PAP rekord
Lipiec dobiega końca, ale zanim zacznie się ósmy miesiąc, nawiążę do obecnego, czyli będzie trochę siódemkowo. Na początek coś z innej beczki niż zwykle i z lekkim przymrużeniem oka.
Jaka krówka ma 7 kropek?
Nazwa jakiej znanej firmy motoryzacyjnej kojarzy się z liczbą 7 (choć jej logo – z liczbą 6)?
Jakie bardzo pospolite zwierzę ma 7 par nóg?
Jakie znane łamigłówki lub gry „układankowe” składają się z 7 części?
Jakie 7 państw wyróżnia się tym, że nazwa każdego jest 7-literowa i złożona z różnych liter?
Można by tak długo „kwizować”, bo siódemka należy do liczb kultowych, więc ciekawostek z nią związanych znalazłoby się bez liku – od siedmiu grzechów głównych i siódmego nieba do siedmiu książek o przygodach Harry’ego Pottera. Osobliwości matematyczno-łamigłówkowych także jest sporo, ale zamiast je wymieniać, lepiej potraktować niektóre jako okazję do ogólniejszych rozważań.
Od siedmiu zaczynają się dwa krótkie, ale treściwe i bogate w siódemki ciągi:
7, 37, 67, 97, 127, 157.
7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.
Oba są najdłuższymi ciągami arytmetycznymi złożonymi z liczb pierwszych – pierwszy w zakresie liczb do 500, drugi do 1000.
Równo sto lat temu angielski matematyk amator Edward Escott znalazł ciąg 10-wyrazowy: pierwszy wyraz a = 199, różnica d = 210. To był początek nowego zagadnienia w teorii liczb, a ściślej – w teorii liczb pierwszych. W skrócie takie ciągi nazwano PAP (Primes in Arithmetic Progression).
Praktycznie zagadnienie sprowadza się do opracowywania algorytmów i pisania programów umożliwiających szukanie najdłuższych ciągów. Algorytmy oparte są na teorii, która wbrew pozorom nie sprowadza się tylko do prostego spostrzeżenia, że różnice d muszą być parzyste. Można na przykład udowodnić, że dla PAP złożonego z k wyrazów różnica w ciągu będzie podzielna przez wszystkie liczby pierwsze mniejsze od k. Teoria ułatwia poszukiwania, ale efekty zależą przede wszystkim od szybkich komputerów, a ściślej od ich zbiorowego wysiłku. W ciągu 100 lat dojechano do 26-wyrazowego PAP. Nowy rekord padł trzy miesiące temu, a jego współautorem jest matematyk z Uniwersytetu Wrocławskiego Jarosław Wróblewski. Wypada dodać, że szukanie nie ogranicza się do dowolnych PAP. Rekordy bite są w kilku kategoriach, bo dla określonego k ciągów zwykle jest wiele, choć im większe k, tym mniej (tylko dla kilku największych k na razie znamy po jednym ciągu). Jedne są „najlepsze”, bo mają minimalne a, inne ze względu na a maksymalne; w następnych konkurencjach podobne kryteria „mini-max” dotyczą d. Liczby w rekordowych ciągach są oczywiście kosmiczne.
Pozostając przy takich liczbach gigantach proponuję, aby, korzystając z mózgów nieelektronowych, uporać się z poniższym zadaniem.
Iloczyn wszystkich liczb od 1 do 477, czyli 477! równy jest x.
7 do potęgi 77, czyli 7^77 równa się y.
Czy x dzieli się przez y? Oczywiście bez reszty i oczywiście nie wystarczy odpowiedzieć „tak” lub „nie”.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
Nie.
Rozkład 477! na czynniki pierwsze zawiera jedynie 71 siódemek (68 liczb w ciągu 7,14,21,… i dodatkowo siódemki z 49 (7^2) i 343 (7^3)). Czyli brakuje 6 siódemek.
Dzieli się. Od 1 do 477 jest [477/7]=68 liczb podzielnych przez 7^1, [477/49]=9 liczb podzielnych przez 7^2 oraz [477/343]=1 liczba podzielna przez 7^3, w sumie w 477! jest 68+9+1=78 czynników zawierających 7. Czyli 477! dzieli się całkowicie przez 7^78 a więc także przez 7^77.
Widać także, że 7^77 choć ogromna jest niczym przy 477!.
x dzieli się przez y.
Spośród 477 kolejnych liczb jest 68 podzielnych przez 7( 68 siódemek), 9 liczb podzielnych przez 49 (następne 9 siódemek), 1 liczba podzielna przez 343=7^3 ( jeszcze jedna siódemka). 477! dzieli się więc przez 7^77, a nawet przez 7^78.
Rozkładając na czynniki pierwsze (skupiając się na siódemkach tylko) wszystkie 477 liczb ‚hurtowo’, mamy:
1) 477=1+7*68
mamy już 68 siódemek
2) 68= 5+7*9
i jeszcze 9 siódemek
3) 9=2+7*1
i jeszcze jedna
jak widać 477! podzielne jest nawet przez 7^78
lub inaczej:
w śród 477 kolejnych liczb mamy
1) 68 liczb podzielnych przez 7
2) 9 liczb podzielnych przez 49=7*7
3) 1 liczbę podzielną przez 343=49*7
co daje nam w sumie 78 siódemek przy rozkładzie liczby 477!
Państwa, których nazwy składają się z siedmiu liter, to:
DAHOMEJ, EKWADOR, ESTONIA, KAMERUN, SURINAM,SZWECJA, TUNEZJA i o zgrozo WIETNAM (ósmy).
Popularna łamigłówka składająca się z siedmiu części to np. TANGRAM, nazywana kiedyś zabawką z siedmiu sztuczek.
Boża krówka (biedronka) na siedem kropek.
Siedem par odnóży ma np stonoga. Subaru ma w logo 6 gwiazdek ale nazwa kojarzy się z Plejadami, więc to pewnie nie o to chodzi.
Antypie, Dahomej to historia – od 35 lat mamy Benin.
Stonoga ma więcej par nóg (ale ciepło, ciepło, bo robaczek jest podobny; zapewne wiele osób go widziało, tylko chyba mało kto zna jego nazwę).
Reszta OK, choć do tangramu można by jeszcze coś dorzucić.
Zdravi
mp
Tak.
W rozkładzie liczby 477! na czynniki pierwsze, liczba 7 występuje 78 razy:
68 razy w każdej wielokrotności liczby 7
dodatkowe 9 razy w wielokrotnościach 49=7^2
i dodatkowo raz w liczbie 343=7^3
Z tym Dahomejem to jest tak, że nazwa jest jeszcze popularna, choć faktycznie w 1975 roku została zmieniona na Benin. Co do łamigłówek to mogę wymienić jeszcze kilka, choć zapewne jest ich zdecydowanie więcej. Najpopularniejsze to Soma Cubes, układanka Pieta Heine’a, dawno temu opisana na łamach „Problemów” przez pana L.Pijanowskiego, później w książce „Gółka z pancerolą”. Części zbudowane są z trzech lub czterech sześcianików.
Kolejna to Tetrehexes (nie wiem jaka jest polska nazwa) – to układanka złożona z 7 części, z których każda zbudowana jest z 4 prawidłowych sześciokątów, stykających się ze sobą bokami.
Tetracube – to łamigłówka składająca się z 7 części, z których każda jest zbudowana z czterech sześcianików.
Pewnie tę listę można rozbudować.
Plejady to inaczej Siedem Sióstr. Subaru po japońsku oznacza Plejady.
Siedem par odnóży ma skrzypłocz, choć może w Polsce nie jest najbardziej popularny, ponieważ zamieszkuje obszar Atlantyku, ale może ktoś go przywiózł.
Nie widziałem skrzypłocza w Dunajcu, ale w Wikipedii piszą, że ma 6 odnóży pod głowotułowiem + 7 pod odwłokiem. Nie wszystkie służą do chodzenia, a jedna para pełni nawet funkcje genitalne (to dopiero ciekawe). Czyli z tą żywą skamieniałością sprawa jest niejasna.
Natomiast 7 par nóżek ma podobna do stonogi kulanka pospolita. W Wikipedii nieobecna, ale pod większymi kamieniami na polach i owszem. Wyróżnia się tym, że podrażniona zwija się w kulkę, jak jeż albo critters (ale nie jest kolczasta).
To prawda, ciężko się odzwyczaić od państwa Dahomej, a mi nawet od stolicy Pakistanu Karaczi – choć już prawie pół wieku minęło.
mp
Dzieli sie, bo [477/7] + [[477/7]/7] + [[[477/7]/7]/7] >= 77 🙂
Hm, 476 = 7*68, czyli w liczbach tworzących 477! mamy 68 liczb podzielnych przez 7 – ustawionych „co siódma”.
Ale 441 = 49*9, więc dochodzi 9 liczb mających w swoim rozkładzie „drugie” siódemki (są ustawione co 49).
Do tego 343 = 7*7*7, więc dochodzi jeszcze ta „trzecia” siódemka od tej liczby.
Razem więc w rozkładzie 477! kryje się 68+9+1=78 siódemek.
Wystarczy do podzielenia bez reszty.
Ale przyznaję, że do tych rachunków użyłem komputera :).
No problem, bo:
477:7=68+reszta
68:7=9+reszta
9:7=1+reszta
68+9+1=78, czyli podzieli sie nawet przez 7^78
a
Ba, nawet przez 7^78 powinno x się dzielić, wszak 78=e(477/7)+e(477/49)+e(477/343),
gdzie e(z) to największa liczba całkowita nie większa niż z.
Tak.
477 / 7 = 68,1…
477 / 49 = 9,7…
477 / 343 = 1,39
Czyli 477! dzieli się przez 7^(68+9+1) = 7^78 (ale nie przez 7^79)
Ad. kwiz.
– boża (nie mogę podać nazwy, żeby nie reklamować pewniej sieci sklepów)
– Subaru (od Plejad czyli „Siedmiu Sióstr” – gwiazdozbiór jest w logo)
– stonoga? (biologia była dawno temu)
– tetris / tetramino
– państwa to: Ekwador, Estonia, Kamerun, Surinam, Szwecja, Tunezja, Wietnam
Dzieli się, a iloraz ma 1008 cyfr
🙂
mp
Nie rozumiem, co ma oznaczać uśmieszek pod moim komentarzem z 23 lipca. Zadanie można zrobić na dwa sposoby. Pierwszy, zapewne zgodny z intencjami autora, jest bardziej pracochłonny i polega na policzeniu, ile dzielników, będących potęgami siódemki, mają liczby od 1 do 477. Jest więc 68 liczb podzielnych przez 7, 9 podzielnych przez 7^2 i jeszcze 7^3, czyli dzielnikiem liczby 477! jest liczba 7^78, co „z zapasem” spełnia warunki zadania. Drugi, prostszy i szybszy sposób, polega na podzieleniu 477! przez 7^77 i sprawdzeniu, czy iloraz jest liczbą całkowitą. Oczywiście w pamięci czy na kartce ta metoda nie jest zbyt wygodna, ale komputerowi wykonanie takiego działania zajmuje ułamek sekundy.
Uśmieszek stąd, że we wpisie zaproponowałem, aby uporać się z zadaniem korzystając z mózgów nieelektronowych. Skojarzenie propozycji z wynikiem jest źródłem uśmieszku.
mp