Pary bis
Jak wynika z Państwa komentarzy do poprzedniego wpisu, liczbę 2019 można przedstawić w postaci dodawania zarówno czterech jak i pięciu 3-cyfrowych składników, zawierającego tylko dwie różne cyfry. Podstawowe rozwiązania (z dokładnością do przestawień cyfr) są cztery:
454+455+555+555=2019
111+177+177+777+777=2019
222+222+525+525+525=2019
343+344+444+444+444=2019
Gdyby nie ustalać liczby składników oraz liczby cyfr w składnikach, można by zapytać, ile może być najmniej składników oraz ile najmniej cyfr może tworzyć całe dodawanie? Trzy składniki są nie do pobicia, ale liczba cyfr może być mniejsza niż w podanym w poprzednim wpisie przykładzie (676+676+667=2019). Wydaje się, że minimum stanowi siedem cyfr: 1+19+1999=2019.
Dla przyszłorocznej liczby utworzenie dwuskładnikowej sumy z dwiema różnymi cyframi będzie właściwie trywialne: 2000+20=2020. W związku z tym pojawia się ciekawy problem: jaka jest najmniejsza liczba (większa od 2), której nie uda się przedstawić w postaci dodawania dwóch liczb, zawierającego dokładnie dwie różne cyfry, które oczywiście mogą się powtarzać?
Komentarze
137
137
Zadanie jest o tyle kłopotliwe, że chciałoby się znaleźć ogólny sposób postępowania, jak, mając liczbę, rozłożyć ją na składniki, zapisane przy użyciu dokładnie dwóch cyfr, i taki sposób się rysuje, ale pojawiają się wyjątki. Po trywialnym uporaniu się z najmniejszymi liczbami, powiedzmy od 3 do 12, stosujemy schemat, że bierzemy liczbę 11*k dla k całkowitego, i dodajemy kolejne liczby jednocyfrowe, np. 13=11+2, 14=11+3, etc, aż do 20=11+9. A dalej 22+1, etc. Mamy przy tym schemacie trzy problemy, takie luki: 11k, 11k+k i 11k+10. Dla liczb dwucyfrowych zapiszemy 11k po prostu jako 10k+k, mając cyfry k i 0, np. 55=50+5. Z kolei 11k+k to po prostu 12k, czyli takie liczby jak 12, 24, 36, 48, 60, etc. Do nich nie da się zastosować schematu, bo np. 24=22+2 – jedna cyfra, a chcemy mieć dwie. Potrzeba rozważać każdy przypadek na piechotę, przy czym dla liczb parzystych, a 12k takimi są, nasuwa się trywialne rozwiązanie dwóch równych sobie składników: 24=12+12, 36=18+18, etc. Chciałem jednak ambitnie znaleźć sumy różnych składników: 24=17+7, 36=28+8, 48=39+9… znów wyłania się pewien schemat, ale załamuje się na 60, którą to liczbę przedstawimy tylko jako 30+30, a więc jest najmniejszą, której nie można przedstawić jako sumy dwóch różnych składników, zapisanych dokładnie dwiema cyframi. Dopuszczamy więc równość składników, bo nie było w zadaniu takiego zastrzeżenia, i szukamy dalej. Zostają liczby 11k+10, czyli 21 (tu akurat 11+10 jest wyjątkowo ok), 32 (=31+1), 43 (=22+21), 54 (=47+7), 65 (=33+32), 76 (=68+8), 87 (=44+43), 98 (=89+9). Można zatem przyjąć za udowodnione, że poszukiwana liczba będzie co najmniej trzycyfrowa. Cdn.
Podzieliłem komentarz na dwa, bo się rozpisałem… w każdym razie, kontynuując poszukiwania dla liczb >99, możemy kontynuować schemat 99+1, 99+2, etc, aż do 99+8, problem pojawia się przy 108, no ale to jest 54+54, albo np. 55+53 (różne składniki). Z kolei 109=55+54, a 110=100+10, oczywiście 111=100+11, i znów możemy stosować znany przepis, wychodząc od 111: 111+2, etc, przy czym nawet możemy to robić aż do 111+19, czyli do 130, z pominięciem 111+1 (ale 112=101+11) i 111+11 (ale 122=121+1). Jesteśmy już blisko celu, teraz dla odmiany wyjdźmy od 66: 131=66+65, 132=66+66… wyjątek, ale mamy np. 131+1, 133=66+67, 134=66+68, 135=66+69, 136=88+48 – unikam trywialnej sumy typu 68+68. Wreszcie mamy 137 – tej liczby nie da się zapisać w pożądany sposób i to jest rozwiązanie, trochę niespodziewane. Pomiędzy 60 i 137 nie ma też ani jednej liczby, której nie dałoby się zapisać jako sumy dwóch różnych składników – to mogłyby być tylko dwucyfrowe wielokrotności 12, a więc 72 (=71+1), 84 (=22+62), 96 (=93+3), każda się daje.
Ładne teoretyzowanie. Aż się prosi o rozwinięcie tematu, którym – o ile wiem – nikt jeszcze się nie zajmował.
mp
…
133=122+11
134=122+12
135=66+69
136=68+68
137=hello!
Niezłe. Szkoda, że nie jest to większa liczba. Byłoby więcej zabawy. 🙂
Proponuję to samo zadanie w dwóch wersjach:
1. Należy podać dwa rozwiązania – jedno dla sum parzystych, drugie dla nieparzystych. Oczywiście jedno z nich jest rozwiązaniem zadania Gospodarza. Chodzi o to drugie.
2. Tak samo, jak w punkcie 1, ale sumy będące rozwiązaniem mogą zawierać najwyżej dwie różne cyfry.
Gdyby tak jeszcze bez pomocy programu… 🙂
@xswedc
Jeśli się nie mylę, to najmniejszą parzystą jest 198.
Najmniejszą parzystą jest 198.
@aps1968, @OlaGM
O, nie daliście się nabrać! Haczykiem dla uważnych było sformułowanie „dokładnie dwie różne cyfry”, 198=99+99 ma tylko jedną, więc jest dobrym rozwiązaniem.
A dla jakiej najmniejszej parzystej liczby konieczne są już trzy różne cyfry?
@xswedc
No właśnie na tym cała rzecz polega, żeby dwie, a nie jedna, również i w oryginalnym zadaniu. W rewanżu mogę spytać, jakiej najmniejszej liczby (parzystej lub nieparzystej) nie da się zapisać w postaci sumy dwóch _różnych_ liczb z udziałem tylko dwóch cyfr. A liczba, o którą pytasz, to chyba 216.
@aps1968
Enigmatyczne jest sformułowanie „tylko dwóch cyfr”.
Jeśli oznacza ono min. 3 cyfry to wszystkie parzyste poniżej 216 odpadają, więc będzie to nieparzysta, czyli ta, która jest rozwiązaniem zadania głównego.
Jeśli oznacza „dokładnie dwóch cyfr” to myślę, że będzie to 60.