W głowie
Zamierzałem kiedyś popełnić książeczkę z zadaniami do rozwiązywania wyłącznie w głowie, czyli w wyobraźni – bez pisania, rysowania, a nawet w ogóle bez patrzenia. Uważam, że takie rozwiązywanie to bardzo dobry trening szarych komórek, choć oczywiście pewności nie mam w jakim stopniu skuteczny. Nie jest bowiem jasne, czy umiejętność poukładania sobie w głowie wielu informacji i zależności między nimi oraz sprawnego operowania w wyobraźni tymi elementami nie jest darem niebios silnie związanym z psychiką i wpływ na nią mamy niewielki. Jak by nie było, tego rodzaju umiarkowanie intensywne główkowanie na tematy abstrakcyjne, w oderwaniu od przytłaczającej codzienności, to dla psychiki znakomity relaks, a więc pożytek i przyjemność niewątpliwe.
Na pierwszy ogień jako przykłady takich łamigłówek wskazałbym tzw. ”wiekowe wyliczanki” – w rodzaju zadania z próbnej matury sprzed dwóch lat:
Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata. Ile lat obecnie ma każda z dziewcząt?
Kto czuje się na siłach, może teraz zamknąć oczy i spróbować podjąć wyzwanie. Sprawa pozornie nie jest prosta, bo zaplątana. Wielu maturzystów nie poradziło sobie z tą „wyliczanką” na papierze. Wydaje się, że podstawą jest „przełożenie” zadania na bardziej klarowny wariant. Na przykład taki:
Znajdź wielokrotność 3 (3x), która podzielona przez 3 i odjęciu ilorazu (x) od 3x da różnicę (2x), która dodana dwukrotnie do 3x będzie równa 42.
Teraz wystarczy uporać się w głowie z równaniem 3x+4x=42. 3x będzie oczywiście wiekiem Danki, a 3x+2x – wiekiem Anki. Proste?
Inny raczej łatwy przykład:
Mam dwie 4-cyfrowe liczby podzielne przez 4. Jeśli każdą z nich napiszę wspak, to obie także będą podzielne przez 4. Jaka jest różnica między początkowymi (nieodwróconymi) liczbami, jeśli jest ona największą z możliwych?
A na deser twardy orzech dla wyobraźni:
Każda liczba nieparzysta (niekoniecznie dodatnia) leży w ciągu liczb całkowitych dokładnie w połowie drogi między wielokrotnością trzech, a wielokrotnością czterech. Proszę to udowodnić?
Komentarze
Każda liczba nieparzysta (niekoniecznie dodatnia) leży w ciągu liczb całkowitych dokładnie w połowie drogi między wielokrotnością trzech, a wielokrotnością czterech.
Czy ja wiem… Weźmy np. 25:
+/-1 to miejscówka między 24 a 26
+/-2 to miejscówka między 23 a 27
+/-3 to miejscówka między 22 a 28
+/-4 to miejscówka między 21 a 29
itd.
Oczywiście jak będę tak długo plusominusować, to W KOŃCU pewnie natrafię na parę liczb, która spełnia te kryteria. Ale czy to od razu nadaje się na „prawo”? Po tak sformułowanym prawie spodziewałabym się, że każda liczba podzielna przez 3 warunkuje istnienie liczby podzielnej przez 4 na antypodach…
Zdecydowana większość zadań matematycznych z wyższej półki dotyczy takich „praw”, których należy dowieść – także wówczas, gdy wydają się oczywiste. Matematyka jest okrutna.
m
Świetny pomysł na odcinek Łamibloga. Pewnie wiele osób doszło niezależnie do wniosku, że dobrze mieć zestaw tematów i zadań do przemyśleń przy zasypianiu, siłą rzeczy – w głowie. Motywacja to głównie zaburzenia snu wszelkiej natury (pełnie, natrętne myśli i emocje, hałasy za oknem itp.). Dlatego preferowane są tematy neutralne emocjonalnie, zadania, łamigłówki, proste dowody ale i inne (w mim przypadku – muzyka, astronomia). W gronie takich osób byli też tak znani ludzie jak Lewis Caroll, o czym dowiedziałem się przypadkiem z książeczki naszego Mistrza pt. ‚Łamigłówki’.
Co do pytania „Proste?” po pierwszym zadanku… hmm to zależy, każdy mózg działa trochę inaczej i własne podejście uważa za proste. Ja zacząłem od wprowadzenia różnicy wieku obu pań: A = D+R.
Z pierwszego zdania wynika, że D=3(D-R) czyli 2D=3R czyli D = (3/2)R oraz A = (5/2)R.
Z drugiego zdania wynika, że A+R=42 czyli (7/2)R = 42 skąd R = 12.
Czyli ja „w głowie” naśladuję działania na papierze tylko przyjęte oznaczenia muszą być naturalne i łatwe do zapamiętania, zresztą tak samo jak kroki rozumowania.
PS. Szczerze mówiąc to najpierw wprowadziłem 2 pomocnicze zmienne liczby: lata w tył T i w przód P, ale szybko doszedłem do wniosku, że są równe: A-T=D, D+P=A 🙂
1) 8896-2104=6792
2) Liczba nieparzysta 2n-1 leży między liczbą -6 i liczbą 2(2n-1)+6
-6 dzieli się przez 3, a 2(2n-1)+6 przez 4. odległość od -6 do 2n-1 jest równa odległości od 2n-1 do 2(2n-1)+6
Rozważmy ciąg trojek:
6, 7, 8
6, 9, 12
6, 11, 16
6, 13, 20
Ogolnie: po trójce a, b, c
występuje trójka a, b+2, c+4
Pierwszy wyraz zawsze jest podzielny przez 3, trzeci wyraz zawsze podzielny przez 4, a ciąg środkowych wyrazów to ciąg wszystkich liczb nieparzystych większych od 6
Analogicznie dowodzimy dla liczb nieparzystych mniejszych od 6.
Rozważamy ciąg trojek:
6, 5, 4
6, 3, 0
6, 1, -4
…
a, b, c
a, b-2, c-4
@OlaGM
Podałaś przykład, który rozwinęłaś o 4. Ja proponuję być 3 razy bardziej wytrwalszy… Okaże się, że dla każdej liczby nieparzystej 12 kroków wystarczy.
Zadania wydawały się trochę zagmatwane więc tylko je zapamiętałem i spokojnie czekałem na okazję. Niedługo, bo ostatniej nocy obudziłem się bladym świtem. Wtedy nie ma nic do roboty poza myśleniem do czego warunki są znakomite. Poza tym nagrody: zwykle rozwiązanie lub błogi sen po jakimś czasie (czasem obie naraz).
Zadanie 1 (liczby podzielne przez 4 wraz ze swymi inwersjami)
Ze względu na kryterium podzielności podzieliłem ogólną postać rozwinięcia dziesiętnego tych liczb na grupy 2-cyfrowe:
abcd = 100*ab+cd (ab=10*a+b itd).
Z założeń mamy: a>0; 4|cd; 4|ba (w szczególności cyfry a i d są parzyste). Teraz łatwo znaleźć skrajne liczby tej postaci. Największa jest wtedy, gdy ab=88 i cd=96. Najmniejsza, gdy ab=21 i cd = 00. Chyba, że chcemy by inwersje też były 4-cyfrowe. Wtedy musimy zwiększyć najmniejszą o 1 (cd = 01). Podsumowując
8896-2100=6796 lub 8896-2101=6795.
Zadanie 2 (liczby nieparzyste jako średnie)
Mamy wykazać, że 2-krotność dowolnej liczby nieparzystej jest sumą liczby podzielnej przez 3 i liczby podzielnej przez 4. Łatwo to zrobić w oparciu o Głębokie Twierdzenie: 1 = 4-3 (dowód pomijam):
4k-2 = (4-3) (4k-2) = 4(4k-2) + 3(2-4k)
Niby OK, ale nie podobało mi się, że składniki podzielne przez 3 i 4 są przeciwnego znaku, nawet dla dodatnich liczb nieparzystych, i oddalają się szybko (28k) od siebie. Zastosowałem więc Głębokie Twierdzenie ponownie w inny sposób:
4k-2 = 4k-2(4-3) = 4(k-2) + 3*2
Poza liczbami 1 i 3 (k=1 i 2), składnik 4(k-2) jest już dodatni (k>2). Poza tym składniki nie oddalają się od siebie tak szybko (4k) jak poprzednio. Co prawda składnik podzielny przez 3 jest stały, ale to chyba nie problem?
Zadanie 1 (sprostowanie błędu przy dodatkowym założeniu)
Jeśli założyć dodatkowo, że inwersje liczb mają być też 4-cyfrowe, to przecież same liczby też mają być podzielne przez 4, więc przy tym założeniu najmniejszą liczbą tej postaci będzie 2104, a rozwiązanie to:
8896-2104=6792.
Jeszcze trochę o liczbach nieparzystych i otaczających je liczbach podzielnych przez 3 i 4 – a w zasadzie to metoda, z której wziął się poprzedni dowód (z ciągiem trójek).
Mamy liczbę nieparzystą n, która w ciągu liczb naturalnych znajduje się dokładnie w połowie pomiędzy pewnymi liczbami x i y, z których jedna jest podzielna przez 4 a druga przez 3.
Liczba n znajduje się dokładnie w połowie, czyli |x-n| = |y-n| = dist oraz n = (x+y) / 2
Jedna z liczb x, y jest podzielna przez 4, więc parzysta, n jest nieparzysta, zatem dist jest nieparzyste. A to oznacza, że druga z liczba x, y (tzn. ta podzielna przez 3) jest również parzysta. Czyli jest ona podzielna przez 3 i 2, a zatem przez 6.
Gdyby była również podzielna przez 4, to wtedy zarówno x jak i y były podzielne przez 4, a wtedy n = (x + y) / 2 byłoby parzysta.
To oznacza, że ta druga z liczb x, y jest – podzielna przez 6 oraz niepodzielna przez 4. Zatem z dzielenia przez 12 daje resztę 6.
Okazuje się, że dowolna liczba postaci 12k + 6 może być tą liczbą.
Przyjmijmy dodatkowo, że n = 2m+1
Mamy 2 przypadki:
– jeśli 12k + 6 jest mniejsze od n, tzn. x=12k+6, mamy trójkę rosnącą: x, n, y
Wtedy y = n + (n – x) = 2n – x = 4m+2 – 12k – 6 = 4 * (m – 3k – 1) – czyli druga liczba jest podzielna przez 4.
– jeśli 12k+6 jest większe od n, tzn. y=12k+6, mamy trójkę rosnącą: x, n, y
Wtedy x = n – (y-n) = 2n – y = 4m+2 – 12k – 6 = 4 * (m-3k-1) — również podzielne przez 4
To oznacza, że dla dowolnej nieparzystej liczby n, wystarczy przyjąć jako jednego z ‚sąsiadów’ dowolną liczbą postaci 12k+6 – wtedy drugą liczbę (podzielną przez 4) możemy już łatwo wyliczyć
I jeszcze raz o tym samym zadaniu:
Łatwo zauważyć, że jeśli dla wybranej liczby nieparzystej n znajdziemy już jej sąsiadów x, y – spełniających podane warunki, to wtedy również x-12, n, y+12 jest dobre!!! Dlaczego? Bo dodanie/odjęcie od sąsiadów liczby 12 nie zmienia ani różnicy odległości sąsiadów od n (odległość pozostaje taka sama), ani podzielności jednego z sąsiadów przez 3, ani podzielności drugiego z sąsiadów przez 4.
Podobnie, jeśli n>x+12 jest większe od 12, to x+12, n, y-12 jest również dobre (z tego samego powodu, co powyżej).
Z powyższych obliczeń wynika, że dla każdej liczby nieparzystej n wystarczy sprawdzić maksymalnie 12 najbliższych par sąsiadów aby znaleźć parę będącą rozwiązaniem.
PS. Wszystkie obliczenia, które zamieściłem w tym i poprzednich komentarzach wykonałem W GŁOWIE
Ponieważ, jak szanowny Gospodarz radził, dowód (jeśli można to tak nazwać) przeprowadziłem w głowie, napiszę tylko z grubsza co tam się działo.
Przyjmijmy naszą liczbę nieparzystą jako: 2n+1
Ponieważ wielokrotność 4 jest parzysta, to łatwo zauważyć, że ta „połowa drogi”, o której mowa w zadaniu musi być nieparzysta. Oznaczmy ją więc jako: 2k+1
Mamy więc:
2n+1 + 2k+1 = 2(n+k)+2 = 4a , z czego widać, że n+k musi być nieparzyste
2n+1 – (2k+1) = 2(n-k) = 3b, z czego z kolei wynika, że n-k musi być podzielne przez 3
Analizując, jak ze względu na parzystość n dobrać k, tak aby oba równania były spełnione, wyszło mi, że zawsze da się to zrobić. Dobór k zależy od reszty z dzielenia n przez 6 i można je wyznaczyć np. tak:
k = (n mod 6 + 3) mod 6
Jeszcze prościej: k = (n+3) mod 6
Pociągnąłem moje rozumowanie jeszcze dalej i zrezygnowałem z liczenia modulo 6. Przecież k nie musi być najmniejsze z możliwych. Można wziąć k = n+3
Wtedy „połowa drogi” wynosi 2n+7, a co za tym idzie:
Liczba postaci 2n+1 leży w połowie drogi pomiędzy liczbą -6 (wielokrotność 3) a liczbą 4(n+2) (wielokrotność 4)
Byłem trochę niezadowolony z rozwiązania zadania 2 (liczby nieparzyste jako średnie) bo chciałem znaleźć odp. liczby podzielne przez 3 i 4, uśrednione przez liczbę nieparzystą n i nie oddalające się od niej dalej niż o stałą wartość. I udało się, ale nie tylko w głowie a z pomocami.
Skorzystam ze standardowych funkcji o wartościach całkowitych:
r(n;d) = mod(n;d) – reszta z dzielenia liczby n przez d (d>1)
q(n;d) = [n – mod(n;d)]/d – iloraz z dzielenia liczby n przez d.
Odnotujmy, że funkcja r( ;d) jest okresowa o okresie d i wartościach {0;1;..d-1}. Wyjdę od oczywistych tożsamości:
n = 3q(n;3) + r(n;3)
n = 4q(n;4) + r(n;4)
więc
[W] 2n = 3q(n;3) + 4q(n;4) + F(n);
gdzie F(n) = r(n;3) + r(n;4)
Oczywiście F( ) jest też okresowa o okresie NWW(3;4)=12. Faktycznie F zależy tylko od reszty r(n;12), która dla n nieparzystych przyjmuje tylko 6 nieparzystych wartości spośród możliwych 12. Funkcja F przyjmuje 5 różnych wartości od 1 do 5 (wartość 3 dwukrotnie).
Wygodnie ponumerować liczby nieparzyste (n=2k-1) a funkcję F wyrazić za pomocą złożenia:
F(n) = G(i); i = r(k;6); k = (n+1)/2
gdzie
k – numer liczby nieparzystej n
i – reszta z dzielenia k przez 6
Funkcję G(i) zdefiniujemy tabelką przy pomocy wartości funkcji F dla 6 możliwych wartości argumentu i. Ponieważ każdą z 5 różnych wartości G od 1 do 5 można zapisać jako kombinację liczb 3 i 4, więc G można przedstawić jako kombinację 2 funkcji całkowitych:
G(i) = 3*G3(i) + 4*G4(i)
i; G(i) | G3(i); G4(i)
0; 5 | -1; 2
1; 2 | 2; -1
2; 3 | 1; 0
3; 3 | 1; 0
4; 4 | 0; 1
5; 1 | -1; 1
Ostatecznie, podstawiając do wzoru [W] zamiast F(n) złożenie G(i) z i(k(n) = r((n+1)/2;6) dostaniemy rozwiązanie:
[W*] 2n = L3(n) + L4(n)
gdzie funkcje
L3(n) := 3*[q(n;3)+F3(n)]
L4(n) := 4*[q(n;4)+F4(n)]
mają wartości całkowite i są odpowiednio podzielne przez 3 i 4 a ponadto
|n – L3(n)| ≤ 5 oraz |n – L4(n)| ≤ 5
PS. Oczywiście funkcje we wzorze [W*] oznaczają odp.
F3(n) = G3(r((n+1)/2;6))
F4(n) = G4(r((n+1)/2;6))
(G3 i G4 zdefiniowałem wcześniej tabelką).
Liczba czterocyfrowa jest podzielna przez 4, gdy dwucyfrowa końcówka jest podzielna przez 4.
Liczba wspak też jest podzielna przez 4, więc końcówka wspak musi być podzielna przez 4.
Mamy dwie takie końcówki: 44 i 88. Szukana liczba to 8844 ,wspak 4488, różnica 4356.
Dowód twierdzenia
Liczba nieparzysta 2n+1 n liczba naturalna.
Wielokrotność 4 jest zawsze parzysta ,więc wielokrotność 3 musi być parzyste.
Mamy
2n+1
2n * * 2n+2
2n-2 2n+4
2n-4 * 2n+6
2n-6 * 2n+8
2n-8 * 2n+10
2n-10 2n+12
Niech liczby lewej kolumny będą podzielne przez 3, co trzecia liczba parzysta jest podzielna przez 3.Liczby podzielne przez 3 oznaczamy znakiem *.
Prawa kolumna to, liczby podzielne przez 4, co druga jest podzielna przez 4, oznaczamy je gwiazdką *. Kolumny można zamienić miejscami ,rezultat identyczny. wnioski są widoczne.
Pozdrowienia
Fajnie, że przynajmniej na tym portalu demokracja nie jest zagrożona i można śmiało prezentować wszystko co nam przyjdzie do głowy 😉
Z drugiej jednak strony matematyka nie całkiem jest demokratyczna i przydałaby się jakaś kropka nad i, podsumowanie, komentarz arbitra, whatever…
Generalnie staram się nie „wsadzać kija w mrowisko”, ale od czasu do czasu spróbuję.
mp
Sądzę, że w przypadku niektórych zadań, zwłaszcza polegających na dowodzeniu czegoś, przydałby się jakiś przykład czy szkic rozwiązania. Przemyślałem, jak w tym przypadku napisać to ściśle i możliwie prosto, i oto rezultat.
Wybiorę numer (całkowitoliczbowy) k liczby nieparzystej 2k-1 jako podstawowy argument funkcji. Użyję standardowej funkcji Excela MOD(liczba; dzielnik) i wyjdę od oczywistej tożsamości:
[W] 2*(2k-1) = [(2k-1) – MOD((2k-1);3)]
+ [(2k-1) – MOD((2k-1);4)]
+ [MOD((2k-1);3) + MOD((2k-1);4)]
Jeśli wprowadzimy oznaczenia
n(k) := 2k-1
Q3(k) := (2k-1) – MOD((2k-1);3)
Q4(k) := (2k-1) – MOD((2k-1);4)
R(k) := MOD((2k-1);3) + MOD((2k-1);4)
to możemy zapisać [W] w postaci:
[W1] 2*n(k) = Q3(k) + Q4(k) + R(k)
Funkcja Q3 przyjmuje tylko wartości podzielne przez 3 a Q4 – podzielne przez 4.
Funkcja R jest okresowa i zależy tylko od reszty z dzielenia k przez 6. Pokażemy, że można ją przedstawić jako sumę 2 funkcji – podzielnej przez 3 i przez 4.
Żeby zdefiniować składniki funkcji R wykorzystam standardową funkcję Excela WYBIERZ(numer; wartość1; wartość2;…), która zastępuje tabelkę, ale dopuszcza jako numer tylko liczby naturalne.
R3(m) := WYBIERZ(m+1;-3;6;3;3;0;-3) – podzielna przez 3
R4(m) := WYBIERZ(m+1;8;-4;0;0;4;4) – podzielna przez 4
dla m = 0; 1; 2; 3; 4; 5
Wystarczy sprawdzić tylko 6 przypadków, żeby udowodnić równość:
[W1a] R(k) = R3(MOD(k;6)) + R4(MOD(k;6))
Jeśli więc zdefiniujemy ostatecznie szukane funkcje
F3(k) = Q3(k) + R3(MOD(k;6))
F4(k) = Q4(k) + R4(MOD(k;6))
i uwzględnimy [W1A] to wzór [W1] przyjmie postać:
[W2] 2*n(k) = F3(k) + F4(k)
Wystarczy sporządzić tabelkę wartości 3 funkcji występujących we wzorze [W2] aby sprawdzić tę tożsamość.
Jeszcze lepiej zrzucić je na wykres, żeby ogarnąć od razu o co chodzi. Wykres jest ładny i szkoda, ze nie da się tu zmieścić obrazka.
Właściwie to się da, a niech tam…
http://pokazywarka.pl/l5wpcb/
Prostszy sposób na ostatnie zadanie:
n = (6*n + (-4*n)) / 2
Proste sposoby były wymienione we wcześniejszych postach np.
2(2k-1) = 4(k-2) + 3*2
ale nie są one zbyt pouczające 🙂