Błąd drukarski
Henry Dudeney, angielski „król rozrywek matematycznych” z przełomu XIX i XX wieku, lubił znęcać się nad miłośnikami łamania głowy. Wiele jego zadań, zamieszczanych na łamach popularnego wówczas miesięcznika The Strand Magazine, było tak żmudnych, że dziś należałoby je uznać za propozycje dla programistów. Często stanowiły formę przedstawiania ciekawostek liczbowych i jako takie są czasem prezentowane dziś – nikt nie ośmiela się ich proponować jako rozrywki umysłowej. Oto przykład takiego zadania zamieszczonego w jednym z numerów w roku 1912.
W pewnym artykule drukarz miał złożyć mnożenie 5^4*2^3, czyli 625*8, co równa się 5000. Niestety, pomylił się i pominął znaki potęgowania i mnożenia, składając liczbę 5423. Jakie jednocyfrowe liczby powinny występować w powyższym działaniu, aby mimo takiej samej pomyłki drukarza błędu nie było?
Inaczej pisząc, czytelnik przed stu laty otrzymał kuszącą propozycję rozwiązania równania, a ściślej kryptarytmu:
A^B*C^D = ABCD (wypadałoby dodać, że A, B, C, D nie muszą oznaczać różnych cyfr)
A może to ja popełniam błąd, nie dostrzegając jakiegoś sprytnego sposobu uporania się z tym zadaniem „na piechotę”?
Komentarze
2^5 * 9^2 = 32 * 81 = 2592, ale oczywiście znalazłem to dzięki dobrodziejstwom techniki XXI wieku 🙂 Jest to jedyna taka kombinacja. Też jestem ciekaw, czy istnieje jakiś sprytny sposób jej znalezienia.
Ta liczba jest łatwa do znalezienia (przy pomocy komputera) 2592 = 2^5*9^2
Ale ta już prosta nie jest
2^4*5^4*7^2*8^4*2^8*4^8*6^6*5^6*0^0*0^0*0^0*0^0*0^0 = 24547284284866560000000000
2592 i jest to jedyne rozwiązanie, jednak nie bardzo wiem jak dojść do niego używając jedynie kartki i ołówka, bez wspomagania excelem.
No ja nie wiem, jak to trzeba zrobić… niewątpliwie trzeba by rozważyć 10000 możliwości; mniej, bo zakładamy, że od zera liczba czterocyfrowa nie zaczyna się, więc 9000. I jeszcze jak mówimy o liczbie ABCD, nie tylko A ale i C nie powinno być zerem, bo albo 0^0 jest nieoznaczone, albo 0^cokolwiek daje 0, czyli iloczyn jest 0. No to ponad 8000 możliwości trzeba by rozważyć. To oczywiście fraszka, ale zakładamy, że 100 lat temu nie ma programów, więc na piechotę to trochę za dużo. Ale może można spróbować analizować pojedyncze czynniki, to już byłoby tylko 100, a właściwie 90. Mamy tu więc liczby n^k nawet 9-cyfrowe, wystarczą zresztą pięciocyfrowe, bo przemnożone przez co najmniej 1 nie dadzą liczby czterocyfrowej. Okazuje się, że jest ich 27 na 90 – całkiem dużo*). Czterocyfrowych już nie jest tak dużo, bo 10, w tym dwie podwójne (3^8 = 9^4 = 6561, 4^6 = 8^4 = 4096). Największą z tych liczb jest 6^5 = 7776. Wiadomo, że gdyby to miało być to, to ten drugi mnożnik musiałby być 1, łatwo sprawdzić, ze nie jest to możliwe. Podobnie dla 6561… dla 4096 może już być 1 lub 2, ale to też nie, dla mniejszych więcej możliwości, w skrajnym przypadku 1024 aż 9, ale nie znajdujemy tu „na piechotę” rozwiązania. Skreślamy zatem 10 czterocyfrowych i z drugiego krańca wynik 1, bo wiadomo że liczba najwyżej trzycyfrowa razy 1 nie da czterocyfrowej. A wynik 1 pojawia się aż 18 razy, czyli 9x „1 do wszystko” i tyleż „wszystko do 0”. Zostaje więc 90-27-10-18 = 35 przypadków. I tak bierzemy kolejno z obu końców, np. 729, 625 i 512 z 2 nie mogą być, więc 2 odpada, w końcu odpadną wszystkie 1- i 3-cyfrowe, zostanie 12 dwucyfrowych, w tym kilka powtarzających się, więc to już na piechotę można sprawdzić, że 2^5*9^2 jest 2592, i nic innego nie ma.
*) Oczywiście ktoś 100 lat temu nie musiałby obliczać wszystkich 90 wyników, a ustalić dla każdego n takie k, dla którego n^k byłoby już > 9999.
Zadanie chyba rzeczywiście jest przeznaczone dla cierpliwych, ale wspomoglem sie Excelem. Niby jest to male oszustwo a la napisanie programu, ale nie do końca, gdyż to co wykonalem można zrobić na piechotę. Pamietajmy, że zagadka jest tylko niecale 300 lat młodsza od tablic logarytmicznych pana Briggsa z Halifax („Obliczylem 54 kolejne pierwiastki z 10” oswiadczyl pewnego dnia pan Briggs po uzyskaniu wynikow do 16 miejsca po przecinku), więc może w czasach gdy nie było TV, ktoś właśnie tak się „rozrywal”. Procedura jest prosta: stworzylem „tabliczkę potęg” liczb od 2 do 9, wybrałem co najwyżej 4 cyfrowe (jest ich tylko 37), troche pomachalem rękami przy sklejaniu komórek, aby zamienic wyniki na połączenie podstawy potegi i wykladnika, poukladalem kolumny (kopiuj, wklej specjalnie, transpozycja) i Voila! To znaczy nie do konca, z 37 wynikow nalezy wykreslic te, które nie „rokuja” tzn. za duze, a potem z tablicy wyszukać odpowiednią liczbę:
2592.
Teraz, gdy znamy odpowiedz mozemy sie pozastanawiac czy istnieje prostszy sposób na jej znalezienie. Pozdrawiam.
Witam,
2^5*9^2 = 2592
– komputerem w 2 minuty.
Na piechotę nie mam pomysłu (jeszcze)
/Tomek
Krótki siłowy programik liczy w sekundę, że:
(A,B,C,D)=(2,5,9,2)
Na piechotę można by tak:
0. Mamy równanie L=A^B*C^D=A*10^3+B*10^2+C*10+D=P
1. Bierzemy kolejne pary cyfr dla A i C
2. Prawa strona jest podzielna przez A i C więc korzystamy z cech podzielności przez A i C dla prawej strony ograniczając istotnie obszar poszukiwań dla B i D
Przypuśćmy że wzięliśmy A=2 i C=9, więc P jest podzielne przez 2 i 9.
A zatem 2+B+9+D jest podzielne przez 9, ale D może być = 0, 2, 4, 6, 8.
Jeśli D=0 to 11+B ma być podzielne przez 9 więc B=7 sprawdzamy że L nie równa się P
I w końcu bierzemy D=2 skąd 13+B jest podzielne przez 9 dla B=5.
Sprawdzamy, że L=P.
Mając więc ustalone A i C szybko rozstrzygamy czy istnieją odpowiednie B i D ale niestety par (A, C) jest aż 100 🙁 , no powiedzmy, że 81 🙂
Zakładając, że A, B, C i D to są liczby 1-cyfrowe to pasuje tylko jedna odpowiedź 2592.
Ale z liczeniem na „piechotę” nie mam pomysłu, poza trochę inteligentniejszym brute force.
2592
mało wyrafinowaną metodą – sprawdziłem najpierw 4-cyfrowe potęgi poszczególnych cyfr – nie było wśród nich żadnej uprzejmej zawierać potęgę o wykładniku 0 (podejrzewałem jakiś podstęp); zauważyłem, że rzeczona ABCD w rozkładzie na czynniki musi dać jakieś x*x*…*x*y*…*y (*z też wchodziło w grę, ale 6^p*5 lub 7^q wyeliminowało sprawdzenie) – stąd podejrzenie, że pewnie dwójki lub trójki się pojawią… i jakoś tak wpadło mi w oko 2^5…
2^5 × 9^2 = 2592.
Witam
Rozwiązaniem jest 2592.
Znalazłam je na piechotę i nawet niezbyt długo trwało jego szukanie.
Robiłam tak:
1. Rozpatrywałam kolejne potęgi 9^1, 9^2, 9^3, 9^4, 8^1,… 7^1,…, 6^1,…, 6^5, 5^1, …, 2^1,…, 2^9
2. Dla każdej potęgi odpowiednie ABCD to 91CD, 92CD,…
3. Teraz kolejno dzieliłam AB00/A^B (np. 9200/81=~138) i sprawdzałam, czy istnieje jakieś C i D, by C^D było nieco większe od otrzymanego ilorazu. Oczywiście uwzględniałam tylko te C^D, których końcówki z końcówkami A^B, po pomnożeniu, dawały końcówkę D.
Bardzo szybko posprawdzałam kolejne przypadki i dopiero 2500/32 dało ~78, co dla 9^2 = 81 spełniało wyjściowe równanie.
Dla porządku sprawdziłam jeszcze 2^6,…, 2^9, by móc z czystym sumieniem powiedzieć, że istnieje tylko jedno rozwiązanie.
Pozdrawiam
Anka
Kołacze się zatem jakieś połączenie strategii odrzucania za dużych/za małych z cechami podzielności. Przykładowo jeśli A lub C jest 5, to D musi być 5 lub 0, więc można sprawdzić i wyeliminować (a akurat B jest 5 🙂 ). Z kolei jeśli A lub C jest parzyste, to D też musi oczywiście takie być, a jeśli obie A i C nieparzyste, to i D nieparzyste. Właściwie B jest najbardziej tajemnicze w tym towarzystwie.