikiem trywialnym. Pierwszą zaręczoną parę tworzą 48 i 75, ponieważ suma nietrywialnych dzielników 48 (2+3+4+6+8+12+16+24) wynosi 75, a suma dzielników 75 (3+5+15+25) równa się 48.

Wśród tzw. łamigłówek ciągowych, typowych dla testów Mensy, można trafić na następującą:

Jaka powinna być kolejna liczba w ciągu:
11, 13, 16, 22, 26, 38, …?

Kto chciałby przez chwilę pogłówkować, powinien teraz przerwać czytanie, bo za kilka linijek wszystko będzie jasne.
Właśnie ten ciąg podsunął mi pomysł na kojarzenie, choć nie miałem pewności, czy nowy sposób okaże się w praktyce interesujący i owocny.

Ciąg z łamigłówki á la Mensa szybko zmienia się w stały, jeśli przyjąć najprostszą, najłatwiejszą do zauważenia zasadę jego budowy: każdy następny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i iloczynu tworzących go cyfr (byłby rosnący np. po ustaleniu, że gdy pojawiają się zera, to pomijamy je w iloczynie).
Zacząć można oczywiście od dowolnej liczby. Jeśli na początku będzie 19, to zero wychynie już po trzecim kroku:
19, 28, 44, 60,…
Równocześnie jednak pojawi się pierwsza para – nazwijmy ją flirtującą. Chodzi o 28 i 44, ponieważ różnica między liczbami jest taka, jak iloczyn cyfr tworzących każdą z nich. Inaczej mówiąc, jeśli do liczby A dodamy iloczyn jej cyfr, to powstanie liczba B, a jeśli od liczby B odejmiemy iloczyn jej cyfr, to powstanie A. Po krótkich poszukiwaniach znalazłem dwie kolejne flirtujące pary – 128 i 144 (to oczywiste, jeśli znamy pierwszą parę) oraz 214 i 222. Kto znajdzie następną, oczywiście mniejszą niż 1128 i 1144? A czy ktoś znajdzie najmniejszą, w której przynajmniej jedna liczba będzie nieparzysta – o ile w ogóle jest to możliwe?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.