Nasze ułamki
Jedno zadanie z marcowego konkursu w Świecie Nauki wydaje mi się warte zaprezentowania na forum łamiblogowym, choćby gwoli potwierdzenia przez szanownych komentatorów-ekspertów, jeśli będą tak mili, że rozwiązań jest tyle i takich, jak wynika z dotychczasowych „typowań”.
Zasadniczym tematem artykułu i towarzyszącego mu konkursu były tzw. ułamki egipskie, czyli takie, których zapis jest sumą ułamków prostych. Z kolei cechą charakterystyczną ułamka prostego, zwanego też jednostkowym, jest jedynka w liczniku, a więc jest on jakby odwrotnością liczby naturalnej.
Przykład: 1/2, 1/4 i 1/8 to ułamki proste, zaś 1/2 + 1/4 + 1/8 to ułamek egipski równy ułamkowi właściwemu 7/8. Warunkiem „egipskości” są różne ułamki tworzące sumę, zatem do 1/3 + 1/5 + 1/5 Egipcjanie by się nie przyznali.
Po co podwładni faraonów wpakowali się w takie cudaki – dokładnie nie wiadomo. Czasem przydawały się do celów praktycznych, ale częściej nie. Wykonywanie na nich działań to zajęcie karkołomne. Wyzwaniem dla komputera jest także w ogólnym przypadku „przekład” ułamka właściwego na najlepszy egipski („najlepszy” oznacza: po pierwsze – najmniej składników, po drugie – najmniejszy największy mianownik).
Na przykład ułamek 5/121 przetłumaczony na egipski przy pomocy tzw. algorytmu Fibonacciego składa się z pięciu ułamków prostych, z których ostatni ma w mianowniku liczbę 25-cyfrową. Dopiero w połowie XX wieku udało się znaleźć lepszy przekład: 5/121 = 1/25 + 1/759 + 1/208725, a po paru latach znacznie zmniejszyć największy mianownik: 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363. Lepiej się nie da (chyba że Antyp coś wykombinuje 😉 ).
Zadanie, o którym wspomniałem na wstępie dotyczy spokrewnionych z ułamkami prostymi, a więc trochę i z egipskimi, ułamków polskich 😉 . Różnica jest tylko taka, że w liczniku zamiast jedynki znajduje się dowolna liczba jednocyfrowa. Poza tym ułamek powinien być właściwy i nieskracalny.
Z dziewięciu różnych cyfr (oprócz zera) należy utworzyć trzy ułamki polskie:
A/D, B/EF, C/GHI
takie, aby ich liczniki (A, B, C,…) i mianowniki (D, EF, GHI,…) tworzyły dwa ciągi arytmetyczne rosnące.
Pytanie zasadnicze brzmi: ile takich tercetów Polish Fractions można utworzyć?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
Rozwiązanie zadania z ułamkami polskimi. Wszystkich rozwiązań jest 12.
*2: 3 4:89 6:175
*2: 3 4:95 6:187
*2: 5 4:89 6:173
*2: 7 4:83 6:159
*2: 7 4:95 6:183
*2: 9 4:83 6:157
*2: 3 5:76 8:149
*2: 9 5:76 8:143
*5: 6 4:89 3:172
*6: 7 4:83 2:159
*6: 7 4:95 2:183
*8: 9 5:76 2:143
Poniższe 24 rozwiązania nie spełniają warunku nieskracalności
2: 5 3:87 4:169
2: 5 3:96 4:187
2: 7 3:96 4:185
2: 9 3:87 4:165
3: 6 4:89 5:172
3: 6 4:92 5:178
3: 7 4:68 5:129
3: 8 4:92 5:176
3: 9 4:68 5:127
3: 6 5:94 7:182
3: 4 6:78 9:152
3: 8 6:75 9:142
4: 5 3:87 2:169
4: 5 3:96 2:187
4: 7 3:96 2:185
4: 9 3:87 2:165
4: 5 6:72 8:139
4: 9 6:72 8:135
5: 6 4:92 3:178
5: 7 4:68 3:129
5: 8 4:92 3:176
5: 9 4:68 3:127
6: 9 4:83 2:157
8: 9 6:72 4:135
Pozdrowienia Antyp
Ułamki egipskie
Nie można, niestety, poprawić wyniku podanego we wpisie, ale przykłady innych rozwiązań dla ułamka 5/125 oczywiście istnieją np:
25 825 9075
26 363 9438
27 242 6534
27 297 1089
30 132 2420
33 93 3751
33 99 1089
33 121 363
44 55 2420
45 55 1089
Podane są tutaj tylko mianowniki, bo licznik jest równy jeden.
W ułamkach egipskich jest jeden wyjątek jest to ułamek 2/3.
Oprócz ułamków 2/3 i 3/4 Egipcjanie posługiwali się wyłącznie ułamkami o liczniku 1 (tak jak to opisane jest we wpisie). Ułamki zapisywano za pomocą hieroglifu ust, umieszczanego nad liczbą pełniącą funkcję mianownika. Od tego są trzy wyjątki: 1/2, 2/3 i 3/4, dla których Egipcjanie mieli oddzielne znaki.
Znalazłam cztery rozwiązania:
2/3, 4/89, 6/175
2/5, 4/89, 6/173
2/9, 5/76, 8/143
2/9, 4/83, 6/157
Jest 6 rozwiązań:
2 4 6
– + — + —
3 89 175
2 4 6
– + — + —
3 95 187
2 4 6
– + — + —
5 89 173
2 4 6
– + — + —
9 83 157
2 5 8
– + — + —
3 76 149
2 5 8
– + — + —
9 76 143
Części rozwiązań Antypa nie można uznać, gdyż liczniki miały tworzyć ciągi arytmetyczne rosnące.