Nasze ułamki

Jedno zadanie z marcowego konkursu w Świecie Nauki wydaje mi się warte zaprezentowania na forum łamiblogowym, choćby gwoli potwierdzenia przez szanownych komentatorów-ekspertów, jeśli będą tak mili, że rozwiązań jest tyle i takich, jak wynika z dotychczasowych „typowań”.

Zasadniczym tematem artykułu i towarzyszącego mu konkursu były tzw. ułamki egipskie, czyli takie, których zapis jest sumą ułamków prostych. Z kolei cechą charakterystyczną ułamka prostego, zwanego też jednostkowym, jest jedynka w liczniku, a więc jest on jakby odwrotnością liczby naturalnej.
Przykład: 1/2, 1/4 i 1/8 to ułamki proste, zaś 1/2 + 1/4 + 1/8 to ułamek egipski równy ułamkowi właściwemu 7/8. Warunkiem „egipskości” są różne ułamki tworzące sumę, zatem do 1/3 + 1/5 + 1/5 Egipcjanie by się nie przyznali.

Po co podwładni faraonów wpakowali się w takie cudaki – dokładnie nie wiadomo. Czasem przydawały się do celów praktycznych, ale częściej nie. Wykonywanie na nich działań to zajęcie karkołomne. Wyzwaniem dla komputera jest także w ogólnym przypadku „przekład” ułamka właściwego na najlepszy egipski („najlepszy” oznacza: po pierwsze – najmniej składników, po drugie – najmniejszy największy mianownik).
Na przykład ułamek 5/121 przetłumaczony na egipski przy pomocy tzw. algorytmu Fibonacciego składa się z pięciu ułamków prostych, z których ostatni ma w mianowniku liczbę 25-cyfrową. Dopiero w połowie XX wieku udało się znaleźć lepszy przekład: 5/121 = 1/25 + 1/759 + 1/208725, a po paru latach znacznie zmniejszyć największy mianownik: 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363. Lepiej się nie da (chyba że Antyp coś wykombinuje 😉 ).

Zadanie, o którym wspomniałem na wstępie dotyczy spokrewnionych z ułamkami prostymi, a więc trochę i z egipskimi, ułamków polskich 😉 . Różnica jest tylko taka, że w liczniku zamiast jedynki znajduje się dowolna liczba jednocyfrowa. Poza tym ułamek powinien być właściwy i nieskracalny.
Z dziewięciu różnych cyfr (oprócz zera) należy utworzyć trzy ułamki polskie:
A/D,   B/EF,   C/GHI
takie, aby ich liczniki (A, B, C,…) i mianowniki (D, EF, GHI,…) tworzyły dwa ciągi arytmetyczne rosnące.
Pytanie zasadnicze brzmi: ile takich tercetów Polish Fractions można utworzyć?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.