PAP rekord

Lipiec dobiega końca, ale zanim zacznie się ósmy miesiąc, nawiążę do obecnego, czyli będzie trochę siódemkowo. Na początek coś z innej beczki niż zwykle i z lekkim przymrużeniem oka.

Jaka krówka ma 7 kropek?
Nazwa jakiej znanej firmy motoryzacyjnej kojarzy się z liczbą 7 (choć jej logo – z liczbą 6)?
Jakie bardzo pospolite zwierzę ma 7 par nóg?
Jakie znane łamigłówki lub gry „układankowe”  składają się z 7 części?
Jakie 7 państw wyróżnia się tym, że nazwa każdego jest 7-literowa i złożona z różnych liter?

Można by tak długo „kwizować”, bo siódemka należy do liczb kultowych, więc ciekawostek z nią związanych znalazłoby się bez liku – od siedmiu grzechów głównych i siódmego nieba do siedmiu książek o przygodach Harry’ego Pottera. Osobliwości matematyczno-łamigłówkowych także jest sporo, ale zamiast je wymieniać, lepiej potraktować niektóre jako okazję do ogólniejszych rozważań.

Od siedmiu zaczynają się dwa krótkie, ale treściwe i bogate w siódemki ciągi:
7, 37, 67, 97, 127, 157.
7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.
Oba są najdłuższymi ciągami arytmetycznymi złożonymi z liczb pierwszych – pierwszy w zakresie liczb do 500, drugi do 1000.

Równo sto lat temu angielski matematyk amator Edward Escott znalazł ciąg 10-wyrazowy: pierwszy wyraz a = 199, różnica d = 210. To był początek nowego zagadnienia w teorii liczb, a ściślej – w teorii liczb pierwszych. W skrócie takie ciągi nazwano PAP (Primes in Arithmetic Progression).
Praktycznie zagadnienie sprowadza się do opracowywania algorytmów i pisania programów umożliwiających szukanie najdłuższych ciągów. Algorytmy oparte są na teorii, która wbrew pozorom nie sprowadza się tylko do prostego spostrzeżenia, że różnice d muszą być parzyste. Można na przykład udowodnić, że dla PAP złożonego z k wyrazów różnica w ciągu będzie podzielna przez wszystkie liczby pierwsze mniejsze od k. Teoria ułatwia poszukiwania, ale efekty zależą przede wszystkim od szybkich komputerów, a ściślej od ich zbiorowego wysiłku. W ciągu 100 lat dojechano do 26-wyrazowego PAP. Nowy rekord padł trzy miesiące temu, a jego współautorem jest matematyk z Uniwersytetu Wrocławskiego Jarosław Wróblewski. Wypada dodać, że szukanie nie ogranicza się do dowolnych PAP. Rekordy bite są w kilku kategoriach, bo dla określonego k ciągów zwykle jest wiele, choć im większe k, tym mniej (tylko dla kilku największych k na razie znamy po jednym ciągu). Jedne są „najlepsze”, bo mają minimalne a, inne ze względu na a maksymalne; w następnych konkurencjach podobne kryteria „mini-max” dotyczą d. Liczby w rekordowych ciągach są oczywiście kosmiczne.

Pozostając przy takich liczbach gigantach proponuję, aby, korzystając z mózgów nieelektronowych, uporać się z poniższym zadaniem.

Iloczyn wszystkich liczb od 1 do 477, czyli 477! równy jest x.
7 do potęgi 77, czyli 7^77 równa się y.
Czy x dzieli się przez y? Oczywiście bez reszty i oczywiście nie wystarczy odpowiedzieć „tak” lub „nie”.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.