Tak i wspak
Mamy rok 2016. Rok „odwrotny”, czyli 6102 będziemy witać za lat 6102-2016=4086. Już teraz zapraszam wszystkie bratnie duszyczki na sylwestra, a tymczasem, traktując sprawę czysto matematycznie, chciałbym uogólnić podany przykład, czyli zauważyć, że 4086 należy do liczb, które można przedstawić jako różnicę dwóch liczb 4-cyfrowych, z których jedna powstaje przez zapisanie wspak drugiej.
A pytanie brzmi: ile jest różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób (wytłuszczony tekst) jak 4086? Gwoli ścisłości wypada dodać, że w roli odjemnej odpadają liczby 4-cyfrowe kończące się zerem, bo ich „odwrócenie” jest 3-cyfrowe (to nie tablice rejestracyjne, więc zera na początku uznajemy za nieznaczące).
Przy okazji nasuwa się pytanie o liczbę (liczby), którą można przedstawić w ten sposób największą liczbą różnych par liczb 4-cyfrowych całkowitych dodatnich. Na przykład 4086 to także różnica „odwrotnych” par 5101-1015 (najmniejsza) oraz 9985-5899 (największa), a w sumie takich „lustrzanych” par, dających różnicę 4086, jest 45.
Komentarze
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 162.
Największą liczbą par (855) można przedstawić w ten sposób liczbę 0 (zero).
Zadanie dla wytrwałych:
Proszę znaleźć taką różnicę, która ma na końcu „1”.
Po namyśle postanowiłem nie wzniecać dysputy na temat dodatniości zera (moje przeoczenie), więc właściwe rozwiązanie to:
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 161.
Największą liczbą par (405) można przedstawić w ten sposób liczbę 90.
(A zadanie dla wytrwałych to oczywiście propozycja dla tych, którzy nie muszą dogonić króliczka 😉
142
72
Problem Apartado: brak rozwiązań
Wyszło mi 161 różnych różnic – powiedzmy +/- 2, bo mogłam się pomylić przy usuwaniu powtarzających się 🙂
Liczba 999 jest różnicą w 80 przypadkach.
Czyli odjemna i odjemnik muszą być czterocyfrowe, ale różnica może mieć mniej cyfr?
Tak
mp
jeśli różnice mogą być 1-, 2-, 3- i 4-cyfrowe:
161
81 [dla 90]
Pewne przemyślenia natury ogólnej skłaniają mnie do zmiany mojej wersji właściwej odpowiedzi.
Otóż:
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 180.
Największą liczbą par (540) można przedstawić w ten sposób liczbę 999.
(W wyniku ostatnich przemyśleń zadanie dla wytrwałych zmieniło się w banalne, a więc właściwie to je niniejszym odwołuję)
Stoisz na powierzchni Ziemi, Idziesz milę na południe, milę na zachód i milę na północ. Okazuje się, że jesteś w tym samym miejscu, w którym zaczynałeś. Gdzie jesteś?
@apartado
Nie da się, ponieważ „odpadają liczby 4-cyfrowe kończące się zerem”.
161. Można znaleźć i policzyć wszystkie liczby, pisząc program, albo w excelu. Ale można i tak: jeśli cyframi są a, b, c i d, to nasza różnica wynosi 1000a+100b+10c+d–1000d-100c-10b-a = 999a+90b-90c-999d = 999(a-d)+90(b-c). Jeśli chodzi o różnice a – d, to zakładamy, że a jest nie mniejsze od d, i a i d są cyframi od 1 do 9 (zero odpada). Zostawmy na razie na boku przypadek a = d. Wtedy mamy możliwe różnice od 1 do 8, a więc 8. Możliwych różnic b i c jest od 0 do 9, a więc 10, plus 9 ujemnych, czyli 19. 8×19=152. Jeśli mamy natomiast a = d, to dochodzi tylko 9 różnic b i c od 1 do 9 (0 i ujemne nie, bo wtedy wynikiem odejmowania jest liczba całkowita, ale nie dodatnia), razem czyni 161.
Jeśli chodzi o dominantę, to w sytuacji, kiedy np. różnica a-d wynosi 1, takich różnic mamy aż 8 (9-8, 8-7, …, 2-1). Wtedy różnica b-c może być 0, czyli 10 przypadków. 8×10 daje 80. Różnicą wtedy jest 999 (np. 9778-8779). Ale jeśli różnica a-d będzie 0, to będzie 9 przypadków, a b-c 1 też w 9 (nie -1, bo chcemy dodatnią różnicę). 9×9 jest 81, czyli oczko wyżej, wtedy różnicą jest 90, np. 8658-8568. Na drugim biegunie (jeden raz) mamy sytuację a-d = 8 i b-c = 9, albo -9. Czyli 9901-1099, lub 9091-1909. W pierwszym przypadku dostajemy największą możliwą różnicę 8802.
@ccp
Ta zagadka ma też inną wersję:
Niedźwiedź stoi na powierzchni Ziemi. Idzie milę na południe, milę na zachód i milę na północ. Okazuje się, że jest w tym samym miejscu, w którym zaczynał. Jakiego koloru jest niedźwiedź?
🙂
@cpp
Jest nieskończenie wiele rozwiązań 🙂
Drobne usterki natury technicznej spowodowały, że w zamieszczonym przeze mnie rozwiązaniu znalazł się błąd.
Właściwa, ostateczna, jedynie słuszna odpowiedź to:
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 180.
Największą liczbą par (90) można przedstawić w ten sposób liczbę 999.
„Ostateczna”, bo już zacząłem widzieć białe niedźwiedzie.
@cpp: Prócz rozwiązania klasycznego (biegun północny) możemy być na równoleżniku, którego każdy punkt leży 1 milę na północ od równoleżnika, który ma długość jednej mili usytuowanego tuż przy biegunie południowym czyli z bardzo dobrym przybliżeniem (zaniedbujemy znikomy wpływ krzywizny Ziemi) w odległości 1+1/2Pi mili od bieguna południowego. Ale to nie wszystko bo takich równoleżników wokół bieguna południowego mamy nieskończenie wiele gdyż odcinek przemierzany w kierunku zachodnim może być wielokrotnie obchodzonym w kółko równoleżnikiem położonym coraz bliżej bieguna. Ogólny wzór na odległość poszukiwanych równoleżników od bieguna południowego to 1+1/(2*k*Pi) gdzie k=1,2,3,…..
@OlaGM: W przypadku wersji z niedźwiedziem odpowiedź jest tylko jedna bo kolor niedźwiedzia w przypadku obu biegunów jest ten sam 🙂
Obu biegunów?
mp
Nooo, człowiek uczy się całe życie !!!! Nieświadom sprawy przyjąłem za pewnik, że białe niedźwiedzie występują na obu biegunach a tu proszę, tylko na północnym (przynajmniej wg Wikipedii). W ten sposób zagadka w wersji z niedźwiedziem zawęża nam horyzonty wyobraźni nie pozwalając odnaleźć „południowych”, trudniejszych, rozwiązań 🙂 Mam wrażenie, że ta „niedźwiedzia” wersja została spopularyzowana przez kogoś kto znał tylko to łatwiejsze rozwiązanie ale za to był dobry z biologii. 😉
161 liczb posiada przynajmniej jeden taki rozkład
liczba 90 posiada 81 takich rozkładów
Lista liczb posiadających największe ilości rozkładów:
90,81
180,72
270,63
360,54
729,56
819,64
909,72
999,80
1089,72
1179,64
1269,56
1818,56
1908,63
1998,70
2088,63
2178,56
2907,54
2997,60
3087,54
3996,50
Ile jest różnych różnic?
ABCD – DCBA = 999(A-D) + 90(B-C)
A>=D => A-D = 0, 1, …, 7 lub 8 – czyli 9 możliwości (1 przypadek A-D=0 oraz 8 pozostałych)
A-D=0 (1 przypadek) => B>C i B-C = 1, 2, …, 8 lub 9 – czyli 9 możliwości
A-D>0 (8 przypadków) => B-C = -9, -8, …, 8 lub 9 – czyli 19 możliwości
W sumie 1*9 + 8*19 = 9 + 152 = 161 możliwych różnic.
Pozostaje dodać, że jeśli 999X + 99Y = 999Z + 90V, gdzie liczby X, Y, Z, V są z zakresu od -9 do 9, to X = Z oraz Y = V. To oznacza, że każdy z tych 161 przypadków daje inny wynik.
Którą liczbę można przedstawić na najwięcej sposobów? Na ile sposobów?
Dla ustalonej różnicy A-D = X cyfry A i D możemy dobrać na 9-X sposobów (D=1 A=1+X, D=2 A=2+X, …, D=9-X A=(9-X)+X=9)
Dla ustalonej różnicy B-C = Y cyfry B i C możemy dobrać na 10-|Y| sposobów (np. dla Y=9 mamy tylko B=9 C=0, dla Y=8 są dwa sposoby: B=9 C=1, B=8 C=0, …, dla Y=0 mamy dziecięć możliwości: B=C=dowolna cyfra, dla Y ujemnego analogicznie jak dla dodatnich, tylko cyfry B i C zmieniają się miejscami).
Zatem jeśli A-D=0 (9 możliwych doborów cyfr A i D), to najlepiej przyjąć różnicę B-C=1 (9 możliwych doborów cyfr B i C). W sumie 81 razy.
Natomiast jeśli A-D>0 (co najwyżej 8 doborów cyfr A i D), wtedy najlepiej przyjąć różnicę B-C=0 (10 możliwych doborów cyfr B i C). W sumie mamy zatem co najwyżej 80 razy.
Zatem najwięcej razy pojawia się (81 razy) różnica dla A-D=0 i B-C=1, czyli ta różnica to 90. Występuje dla liczb postaci ABCA, przy czym B=C+1.
Druga najczęstsza różnica to 999 (80 razy) dla A-D=1 i B-C=0. Występuje dla liczb postaci ABBD, przy czym A=D+1.
Odpowiedzi:
161 możliwych różnic.
Najczęściej występuje różnica 90 (81 razy) oraz 999 (80 razy).
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 162.
Największą liczbą różnych par liczb 4-cyfrowych całkowitych dodatnich można przedstawić liczbę 90 – 81 razy. Po jednym takim przedstawieniu mają liczby 7182 (9091-1909) i 8802 (9901-1099).
161 rozwiązań 🙂