Dowodów nie będzie
Zadanie zamieszczone w poprzednim wpisie nie było łatwe. Chyba jednak przesadziłem z „matematyzacją” łamania głowy, zwłaszcza że chodziło o dowód, czyli w łamigłówkowym światku przypadek rzadki i niezbyt kuszący.
Koncepcja dowodu zaproponowana przez Esteona wydaje się bardzo oryginalna, choć, jeśli chodzi o szczegóły, nie wszystko jest dla mnie jasne. Dowód Jazza jest natomiast nieścisły, ale właściwie trudno zdecydowanie uznać go za błędny. Jazz wskazał na sprzeczność między wymierną sumą S, zebraną w ciągu M dni odpowiadających M-elementowemu okresowi, a niewymierną wartością M*sqrt2. Ale przecież chodziło o wymierną kwotę najbliższą M*sqrt2, a nie równą jej.
W istocie jednak ścisły dowód – także nie wprost – sprowadza się w końcu do tego, co zaproponował Jazz. Zacząć należy jednak od nierówności:
|sn-n*sqrt2| < 1/2
Teraz zakładamy, że począwszy od jakiegoś n>N ciąg staje się okresowy i zamiast n podstawiamy N+xM, a zamiast sn wstawiamy sN+xM=sN+xS, gdzie x jest dowolną liczbą naturalną.
Następnie, przekształcając nierówność i zakładając, że x może być dowolnie duże, dochodzimy do wniosku, że wyrażenie:
|S/M-sqrt2|
powinno być równe zero – czyli dokładnie tak, jak w dowodzie Jazza – co jest oczywiście niemożliwe.
Nie wchodzę w szczegóły, bo Łamiblog i tak już za bardzo zaczyna przypominać podręcznik do matematyki. Osoby zainteresowane zapewne bez trudu rozgryzą cały dowód z detalami.
Nie odbiegając od matematyki, ale już nie strasząc dowodem, proponuję tym razem coś bardziej strawnego i bardziej konkretnego.
Każda liczba, należąca do pewnego podzbioru liczb naturalnych, spełnia następujący warunek:
– jeśli jest podzielna przez p-1, gdzie p jest liczbą pierwszą, to dzieli się także przez p.
Jaka jest najmniejsza liczba w tym podzbiorze?
Komentarze
Jak dokładnie, to dokładnie.
Mam problem z tym zadaniem, gdyż z treści zadania nie wynika, czy rzeczony podzbiór zawiera wszystkie liczby naturalne spełniające opisany warunek. Jeśli tak, to liczba 2 będzie tą najmniejszą. A jeśli nie, to nie wiem.
Pozdrawiam
2
NWW(p, p-1) = 2 jeśli p=2
Liczby w zbiorze: 2, 6, 20, 42, 110, 156, 272…
Jak dokładnie, to dokładnie, c.d.
W tym zadaniu kryje się jeszcze jedna wątpliwość. Bo nie wiem, czy podany warunek musi być spełniony zawsze tj. dla KAŻDEGO p, dla którego p-1 jest dzielnikiem liczby z podzbioru, a p jest liczbą pierwszą, to liczba p musi być także dzielnikiem. Czy może wystarczy że ISTNIEJE takie p, dla którego spełniony jest warunek? Jeśli dla KAŻDEGO, to rzeczony zbiór jest zbiorem pustym.
Dopowiadam, choć moim zdaniem dopowiedzenie nie jest konieczne:
podany warunek musi być spełniony dla KAŻDEGO podzielnika p-1 danej liczby.
Uwolniłem odpowiedź nemo, ponieważ nie jest poprawna. Nie powiem dlaczego, bo troszkę bym ułatwił. Odsyłam po wyjaśnienie do definicji liczby pierwszej.
mp
To ja nic nie rozumiem 😯 Wydawało mi się dziwnie proste, więc pewnie gdzieś jest hak 😉
Liczby pierwsze dzielą się przez siebie i przez 1.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 itd.
Najmniejsza liczba pierwsza to 2. Jeśli p=2 to p-1=1
6 dzieli się przez 3 (liczba pierwsza) i przez 2 (3-1)
Gdzie jest ten hak? 😯
Uch, 😳 KAŻDEGO 🙁
1807?
Do pkp:
powinienem uwolnić odpowiedź, bo jest błędna, jednak nie robię tego, bo błąd jest tak mały, że mniejszy być nie może:)
mp
Liczba 2 nie należy do zbioru, bo jest podzielna przez 3-1, a przez 3 nie jest. Każda z liczb w tym zbiorze jest oczywiście podzielna przez 2 (bo jest przez 1), a zatem także przez 3, a zatem przez 7 (bo jest przez 6), a zatem przez 43, a zatem przez 1807…
Chylę czoła przed tymi, którzy nie dali się wpuścić w maliny i od razu poszli właściwą ścieżką myślenia.
1. Ponieważ 1|N, to 2|N, czyli N=k*2 (bo 2 jest liczbą pierwszą).
2. Ponieważ 2|N, to 3|N, czyli N=k*2*3=k*6 (bo 3 jest liczbą pierwszą).
3. Ponieważ 6|N, to 7|N, czyli N=k*6*7=k*42 (bo 7 jest liczbą pierwszą).
4. Ponieważ 42|N, to 43|N, czyli N=k*42*43=k*1806 (bo 43 jest liczbą pierwszą).
5. 1807 nie musi dzielić N bo nie jest liczbą pierwszą.
Sprawdzamy 1806 i wszystko się zgadza.
Pozdrawiam
Przepraszam, oczywiscie 1806! 1807 sprawdzalem tylko, czy jest pierwsza (gdyby byla, to trzebaby szukac dalej, czyli 43*1807 ) i nie wiem czemu akurat ja wpisalem.
42 -> dzielniki to: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
4, 8, 15, 22 nie sa liczbami pierwszymi.
Kazda liczba dzieli sie przez 1 -> czyli szukana musi dzielic sie przez p=2
Skoro dzieli sie przez 2 -> musi dzielic sie przez p=3
Skoro przez 2 i 3, to tez przez 6 -> czyli tez p=7.
2*3*7=42 i ta liczba spelnia warunki zadania.
P.S. Jesli potrzeba/warto, zebym wyjasnil rozwiazanie poprzedniego zadania, to prosze dac znac. (aczkolwiek jest to ten sam argument co „oficjalny” – tylko na odcinku zwinietym w petle)
Najmniejsza liczba to 2*3*7*43=1806
Każda liczba naturalna dzieli się przez 1, więc każda liczba z naszego podzbioru dzieli się przez 2. Ponieważ każda liczba z tego podzbioru dzieli się przez 2, więc dzieli się przez 3. Ponieważ dzieli sie przez 2 i przez 3, więc dzieli się przez 6. Jeśli dzieli się przez 6 to i przez 7. Jeśli przez 6 i 7 to przez 42, jeśli przez 42 to i przez 43. (1807 nie jest l. pierwszą)
Przeczytałem komentarze i prawde mówiąc nie rozumiem dlaczego 2 jest złą odpowiedzią 🙁 biorąc pod uwage na przykład podzbiór (2,6)
w sumie, podzbiór można rozciągać w nieskończoność, tworząc kolejne wyrazy tego podzbioru jako iloczyn kolejnych liczb pierwszych i tych o jeden mniejszych (jeśli ta liczba o jeden mniejsza od kolejnej ‚p’ nie da sie uzyskac z podzielników!):
1*2
1*2*3 (a nie 1*2*2*3!)
1*2*3*4*5
1*2*3*4*5*7 (*6 nie bo 2*3=6)
1*2*3*4*5*7*11 (*10 nie bo 2*5=10)
i tak dalej
wydaje mi sie ze dobrze myslę :):):)
no i jesli wywalimy z tego rozumowania moim zdaniem wątpliwą ‚1’ to tą liczbą ewentualnie może byc 6.
2 dzieli sie przez 2 (p-1), ale nie dzieli sie przez 3 (p)
2 jest błędną odpowiedzią bo:
– dzienikiem 2 jest 2 (czyli p-1; p=3 i jest liczbą pierwszą),
– warunek mówi że w takim przypadku dzielnikiem powinna być rówież p czyli 3 a tak nie jest.
Podobnie jest z 6 – dzieli się przez 6 więc powinna dzielić się również przez 7. Wynika z tego że liczba N należąca do podanego przedziału musi spełniać jednocześnie warunek: N+1 nie jest liczbą pierszą
Ale odpowiedzi na razie nie znam
Czy liczba 0 w tym przypadku należy do zbioru liczb naturalnych? Jesli tak to jest to szukana odpowiedź.
Każda liczba naturalna, w szczególności te z naszego zbioru, dzieli się przez 1=2-1. Stąd wszystkie liczby ze zbioru muszą być parzyste.
Jeśli każda liczba ze zbioru dzieli się przez 2=3-1, to dzieli się też przez 3.
Stąd wszystkie liczby ze zbioru mają postać k*2*3, dla pewnych, nieznanych nam jeszcze k.
Jeśli liczba dzieli się przez 6, to dzieli też przez 7. Zatem liczby z podzbioru są wielokrotnościami 42. Nie wszystkimi, oczywiście, bo np. 84 dzieli się przez 4, a nie dzieli przez 5, więc do podzbioru nie należy.
Najmniejszą liczbą z tego zbioru jest 42.
to musi być 42 !!
podzielne przez 1 => musi być podzielne przez 2
jeśli podzielne przez 2 => musi być podzielne przez 3
nie podzielne przez 4 => to nie musi być podzielne przez 5
podzielne przez 6 => to musi być podzielne przez 7
nie podzielne przez 10 => to nie musi być podzielne przez 11
nie podzielne przez 12 => to nie musi być podzielne przez 13
nie podzielne przez 16 => to nie musi być podzielne przez 17
nie podzielne przez 22 => to nie musi być podzilene przez 23
Oczywiście nie sprawdziłam, że 43 jest pierwsza…
Wszystkie liczby w podzbiorze muszą być też więc podzielne przez 43
Zatem przyjrzyjmy się liczbie 43*42=1806 i jej podzielnikom.
Liczba 43*7*3*2 +1 = 1807 = 13*139 jest złożona.
Podzielniki nieparzyste po dodaniu jedynki stają się w oczywisty sposób złożone, więc wystarczy rozpatrywać te podzielne przez 2.
2+1=3 występuje już w rozkładzie.
2*3+1=7 występuje już w rozkładzie.
2*7+1=15=3*5 złożona
2*3*7+1=43 występuje już w rozkładzie
2*3*43+1 = 259 = 7*37 złożona
2*7*43+1 = 603 =3*3*67 złożona.
Zatem każdy dzielnik liczby 1806 powiększony o 1 jest albo złożony, albo występuje w rozkładzie 1806 na czynniki pierwsze.
Najmniesza liczba to 2*3*7*43=1806,
Piotr S.:
W tym zadaniu zera nie można traktować jako liczby naturalnej, bo mowa jest o dzielnikach liczby naturalnej n, czyli o liczbie złożonej n. A zero nie jest liczbą złożoną. Zresztą pierwszą też nie.
a
Andy:
W zadaniu jest powiedziane jedynie że chodzi o podzbiór zbioru liczb naturalnych a zwykle 0 jest zaliczane do tego zbioru. No i 0 dzieli się przez 1, dzieli się przez 2, …
Ale rzeczywiście liczbą złożoną nie jest.
Wiąz:
to nie jest 42 bo:
– 42 dzieli się przez 42 (p-1)
– więc powinno dzielić się również przez 43 (czyli p bo 43 jest liczbą pierwszą) a raczej się nie dzieli
Uwaga Piotra S., moim zdaniem, jest jak najbardziej uzasadniona. Na potwierdzenie pozwolę sobie zwrócić uwagę np. na http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzielnik a szczególnie na fragment dotyczący ‚Dzielnika jako przeciwieństwa wielokrotności’. W pierwszym akapicie pod tym tytułem mamy wyraźnie napisane, że jeśli w zbiorze jest element zerowy, to każdy element jest jego dzielnikiem.
Pozdrawiem
Zadanie jest podchwytliwe bo podzbiór którego szukamy jest PUSTY.
Oto dlaczego:
– szukana liczba (nazwijmy są X) dzieli się przez 1 więc musi dzielić się przez 2
– dzieli się przez 2 więc dzielić się przez 3
– podejrzenie pada na 6
– ale 6 dzieli się przez 6 więc X musi się dzielić przez 7 => podejrzenie że X=42
– ale 42 dzieli się przez 42 więc X musi się dzielić przez 43 => podejrzewamy liczbę 1806
– ale znowu 1807 jest liczbą pierwszą więc podejrzewamy X=1806*1807
I tak dalej.
Ale przyznam ze formalnego dowodu nie znam.
Powiem inaczej:
Mamy wolny wybór: zaleznie od okoliczności możemy uznać zero za liczbę naturalną lub nie. W tym zadaniu optuję za nieuznaniem, bo uznanie „kladzie” całe zadanie.
Skoro zero dzieli się przez wszystko, to po jakie licho w zadaniu podawany byłby warunek, że jeżeli liczba n dzieli się przez „to”, to wtedy dzieli się przez „tamto”?
Oczywiście, jeżeli ktoś bardzo chce, aby zero było rozwiązaniem, to jestem bezradny.
a
Oczywiscie oslepilo mnie -> 1806 jest ok…
Do Piotra S. -> 1807 = 13*1309.
Co do dyskusji odnosnie zera -> faktycznie trzeba sie zgodzic, ze jest to poprawne rozwiazanie (zero dzieli sie przez kazda liczbe); o ile tylko uznamy, ze jest liczba naturalna -> a jak wiadomo tego najstarsi gorale/matematycy nie potrafia uzgodnic.
Huch, widzę, że z myśleniem matematycznym u mnie jest jak w tym dowcipie:
Stary nauczyciel matematyki spotyka swojego byłego ucznia – kompletnego matematycznego głąba. Młody człowiek wysiada właśnie z nowego jaguara, ubrany jest w elegancki garnitur i wygląda na zadowolonego, zamożnego biznesmena. Wita się serdecznie ze starym pedagogiem i na pytanie, jak mu się ułożyło życie, odpowiada:
– Panie profesorze, kupuję długopisy po złotówce, sprzedaję po cztery złote i z tych trzech procent żyję! 😉
Andy,
myślę, że na tę kwestię można spojrzeć jeszcze inaczej. Jeśli ktoś podaje do rozwiązania zadanie nie do końca jednoznacznie sprecyzowane, to musi liczyć się z różnymi jego wariantami. I na jeden z takich wariantów zwrócił uwagę Piort S. Czy autorowi również chodziło o takie rozwiązanie – tego nie wiem. Wiem jedynie, że w tym zadaniu takich niedomówień jest więcej. Osobiście nie liczyłbym na idealną precyzję. Jak wiemy bez użycia jezyka matematyki często nie jest to możliwe, a na dodatek niejednokrotnie niecelowe. Z komentarzy do tego, z pozoru trywialnego, zadania znów wnioskuję, jak bardzo steteotypowo podchodzimy do niby oczywistych rzeczy. Osobiście doświadczyłem na własnej skórze jak schematyczne myślenie mogło prowadzić do tragicznych następstw.
Pozdrawiam
Reasumując przeczytane przeze mnie posty, a w szczegolnosci Piotra S.
dochodzimy do generatora liczb pierwszych (ale nie kolejnych!):
liczby pierwsze:
X(0) = 1
X(n) = [iloczyn X(i), gdzie i=od 0 do n-1] + 1;
P.S.
[iloczyn X(i), gdzie i=od 0 do n-1] oznacza ten zapis z wielką literą PI :), którego tu nie umiałem pokazać:)
lub inaczej:
X(0)=1
X(1)=2
X(n)=[X(n-1)-1]*X(n-1) + 1
dostajemy ciag:
1,2,3,7,43,1807,3263443,……..
Ale ale!!!!
1807 = 13×139
ale znowu liczba 3263443 jest jednak liczbą pierwszą,
czyli….. czyżby szukaną odpowiedzią na problem postawiony w tym artykule była liczba 1807 ????
przepraszam nie 1807 a 1806 (pogubiłem się deczko)
Po nieprzespanej nocy:) przyznaję się do dwóch nieścisłości, o których była mowa w komentarzach (KAŻDEGO i zero).
Ośmielam się też zauważyć, że nieścisłości mają swoje zalety.
Podzielam również opinię, której nikt nie wyraził, że zadanie jest fajne.
Dziękuję za miłe i wnikliwe komentarze.
m
Fajnosci zadania dowodzi 🙂 oczywiscie ilosc komentarzy.
A co do „kazdego”, to ja nie rozumiem w czym problem.
Na wszelki wypadek przepisze zadanie formalnie:
Dany jest zbior
K = { n nalezacym do N : [(p-1 | n) oraz (p jest liczba pierwsza)] to (p|n) }
na co tu kwantyfikator? (zero to inny temat)
Esteonie, oczywiście masz rację. Zresztą w czwartym komentarzu też wyraziłem taką opinię.
Wiem jednak z doświadczenia, że jeśli w łamigłówce, która nie jest z założenia zadaniem matematycznym (choć formalnie może nim być) nie jest powiedziane wprost, czy chodzi o sformułowanie: „dla każdego x…”, czy „istnieje takie x, że…”, to zawsze – choć zwykle niesłusznie – pojawiają się wątpliwości.
Pisząc o nieścisłości miałem więc na myśli dopowiedzenie albo podkreślenie w ramach dmuchania na zimne.
mp
Dołączam do tych, którzy uważają, że tak burzliwa dyskusja tylko potwierdza ‚fajność’ tego zadania. Jest proste a jednocześnie niebanalne. Niby wszyscy wiedzą jak je rozwiązać a mimo tego wielu dało się zwieść. Sam z początku uległem tej pozornej oczywistości.
A z bardziej osobistych wynurzeń, to muszę przyznać, że uczestnictwo w tej zabawie i wymiana poglądów z innymi jej uczestnikami daje mi wiele satysfakcji. Przyznam, że z pewną niecierpliwością oczekuję kolejnych zadań-łamigłówek.
Pozdrawiam serdecznie,
Jazz
Goodday
awesome post – i’m creating video about it and i will post it to youtube !
if you wana to help or just need a link send me email !