Dwie liczby
Przygotowuję się do nowego roku, czyli szukam ciekawostek dotyczących liczby 2015. Niestety, wydaje się, że to mało ciekawostkowa liczba. Chyba wszystko, co w jej przypadku jest godne uwagi, wiąże się z tym, że stanowi ona iloczyn trzech różnych liczb pierwszych, czyli jest tzw. liczbą sfeniczną. Gdyby dostrzegli Państwo w zweitausendfünfzehn jeszcze coś szczególnego, wdzięczny będę za informacje.
Tymczasem wpadła mi w oko nienowa, ale fajna i warta przypomnienia łamigłówka z serii „wiem/nie wiem”.
Dwie osoby – Serwacy (S) i Ignacy (I) – mają za zadanie odgadnąć dwie liczby całkowite z przedziału od 2 do 100. Obaj otrzymują karteczki z informacją, która jest wstępnym, częściowym kluczem do rozwiązania. Na karteczce wręczonej S zapisana jest suma odgadywanych liczb, natomiast I dostał karteczkę z iloczynem tych liczb. S nie zna iloczynu, a I nie zna sumy.
Obaj na przemian co chwilę (dłuższą) udzielają informacji (krótkich), wynikających z ich przemyśleń.
(1) I: nie wiem, co to za liczby.
(2) S: wiedziałem, że nie będziesz wiedział i także nie wiem.
(3) I: zatem już wiem, jakie to liczby.
(4) S: w takim razie ja także wiem.
Jakie liczby odgadywali Ignacy i Serwacy?
W tego typu zadaniach zwykle dodaje się, że ich bohaterowie są superinteligentni, czyli dedukują najlepiej, jak można. Ja bym to sformułował inaczej – bardziej „dosadnie”: wypowiedź „nie wiem” oznacza, że korzystając z informacji, którymi dysponujemy na danym etapie, nie sposób podać jednoznacznego rozwiązania.
Komentarze
2015 może wyglądać atrakcyjniej w innych systemach liczbowych:
– w dwójkowym jest palindromiczna,
– w ósemkowym jest „okresowa” o okresie 2.
Poprzedni taki rok był za panowania Kazimierza Wielkiego (chyba, że coś przeoczyłem).
Co to ma być za łamigłówka? Chyba jakiś troll. Ale zabawne 😀
Czy liczby muszą być różne?
Nie muszą
mp
I.
Ignacy mówi, że nie wie, co to za liczby.
Pierwsza suma, przy której Serwasy wie (wiedział) że Ignacy nie wie to 11
Dla każdego iloczynu są co najmniej 2 rozwiązania
6 x 5 = 30 = 2 x 15 = 3 x 10
7 x 4 = 28 = 14 x 2
8 x 3 = 24 = 6 x 4 = 2 x 12
9 x 2 = 18 = 6 x 3
Serwasy mówi, że nie wie jakie to liczby, oraz że wie, że Ignacy nie wie
Teraz Ignacy może rozważać jakie sumy może mieć Serwasy, zależnie od tego, jaki jest jego iloczyn.
przy 28 Ignacy wie, że Serwasy nie mógł mieć pewności, że Ignacy nie wie, jeśli to byłoby 14 i 2 – wynik sumy wynosiłby 16, a to są też sumy 13 i 3 z czym Ignacy by sobie poradził (dwie liczby pierwsze).
Ignacy mówi, że wie, ale Serwasy dalej nie wie.
przy 24 Ignacy wie, że Serwasy nie mógł mieć pewności, że Ignacy nie wie, jeśli to byłoby 6 i 4 – wynik sumy wynosiłby 10, a to są też sumy 7 i 3 z czym Ignacy by sobie poradził, przy 2 i 12 to byłoby 14, a to sumy 11 i 3 z czym by sobie też poradził
Ignacy mówi, że wie, ale Serwasy dalej nie wie.
przy 18 Ignacy wie, że Serwasy nie mógł mieć pewności, że Ignacy nie wie, jeśli to byłoby 6 i 3 – wynik sumy wynosiłby 9, a to są też sumy 7 i 2 z czym Ignacy by sobie poradził
Ignacy mówi, że wie, ale Serwasy dalej nie wie.
przy 30 Ignacy wie, że Serwasy ma pewność, że Ignacy nie wie, jeśli to byłoby 15 i 2 to wynik sumy wynosiłby 17, a to są też sumy 15 i 2, 14 i 3, 13 i 4, 12 i 5, 11 i 6, 10 i 7, 9 i 8 z czym Ignacy by sobie nie poradził, bo dla ich iloczynów są co najmniej po 2 rozwiązania,
15 x 2 = 30 = 6 x 5
14 x 3 = 42 = 6 x 7
13 x 4 = 52 = 26 x 2
12 x 5 = 60 = 30 x 2
11 x 6 = 66 = 3 x 22
10 x 7 = 70 = 2 x 35
9 x 8 = 72 = 18 x 4 = 36 x 2
ale przy 3 x 10 Ignacy by sobie poradził – 3 + 10 = 13 (11 x 2)
Ignacy jednak nie wie
II.
Ignacy mówi, że nie wie, co to za liczby.
Druga suma, przy której Serwasy wie (wiedział) że Ignacy nie wie to 17
Teraz Ignacy może rozważać jakie sumy może mieć Serwasy, zależnie od tego, jaki jest jego iloczyn.
Jeśli ma 30, Serwasy może mieć 5 i 6 (Ignacy sobie nie radzi)
Jeśli ma 42, Serwasy może mieć 6 i 7 (Ignacy rozwiązuje 13 to 11 x 2, a wiec tylko 14 i 3)
Ignacy wie, Serwasy nie
Jeśli ma 52, Serwasy może mieć 26 i 2 (dla 28 daje 11 x 17 lub 23 x 5)
Ignacy wie, Serwasy nie
15 x 2 = 30 = 6 x 5 (6 + 5 = 11 a więc nie do rozwiązania dla Ignacego, patrz wyżej)
14 x 3 = 42 = 6 x 7 (6 + 7 = 13, dla 11 x 2 – dwie liczby pierwsze)
13 x 4 = 52 = 26 x 2 (26 + 2 = 28, dla 23 x 5 – – dwie liczby pierwsze)
12 x 5 = 60 = 30 x 2 (30 + 2 = 32 dla 19 x 13 – dwie liczby pierwsze)
11 x 6 = 66 = 3 x 22 (22+ 3 = 25 dla 23 x 2 – dwie liczby pierwsze)
10 x 7 = 70 = 14 x 5 (14 + 5 = 19 dla 17 x 2 – dwie liczby pierwsze)
9 x 8 = 72 = 18 x 4 (18 + 4 = 22 dla 17 x 5 – dwie liczby pierwsze)
itd.
Oczywiście w powyższym jest mały błąd, ale myślałem że do rana to zostanie przepuszczone. A nie było.
Przy 42 może być to suma 14×3 (Ignacy nie wie), ale też nie przy 21×2 (zakłada sumę 23 i tu nie ma dwóch pierwszych liczb, które by się na tę sumę złożyły)
Podobnie jest dla iloczynów:
60 (dla 12×5 oraz 20×3)
66 (dla 11×6 i 33 x 2)
70 (dla 10×7 i 25×2)
72 (dla 9×8 i 24×3)
Ale dla 52 są dwa rozwiązania – 13×4, które dają początkowo 2 rozwiązania, więc Ignacy nie wie i Serwasy wie, że Ignacy nie wie, ale już przy 2×26 Ignacy mógłby zakładać sumę 28, więc też mógłby zakładać, że Serwasy wie, że mogłyby to być liczby 23 i 5, więc Ignacy by to rozwiązał. Skoro Serwasy wie, że Ignacy nie wie, to liczbami mogą być tylko 13 oraz 4.
Rozwiązanie polega na znalezieniu takiego iloczynu, którego składniki
a. wszystkie poza jednym
b. dają co najmniej dwie sumy,
c. których wszystkie dwuelementowe składniki sum nie są liczbami pierwszymi
d. a w jednym przypadku, to jest tylko jedna taka suma
Inaczej – za pierwszym razem Ignacy ma dylemat, ale jeśli rozpoznaje sytuację, że Serwasy wie o tym dylemacie, to eliminując po jednej sumie stanowiącej dylemat dla każdego iloczynu, uzyskuje sumę bez dylematu.
Gdyby Ignacy powiedział jednak
(3) I: Jeszcze nie wiem. – to wtedy, gdyby:
(4) S; To ja już wiem
(5): I: I ja też
Liczbami tymi byłyby 5 i 6.
Gdyby natomiast:
(4) S: No ja też jeszcze nie wiem
(5) …?
A przy okazji też stara zagadka.
W bibliotece na półce obok siebie stoi 10 książek, każda po 100 kartek (łącznie z okładkami). Od* pierwszej strony pierwszej książki do ostatniej strony ostatniej książki przegryza się mol. Ile kartek przegryzie?
*Na książki patrzymy tradycyjnie od lewej do prawej.
Liczby to 4 i 13
Tok rozumowania:
(1) I: Nie wiem co to za liczby.
Ignacy widzi iloczyn 52, więc ma do wyboru 2×26 lub 4×13 więc nie może jednoznacznie stwierdzić jakie jest rozwiązanie.
(2) S: Wiedziałem, że nie będziesz wiedział. Ja też nie wiem.
Serwacy widzi sumę 17 więc ma do wyboru siedem możliwości.
Każda z nich daje iloczyn, który da się wyliczyć na co najmniej dwa sposoby stąd wie, że Ignacy nic nie wie.
2, 15 – iloczyn 30 = 2×15 = 3×10 = 5×6
3,14 – iloczyn 42 = 2×21 = 3×14 = 6×7
4, 13 – iloczyn 52 = 2×26 = 4×13
5, 12 – iloczyn 60 = 2×30 = 3×20 = 4×15 = 5×12 = 6×10
6, 11 – iloczyn 66 = 2×33 = 3×22 = 6×11
7, 10 – iloczyn 70 = 2×35 = 5×14 = 7×10
8, 9 – iloczyn 72 = 2×36 = 3×24 = 4×18 = 6×12 = 8×9
(3) I: Już wiem jakie to liczby.
Iloczyny z pkt (1) to 2×26 i 4×13. Sumy odpowiednio to: 28 oraz 17.
Ponieważ (2) Serwacy wiedział, że Ignacy nie wie, jest to informacja dla Ignacego, że suma którą widzi Serwacy nie może zostać złożona z dwóch liczb pierwszych, gdyż w przeciwnym wypadku Serwacy nie mógłby jednoznacznie stwierdzić niewiedzy Ignacego. 28 = 5+23.
Pozostaje więc tylko jedna możliwa suma widziana przez Serwacego, czyli 17.
Zatem Ignacy wie, że chodzi o liczby 4 i 13 o czym informuje Serwacego.
(4) S: Ja też wiem.
Jeśli Ignacy zna już liczby, oznacza to, że suma=17 to suma takich liczb, których iloczyn da się przedstawić tylko w jeden sposób po wyeliminowaniu par liczb których suma może być przedstawiona za pomocą dwóch liczb pierwszych.
Zatem możliwości z pkt (2): (suma w nawiasie)
2, 15 – iloczyn 30 = 2×15(17) = 3×10(13) = 5×6(11)
3,14 – iloczyn 42 = 2×21(23) = 3×14(17) = 6×7(13)
4, 13 – iloczyn 52 = 2×26(28) = 4×13(17)
5, 12 – iloczyn 60 = 2×30(32) = 3×20(23) = 4×15(19) = 5×12(17) = 6×10(16)
6, 11 – iloczyn 66 = 2×33(35) = 3×22(25) = 6×11(17)
7, 10 – iloczyn 70 = 2×35(37) = 5×14(19) = 7×10(17)
8, 9 – iloczyn 72 = 2×36(38) = 3×24(27) = 4×18(22) = 6×12(15) = 8×9(17)
Eliminując sumy możliwe do złożenia liczbami pierwszymi:
13=2+11
28=5+23
32=3+29
19=2+17
16=3+13
25=2+23
38=7+31
22=3+19
pozostają możliwości:
2, 15 – iloczyn 30 = 2×15(17) = 5×6(11)
3,14 – iloczyn 42 = 2×21(23) = 3×14(17)
4, 13 – iloczyn 52 = 4×13(17)
5, 12 – iloczyn 60 = 3×20(23) = 5×12(17)
6, 11 – iloczyn 66 = 2×33(35) = 6×11(17)
7, 10 – iloczyn 70 = 2×35(37) = 7×10(17)
8, 9 – iloczyn 72 = 3×24(27) = 8×9(17)
Tylko jedna para z powyższych ma iloczyn dający się przedstawić jednoznacznie, więc Serwacy wie, że chodzi o 52, znając sumę 17 zna obie liczby.
Uffff
2015 to trzecia liczba ciągu Lucasa–Carmichaela: 399, 935, 2015, 2915, …
2015 = 5 × 13 × 31
1) jest nieparzysta
2) nie dzieli się przez żaden kwadrat liczby pierwszej
3) (2015+1) jest podzielne przez każdą z liczb (5+1), (13+1), (31+1)
http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas-Carmichael_number
suma=17, iloczyn=52. liczby to 4 i 13
Rozumowanie Iloczynowego po usłyszeniu informacji od Sumowego: jeśli Sumowy mówi, że od początku nie wiedział, to znaczy, że suma nie może być parzysta, bo – przynajmniej do pewnej dużej liczby, na pewno > 200 – każda liczba parzysta daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych. Na tej samej zasadzie suma musi być postaci 2+liczba złożona, czyli 11, 17, 23, etc.
Przypuśćmy, że liczby to 4 i 13. Iloczynowy widzi 52 i mówi: nie wiem. Sumowy widzi 17 i mówi: wiedziałem, że nie będziesz wiedział, i ja też nie wiem. Iloczynowy rozumie, że z dwóch możliwości 4-13 i 2-26 tylko pierwsza spełnia warunek sumy nieparzystej, a więc wie: 4-13. Sumowy kombinuje teraz tak: „2-15 nie wiedziałby, bo mogłoby być 5-6, 3-14 mogłoby być 2-21, 5-12 to 3-20 alternatywą, 6-11 to 2-33, 7-10 to 2-35, 8-9 to 3-24. Skoro wie, to musi mieć 4-13”.
Sprawdziłem, że dla sumy 11, nawet jeśli Iloczynowy powie że wie, to Sumowy wiedzieć nie będzie. Na większe sumy szczerze mówiąc trochę brak czasu, założę więc, że Sumowy też będzie miał zawsze dylemat wielości rozwiązań, i poprzestaję na (4,13).
Etap 1:
Suma należy do zbioru {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
w roku 2015 przepracujemy 2016 godzin (zakładając 8 godzinny dzień pracy od poniedziałku do piątku)
@spinor: punkt 1) mnie rozwalił 🙂
4, 13
bubekró: 800?
@rubik
Tak. Niestety podpowiedź jest zbyt sugestywna, ale niektórzy kombinowali rozwiązanie w drugą stronę – po arabsku 🙂