Czary-mary

14 lutego 2007
Marek Penszko

Uprzedzam i z góry przepraszam zaawansowanych główkołamaczy – tym razem będzie nieco infantylnie.

Dzieci uwielbiają sztuczki – oglądać i pokazywać, nierzadko nawet bardziej to drugie. Lubią także bawić się liczbami. Maciek, ośmioletni syn moich sąsiadów, wie o mojej słabości do łamigłówek.
– Wujku, pomyśl sobie jakąś liczbę od 1 do 10.
– Pomyślałem.
– Pomnóż ją przez dwa.
– Już.
– Dodaj dziesięć.
– Gotowe.
– Weź połowę tego, co otrzymałeś.
– Mam połowę.
– Dodaj cztery.
– Dodane.
– Odejmij tę liczbę, którą pomyślałeś na początku.
– Już odjąłem.
– Wiem, ile ci wyszło – dziewięć.
– Nie.
– Eee… Jak to?
– Żartowałem, oczywiście że dziewięć.
– Hurra! Fajna sztuczka, co nie?

Takie liczbowe odgadywanki były popularną rozrywką już w XVII wieku. Wśród warstw nieoświeconych uchodziły za przejaw umiejętności niemal czarnoksięskich. Dziś uznajemy je za trywialne, choć nie zawsze ich sekret łatwo jest rozszyfrować.

Pytanie kobiety o lata to oczywiście gruby nietakt, ale można go odchudzić prosząc damę, aby podzieliła swój wiek przez 3, przez 5 i przez 7, podała resztę z każdego dzielenia i… już wiadomo, ile pani liczy sobie wiosen. Wystarczy skorzystać z tzw. chińskiego twierdzenia o resztach – jednego z fundamentalnych w teorii liczb. A twierdzenie to ma blisko dwa tysiące lat.

Jeżeli liczby całkowite dodatnie A, B, C spełniają warunki:
– A jest większe od B, a B większe od C,
– A jest mniejsze od iloczynu B i C,
– B i C nie mają wspólnych podzielników większych od jednego,
wówczas liczba A jest jednoznacznie określona przez parę liczb, z których jedna jest resztą z dzielenia A przez B, a druga resztą z dzielenia A przez C.

Oszczędzę Państwu dłuższych wywodów, podam tylko wzór końcowy, z którego należy skorzystać, aby określić wiek – będzie on równy reszcie z dzielenia:
(70x + 21y + 15z) : 105
gdzie x, y, z są resztami z dzieleń lat delikwenta odpowiednio przez 3, 5 i 7. Proszę sprawdzić na sobie, że wzór „działa”.

Wypada, aby wujek czymś się zrewanżował. Poprosiłem Maćka o przygotowanie kwadratowej kartki, podzielenie jej liniami na 16 małych kwadratów i wpisanie w kwadraty kolejno liczb od 1 do 16. Poprosiłem także, by przez chwilę pobawił się zginając kartkę – kilkakrotnie wzdłuż każdej oznaczonej linii, w obie strony, aby zgięcia się „wyrobiły”.

048.jpg

Po paru minutach Maciek zjawił się z ponadginaną kartką.
– Może być?
– W porządku. Teraz zacznij składać kartkę. Dowolnie, byle wzdłuż oznaczonych linii. Możesz złożyć ją na pół, potem znów na pół i tak dalej, ale możesz także zagiąć na początku jeden rząd kwadratów, potem znowu jeden rząd – dłuższy lub krótszy… Wszystko jedno, wzdłuż której linii i w którą stronę, byleby na końcu, czyli po czterech zgięciach, powstała składka w postaci małego, grubaśnego kwadracika.
Maciek kombinował przy składaniu, pytając się za każdym razem, czy tak wolno. W końcu ścisnął finalny kwadracik. Dałem mu nożyczki.
– Zmniejsz kwadratową składkę, obcinając jej cztery boki. W ten sposób usuniesz wszystkie linie zgięć i składka rozpadnie się na szesnaście małych kwadracików, ale wciąż trzymaj je razem. A teraz połóż na stole i – nie odwracając żadnego – porozsuwaj je tak, abyś widział wszystkie. Na niektórych zobaczysz liczby, na innych nie, bo będą leżały spodem do góry. Dodaj wszystkie widoczne liczby i odwróć karteczkę, którą umieściłem obok na stole.
Maciek spojrzał na mnie z niedowierzaniem, gdy okazało się, że obliczona suma i liczba zapisana na karteczce są równe.
– Wujku, jak to zrobiłeś?
– To nie ja. Samo wyszło. Zastanów się, dlaczego.

Ponieważ Maciek chodzi na lekcje angielskiego, zaproponowałem mu, aby zajrzał na tę stronę. Wspaniały iluzjonista i jego pomocnik prezentują tam liczbową sztuczkę-łamigłówkę, która nawet na starych koniach może zrobić spore wrażenie – dopóki jej trik nie zostanie ujawniony. Niektórzy, by nie pozbawiać się iluzji, wolą nie poznawać sekretu, choć jest on dziecinnie prosty.