Ile rozwiązań?

Niemałe było zdziwienie osób sprawdzających (w tym niżej, a właściwie wyżej podpisanego) prace po zakończeniu finału Ligi Intelektu, gdy w jednej z nich rozwiązanie pewnego zadania okazało się inne niż „wzorcowe”, a mimo to poprawne. Błędu nie udało się znaleźć, choć bardzo się starano. Co gorsza niebawem taka sama sytuacja powtórzyła się z innym zadaniem. Wprawdzie dla końcowej klasyfikacji nie miało to żadnego znaczenia, bo nie wymagano szukania wszystkich rozwiązań, jednak gdy nagle okazuje się, że zadanie konkursowe ma, wbrew intencjom autora, więcej niż jedno rozwiązanie, to autor powinien się choć trochę zawstydzić – i tak było.

Oto oba wspomniane zadania i pytanie, które w związku z finałową niespodzianką pozostaje aktualne: ile rozwiązań ma każde z nich?

Na trzy

Figurę z otworem podziel wzdłuż oznaczonych linii na trzy części tak, by można z nich było złożyć kwadrat. Części wolno przy układaniu odwracać spodem do góry.

Pierwsze kule

W przykładzie (rys. z lewej) dziesięć kul ponumerowano liczbami od 1 do 10 tak, że:
– kule z kolejnymi numerami stykają się ze sobą;
– kule z liczbami pierwszymi  rozmieszczone są  symetrycznie względem osi pionowej układu.

Ponumeruj liczbami od 1 do 25 kule na rysunku z prawej strony tak, aby numeracja spełniała oba podane wyżej warunki (liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Na dobry początek wpisano numer jednej kuli.

Komentarze

[Anka]

Witam! Mam trzy rozwiązania pierwszych kul, ale nie wiem czy to już wszystkie. Pozdrawiam, Anka

[Pixl]

Mam pewną uwagę (ciekawostkę) dotyczącą zadania z kulami. Wracając z zawodów i nudząc się w pociągu próbowałem stworzyć wszystkie możliwe sytuacje początkowe z ujawnioną jedną liczbą, które prowadzą do dokładnie dwóch rozwiązań. Najciekawsze moim zdaniem jest to, że wpisanie 7 w dowolne (poza środkiem) „nieparzyste” pole diagramu tworzy układ o dokładnie dwóch rozwiązaniach. Podobnie mamy w przypadku liczby 25. Z drugiej strony, wpisanie w „parzyste” pole diagramu liczby 12 lub 24 również prowadzi do dokładnie dwóch rozwiązań. Przez „parzyste/nieparzyste” rozumiem pole, w którym musi znaleźć się liczba parzysta/nieparzysta.
A co do szóstki, która była w zadaniu na zawodach. Prowadzi ona do (tylko 🙂 ) 3 rozwiązań. Dwa rowiązania dla szóstki byłyby, gdyby szóstka znalazła się jedno pole w prawo lub w lewo od pola środkowego.
Na koniec jeszcze jedno. Gdyby żadna liczba nie była ujawniona, mielibyśmy dokładnie 24 rozwiązania.
Podrawiam,
ŁB

[Ola]

Mam 2 rozwiązania zadania „Na trzy”, ciekawe, czy są to te same dwa, które zna autor.

[Marek Penszko]

Zamieszczę jutro oba rozwiązania „Na trzy”. Nie wykluczam niespodzianki, bo zadania z dzieleniem figur są bardzo podstępne i właściwie nie jest znany w pełni skuteczny sposób na ich gruntowne rozgryzanie.