Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

15.11.2018
czwartek

Piąta liczba

15 listopada 2018, czwartek,

W zbiorze A trzech liczb {2,3,4} dokładnie jedna liczba jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych, w zbiorze B {2,3,5} – co najmniej jedna, w zbiorze C {2,3,6} – żadna liczba nie jest dzielnikiem sumy dwu pozostałych.
Zajmiemy się zbiorem B i spróbujemy go powiększyć, zachowując także następującą własność: żadna liczba nie może być wielokrotnością innej. Jaką czwartą liczbą należy uzupełnić ten zbiór, aby w każdym wyjętym z tego zbioru tercecie liczb co najmniej jedna liczba była dzielnikiem sumy dwu pozostałych?
Zadanie jest proste, bo daleko nie trzeba szukać. Zbiór powiększamy o siódemkę – {2,3,5,7}. W każdym tercecie znajdziemy dzielnik sumy dwóch pozostałych liczb: (2+3)|5 lub (3+5)|2,  (2+7)|3 lub (3+7)|2,  (2+5)|7 lub (5+7)|2,  (3+7)|5 lub (5+7)|3.
Czy równie łatwo poradzimy sobie z dodaniem do tego zbioru piątej liczby? W pierwszej chwili może się wydawać, że odpowiednia będzie kolejna liczba pierwsza, czyli 11. Okazuje się jednak, że nie, ponieważ w zbiorze {2,3,5,7,11} wyłamują się dwa tercety – [3,5,11] i [5,7,11]. Odpada także zbiór {2,3,5,7,13} – z podobnych powodów: „strajkuje” jeden tercet – [3,7,13].
Czy komuś z Państwa uda się uzupełnić zbiór właściwą piątą liczbą? A może ktoś poradzi sobie także z szóstą.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 5

Dodaj komentarz »
  1. Mamy 4 liczby: 2, 3, 5, 7. Poszukujemy piątej liczby, czyli x.
    Będzie tworzyła trójki: 2-3-x, 2-5-x, 2-7-x, 3-5-x, 3-7-x, 5-7-x.
    Jaka to musi być liczba? Wypiszmy warunki:

    1) x musi być nieparzyste, bo nie może być wielokrotnością 2.
    Nieparzyste x sprawia, że trójki liczb 2-3-x, 2-5-x, 2-7-x są podzielne przez 2.

    2a) Trójka 3-5-x będzie podzielna przez 3, jeśli x będzie postaci 3n+1.
    2b) Trójka 3-5-x będzie podzielna przez 5, jeśli x będzie postaci 5n+2.

    3a) Trójka 3-7-x będzie podzielna przez 3, jeśli x będzie postaci 3n+2.
    3b) Trójka 3-7-x będzie podzielna przez 7, jeśli x będzie postaci 7n+4.

    4a) Trójka 5-7-x będzie podzielna przez 5, jeśli x będzie postaci 5n+3.
    4b) Trójka 5-7-x będzie podzielna przez 7, jeśli x będzie postaci 7n+2.

    Wystarczy spełnić cztery warunki, bo a) i b) są do wyboru.
    No to wybieramy: 5n+2, 3n+2 i 7n+2. Wynika z tego liczba:
    x=(5*3*7)+2 = 107.
    (Może też być 193, 613, 1033 i jeszcze sporo innych).

  2. Mamy 5 liczb: 2, 3, 5, 7, 107. Poszukujemy szóstej liczby, czyli y.
    Będzie tworzyła trójki: 2-3-y, 2-5-y, 2-7-y, 2-107-y, 3-5-y, 3-7-y, 3-107-y, 5-7-y, 5-107-y, 7-107-y. Jaka to musi być liczba? Wypiszmy warunki:

    1) y musi być nieparzyste, bo nie może być wielokrotnością 2. (jw.)

    2a) Trójka 3-5-y będzie podzielna przez 3, jeśli y będzie postaci 3n+1.
    2b) Trójka 3-5-y będzie podzielna przez 5, jeśli y będzie postaci 5n+2.

    3a) Trójka 3-7-y będzie podzielna przez 3, jeśli y będzie postaci 3n+2.
    3b) Trójka 3-7-y będzie podzielna przez 7, jeśli y będzie postaci 7n+4.

    4a) Trójka 5-7-y będzie podzielna przez 5, jeśli y będzie postaci 5n+3.
    4b) Trójka 5-7-y będzie podzielna przez 7, jeśli y będzie postaci 7n+2.

    5a) Trójka 3-107-y będzie podzielna przez 3, jeśli y będzie postaci 3n+1.
    5b) Trójka 3-107-y będzie podzielna przez 107, jeśli y będzie postaci 107n-3.

    6a) Trójka 5-107-y będzie podzielna przez 5, jeśli y będzie postaci 5n+3.
    6b) Trójka 5-107-y będzie podzielna przez 107, jeśli y będzie postaci 107n-5.

    7a) Trójka 7-107-y będzie podzielna przez 7, jeśli y będzie postaci 7n+5.
    7b) Trójka 7-107-y będzie podzielna przez 107, jeśli y będzie postaci 107n-7.

    Trzeba spełnić siedem warunków, bo a) i b) są do wyboru.
    No to wybieramy: 3n+1, 7n+4, 5n+3 i 107n-7.
    Wynika z tego liczba: y=10693.

  3. Oprócz zbioru 2-3-5-7-107-10693 znalazłam też 2-3-5-7-193-3467.
    Do żadnego z nich nie można dobrać 7. wyrazu.

    Pani Olu, jestem pod wrażeniem. Jak dotąd jest Pani jedyną osobą, która „porwała się” na zadanie – (do)k(uo)mentując to. W dodatku skutecznie.
    Dziękuję, podziwiam i gratuluję – zwłaszcza wytrwałości.
    Pozdrawiam
    mp

  4. Kolejna liczba x dołączana do ciągu B = (2,3,5,7,…) z zachowaniem opisanej własności (podzielności w tercetach) musi spełniać dwa warunki:
    1) dla każdego a ∈ B: nie zachodzi a|x
    2) dla dowolnych a,b ∈ B: a|(x+b) lub b|(x+a))
    Warunek x|(a+b) można zignorować, bo w praktyce x>(a+b).
    Na razie nie widać powodu żeby się nie dało znaleźć takiego x więc jest sens szukać.

    Wyniki poszukiwań 5-go i 6-go wyrazu wskazują na ciągi mocno rosnące:
    2, 3, 5, 7, 107, 10693, …
    2, 3, 5, 7, 107, 33163, …
    2, 3, 5, 7, 193, 3467, …
    2, 3, 5, 7, 193, 84527, …
    ….
    Dla jednoznaczności ciągu możemy zawsze dołączać najmniejszą spośród liczb x spełniających warunki. Wtedy B miałby postać pierwszego z ww. ciągów.
    Powstaje pytanie o 7-y wyraz, a przy okazji – czy B jest dobrze zdefiniowany?

  5. Ależ proszę bardzo. Cała przyjemność po mojej stronie 🙂

    Gdy wyznacza się 5. liczbę, można wybrać dwa rozłączne komplety warunków.
    Po wyborze kompletu 5n+2, 3n+2 i 7n+2 otrzymujemy x = (3*5*7*a)+2, gdzie a oznacza liczby nieparzyste, czyli x = {107, 317, 527, 737, 947, …}.
    Po wyborze drugiego kompletu, czyli 3n+1, 7n+4 i 5n+3, otrzymujemy x = (3*5*7*a)+193, gdzie a oznacza liczby parzyste, czyli x = {193, 403, 613, 823, 1033, 1243, 1453, …}.
    (Liczby a raz parzyste, raz nieparzyste, bo zależy nam na tym, żeby x było nieparzyste).
    Gdy wyznacza się 6. liczbę, da się wyłuskać już tylko jeden komplet warunków, a gdy się chce wyznaczyć 7. liczbę, to jest fiasko, bo warunki przeczą sobie nawzajem.

css.php