ABCD
Mam pytanie: czy zadanie to jest ktoś rozwiązać w stanie?
A ponadto czy ma ono tylko jedno rozwiązanie?
Czterocyfrowa liczba ABCD ma dokładnie BD dzielników, wśród których są A i C (A, B, C i D to cztery różne cyfry).
BD jest tyle razy większe od A, o ile C jest większe od A, czyli BD/A=C-A.
Jaką liczbą jest ABCD?
Komentarze
Jeżeli przyjmiemy, że uwzględniamy tylko dzielniki dodatnie to zakresie od 1000 do 9999 jest tylko jedna liczba spełniająca podane warunki : 4172
BD=12
Dzielniki: 1,2,4,7,14,28,149,298,596,1043,2086,4172
BD/A=C-A
BD/A=12/4=3
C-A=7-4=3
Dodatkowo widać, że wśrod dzielników jest nie tylko A i C ale także B i D.
Z ostatnim warunkiem rozwiązaniem jest liczba 4172. 12 dzielników i 12/4=7-4
Bez ostatniego warunku zadanie ma 8 rozwiązań.
– 1038 1 2 3 6 173 346 519 1038
– 1048 1 2 4 8 131 262 524 1048
– 2136 1 2 3 4 6 8 12 24 89 178 267 356 534 712 1068 2136
– 3018 1 2 3 6 503 1006 1509 3018
– 4172 1 2 4 7 14 28 149 298 596 1043 2086 4172
– 8240 1 2 4 5 8 10 16 20 40 80 103 206 412 515 824 1030 1648 2060 4120 8240
– 9162 1 2 3 6 9 18 509 1018 1527 3054 4581 9162
– 9234 1 2 3 6 9 18 19 27 38 54 57 81 114 162 171 243 342 486 513 1026 1539 3078 4617 9234
Najciekawsze jest ostatnie, bo nie ma w nim 0 i 1 i ma najwięcej dzielników.
Ostatni warunek dla tej liczby mógłby wyglądać np tak:
BD/A=A+C
Każda cyfra liczb 2136, 4172 i 9162 jest dzielnikiem tej liczby.
10 minut w excelu – 4172. Jest tylko jedna liczba spełniająca wszystkie warunki.
Jestem w stanie, zaprzęgając do roboty excela. Program wypisał mi 22 liczby spełniające wszystkie warunki poza żądaną liczbą dzielników. Dzielniki sprawdzam ręcznie i to jest tu najtrudniejsze (to znaczy nie pomylić się). Na razie sprawdziłam pięć liczb; cztery z nich musiałam odrzucić (za duża lub za mała liczba dzielników), a piąta wydaje się w porządku:
4186 – szukamy 16 sztuk dzielników:
1 x 4186
2 x 2093
7 x 598
13 x 322
14 x 299
23 x 182
26 x 161
46 x 91
Komputer mówi, że liczby ABCD, które mają dokładnie BD dzielników można policzyć na palcach rąk (*).
Oto one: 2136, 2176, 2178, 3172, 3186, 3280, 4172, 4186, 4192, 5172, 5376.
Spośród nich, tylko 4172 spełnia pozostałe warunki podane w zadaniu.
(*) – początkowo licząc liczby wyszło mi 10, stąd taki a nie inny początek wpisu. A skoro tych liczb jest 11, to bardzo proszę nie posądzać mnie o bluźnierstwo, tylko może ktoś pożyczy mi jeden palec z jednej ręki? 🙂
4172 ma 12 dzielników:
1 x 4172; 2 x 2086; 4 x 1043; 7 x 596; 14 x 298; 28 x 149
3172 ma 12 dzielników:
1 x 3172; 2 x 1586; 4 x 793; 13 x 244; 26 x 122; 52 x 61
2068 ma 8 dzielników
1 x 2068; 2 x 1034; 4 x 517; 11 x 188; 22 x 94; 44 x 47
1076 ma 6 dzielników:
1 x 1076; 2 x 538; 4 x 269
Teraz widzę, że jeden warunek przedtem opuściłam…
Tylko 4172 ze znalezionych przeze mnie liczb pasuje.
A = 4, B = 1, C = 7, D = 2
BD to 12
BD/A = 12/4 = 3
C – A = 7 – 4 = 3
Dzielników jest 12 (1, 2, 4, 7, 14, 28, 149, 298, 596, 1043, 2086, 4172), w tym A, czyli 4, oraz C, czyli 7.
4172
4172…
… czyli o wyższości basica nad excellem.
Różnych par (a,c) takich, że c > a, jest łącznie 36.
Warunek bd = (c-a)*a sprawia, że pozostałe cyfry wynikają z (a,c).
Dodajemy warunek na brak powtórzeń cyfr i zostajemy z zestawem 25 liczb.
Sprawdzamy podzielność przez a i c, zostają:
1032 (zdecydowanie więcej, niż dwa dzielniki)
1098 (1, 2, 3, 6, 9, 18 + mnożniki dające z nimi abcd, razem > 8)
2170 (1, 2, 5, 7, 10, 14, 31, 35 i spółka > 10)
4068 (dużo > 8)
4172 (1, 2, 4, 7, 14, 28 + mnożniki do pary, razem 12)
Czyli 4172 nam pasuje.
Jedyna liczba ABCD = 4172.
Można to zadanie zrobić ręcznie.
Trzeci warunek sprowadzamy do równania:
A^2-CA+10B+D=0
musi być: delta=C^2-40B-4D>0
B nie może być większe od 3.
B=2 to C=9 i D=0 więc ABCD=4290 lub 5290 i żadna nie dzieli się przez 9.
B nie może być równa 0, więc zostaje B=1.
Teraz musimy brać kolejne D, obliczać dla nich C i A i sprawdzać podzielność takich liczb przez A i C.
Jeśli przemkną się przez to sito to rozkładamy je na czynniki pierwsze i obliczamy ilość dzielników według następującego wzoru:
Jeśli (L=p^m*q^n*r^k, gdzie p, q, r to liczby pierwsze a m, n, k to liczby naturalne) to ilość dzielników L=(m+1)*(n+1)*(k+1)
Tak policzoną ilość dzielników porównujemy z liczbą BD.
Do tego etapu dobiegają tylko dwie liczby: 2170 i 4172.
2170=2*5*7*31 więc liczba dzielników 2170= 2^4=16BD=10 więc odrzucamy.
4172=2^2*7*149 więc liczba dzielników 4172=3*2*2=12=BD=12 więc OK.
Oczywiście komputer znajduje te dwie liczby piorunem.
Dla wszystkich kombinacji cyfr sprawdzamy warunki podzielności przez C i A oraz równanie kwadratowe.
Pozostaje tylko sprawdzić (ręcznie szybciej niż programem 🙂 ) czy ich ilość dzielników równa jest BD.
@OlaGM
Dzielnikiem 4186 nie jest 8.
Nie mamy aż tak wielu przypadków spełniających warunek BD/A = C-A, żeby nie dało się tego sprawdzić „na piechotę” w excelu. Wychodzi rozwiązanie 4172, którego dzielnikami są zarówno 4, jak i 7, wszystkich dzielników jest 12. Bo już przykładowo w 2170 jest więcej dzielników, niż potrzeba. Jest jedno rozwiązanie.
@aps1968
Tak, zauważyłam, ale już dopiero po tym, jak wysłałam post.
Ostatecznie znalazłam jedną liczbę spełniającą wszystkie warunki.
jesli dopuszczamy dzielniki niebędące liczbami pierwszymi (nic nie ma o tym w treści zadania) to nie ma takiej liczby
4172
Stud mnie natchnął, żeby przeczytać definicję dzielnika. Zajrzałam do Wikipedii, a ona mówi, że trzeba uwzględniać dzielniki ujemne i podaje przykład:
Dzielniki liczby 10 należą do zbioru {-10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10}.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Dzielnik
W tym zadaniu też mamy uwzględniać ujemne?
Nie, trzymamy się liczb naturalnych.
mp
okok, cofam powyższe 😉
4172 – tylko jedna taka liczba jest
Tylko jedno: 4172
No to może w międzyczasie takie zadanko:
Znaleźć wszystkie liczby, które są równe liczbie swoich dzielników.
Przykład: liczba dzielników liczby 10 = LD(10)=|{1, 2, 5, 10}|=4 nierówne 10, więc 10 nie jest poszukiwaną liczbą 🙂
@Spytko
1 i 2 🙂 W pozostałych przypadkach na pewno n-1 nie będzie dzielnikiem n, a więc dzielników będzie mniej niż n.
Mówiliśmy o dzielnikach ujemnych, a ciekawa jest sytuacja zera. Nie będzie dzielnikiem żadnej liczby, bo b nie jest równe 0 razy żadne a. Chyba że b = 0. To wtedy właściwie wszystkie liczby są dzielnikami, bo każda razy 0 daje 0. No ale 0 też jest dzielnikiem, tyle że potykamy się o nieoznaczoność: nie wiadomo, ile to jest 0/0. Najrozsądniej jest w ogóle 0 skreślić z wszelkich rozważań o dzielnikach. No ale z drugiej strony mnożenie liczb całkowitych przez 0 jest jak najbardziej dozwolone. Jest w tym jakaś niekonsekwencja 🙂
@Spytko
Wydaje mi się, że poza 2 już nic nie będzie.
4172
bez excela, ręką, głową i kolanem do pomocy – bardzo przydatny okazał się wzór BD/A=C-A – z jego pomocą dla poszczególnych różnic (od 2 do 8) typowałem kolejne 4-cyfrowe liczby (6182, 7194 itd) i tylko jedna z nich spełniała zarówno warunek podzielności przez A i C jak i różności cyfr; wystarczyło rozłożyć na czynniki i sprawdzić ile ich kombinacje dają dzielników
zero to ogólnie jest zakała matematyków 🙂 a używanie w jednym zdaniu słów „zero” i „dzielnik” grozi niebezpieczeństwem 😀
A tutaj coś w konwencjach „śmieszno i straszno” & „no comment”:
http://katowice.wyborcza.pl/katowice/1,35063,18980439,nauczyciele-matematyki-sa-niedouczeni-dziela-przez-zero.html