Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

3.01.2016
niedziela

Obok 2016

3 stycznia 2016, niedziela,

Nowy rok to nowa okazja do „znęcania się” na różne sposoby nad nową liczbą. Klasyczny sposób polega na tworzeniu działań równych noworocznej liczbie z wykorzystaniem tylko cyfr w tej liczbie występujących. Dwa przykłady:
2016=1206+610+200
2016=(20+16)×(20+20+16)
Im mniej powtórzeń, tym lepiej, ale żadnej z czterech cyfr – 0, 1, 2, 6 – nie może zabraknąć. Gdyby komuś z Państwa udało się ułożyć tym sposobem coś fajnego noworocznego, proszę o pochwalenie się dziełkiem.
Nie jest możliwe, aby w działaniu występowały tylko cztery cyfry, jak np. w przypadku 1827 lub 2048:
1827=21×87,   2048=8^4/2+0
Krótko mówiąc, 2016 nie jest tzw. liczbą Friedmana.

Przynajmniej dwie cechy 2016 można uznać za spektakularne. Po pierwsze jest to liczba trójkątna, czyli 2016 kulami o jednakowej średnicy można wypełnić trójkąt równoboczny – w taki sposób, jak 15 czerwonych kul umieszczanych jest na początku partii snookera w trójkątnej ramce. W snookerze wzdłuż każdego boku ramki znajduje się 5 kul. Gdyby zastąpić je kulkami o takiej średnicy, aby wzdłuż boku ramki zmieściło się ich 63, to w trójkącie kulek byłoby 2016. Czyli 2016 jest sumą wszystkich liczb od 1 do 63.

Drugą wyrazistą cechą noworocznej liczby jest duża liczba jej dzielników. Wszystkich (nie tylko różnych) czynników pierwszych w rozkładzie 2016 jest osiem – 2^5×3^2×7, co daje 36 różnych dzielników. Tylko jedna liczba mniejsza od 2016 ma ich więcej – 1680 (40). Wiąże się z tym jeszcze jedna szczególna własność 2016 – liczbę tę można przedstawić jako iloczyn różnych cyfr, a ściślej – liczb jednocyfrowych: 4×7×8×9 lub 2×3×6×7×8. Ciąg liczb o takiej własności jest ograniczony – zaczyna się od 6 (2×3; w iloczynie pomijamy jedynkę), a kończy liczbą 362880 (2×3×4×5×6×7×8×9). Między jakimi liczbami znajduje się w tym ciągu 2016?
Znacznie trudniejsze jest pytanie o liczbę wyrazów tego ciągu, ale może komuś uda się na nie odpowiedzieć.

Kom

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 22

Dodaj komentarz »
  1. Dla większości z nas, 2016 to jedyna taka liczba za naszego życia: poprzednia była 1920, a następna będzie 2160.
    Ustalenie liczby wyrazów ciągu daje się ogarnąć: albo bierzemy daną liczbę od 2 do 9, albo nie, czyli możliwości jest 2^8 = 256. Od tego należy odjąć sytuacje gdy bierzemy jedną liczbę (8 razy) i zero liczb (1 raz), a więc zostaje 247 iloczynów. Z tego różnych okazuje się być 145, ciekawe że żaden nie powtarza się więcej niż 3 razy.
    Zadanie na wariacje z powtórzeniami i wypada sobie życzyć, by rok 2016 nie przebiegał pod znakiem takowych w życiu indywidualnym i społecznym 🙂

  2. 2016 znajduje się w tym ciągu pomiędzy liczbami 1920 a 2160.
    Liczba wyrazów tego ciągu to 145.

    chwila poezji:
    Każdy element tego ciągu jest podzielnikiem liczby 362880,
    ale nie każdy podzielnik liczby 362880 jest elementem tego ciągu.

  3. No to na pierwszy strzał kilka trywialnych przedstawień liczby 2016 jako działanie z wykorzystaniem 5 cyfr:

    2016 = 2016 + 0
    2016 = 2016 – 0
    2016 = 2016 * 1
    2016 = 2010 + 6

    Nietrywialne przykłady następnym razem 🙂

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. 2016 = (102 – 6) * 21

  6. 2016 = 2 * (2 + 1006)

  7. Oj, nie lubię takich zadań 😉 Ale coś tam ułożyłam:
    16^2 * (6 + 6^0 + 6^0) – (16×2)

  8. Ten ciąg jest bardzo rzadki. Ma mniej niż 2^8 elementów. Spróbujemy policzyć je bez kompa…

  9. 2016 = 2 * 1000 + 16
    2016 = 20 * 100 + 16
    2016 = 200 * 10 + 16
    😉

  10. Jeśli chodzi o pierwsze pytanie to myślę, że obok 2016 są 1890 (5,6,7,9) i 2160 (5,6,8,9).
    Wyrazy ciągu jeszcze liczę 🙂

  11. 2016 = (2^10-16)*2 – niestety znowu 6 cyfr 🙁

    Co do ciągu, to wg mnie o wiele łatwiej podać liczbę wyrazów ciągu, niż sąsiadów liczby 2016 (a są nimi 1920 i 2160).

    W sprawie liczby wyrazów ciągu:
    Jeśli liczba należy do ciągu, to jest postaci 2^a * 3^b * 5^c * 7^d, gdzie a<=7, b<=4, c<=1, d<=1.

    Daje to 8 * 5 * 2 * 2 = 160 możliwości, z których kilka należy wykluczyć:

    70cd – 4 możliwości – bo skoro w liczbie mamy wszystkie dwójki, to w iloczynie tworzącym liczbę musieliśmy skorzystać z liczby 6 – co daje minimum jedno wystąpienie czynnika pierwszego 3
    04cd – 4 możliwości – analogiczne tłumaczenie
    1000, 0100, 0010, 0001 – 4 możliwości – bo tu mamy liczbę pierwszą, która nie może być iloczynem…
    2000, 0200 – 2 możliwości – bo tu co prawda mamy dwa czynniki pierwsze, ale są one równe.
    0000 – 1 mozliwość

    W sumie mamy 160 – 15 = 145 liczb. Choć osobiście uważam, że w ciągu powinny się znaleźć również liczby z zerem i jedynką (jako iloczyny różnych liczb jednocyfrowych):
    0 = 0*1
    2 = 1*2
    3 = 1*3
    4 = 1*4
    5 = 1*5
    7 = 1*7
    9 = 1*9

    Ładne wyprowadzenie liczby wyrazów ciągu.
    Oczywiście, gdyby ciąg trafił do OEIS należałoby go wydłużyć o podane siedem wyrazów.
    mp

  12. 16*16*16/2 – 20 – 12
    Można też odjąć dwa razy po 16, ale wtedy nie będzie 0.

  13. Oj lubię takie zadania i też coś ułożyłem.
    2016=1262016/626 (!)
    2016=1211616/601

  14. Oczywista modyfikacja:
    16*16*160/20 – 16 – 16 (albo – 2*16).
    W pierwszym wariancie, żeby nie to jedno 160, mielibyśmy z samych 16stek i 20stek. Da się oczywiście zrobić, dodając 16 do siebie 10 razy i biorąc w nawias.

  15. Ciąg ma 145 wyrazów. 2016 leży między 1920 i 2160. Ustalenie liczby elementów tego ciągu bez komputera jest zbyt żmudne mimo, że liczba może mieć tu co najwyżej trzy rozkłady. Dość łatwo wskazać układy podstawowe mające 1, 2 lub 3 rozkłady ale później zaczyna się mnóstwo wyjątków związanych z występowaniem pozostałych czynników.

  16. Zadanie KWADRATURA (podział kwadratu na kwadraty) z Omnibusa jest bardzo sympatyczne. Układ 5 równań z 7 niewiadomymi da się sprowadzić do 1 równania z 2 niewiadomymi i sprawdzenia 5 przypadków z których tylko jeden ma sens. Żadnych prób i błędów.

    A wydawało mi się, że łatwiej jest rozwiązać to zadanie geometrycznie, próbując i błądząc (niezbyt mozolnie), niż algebraicznie. Przyznam się też ze wstydem, że nie wiem, o jakie 5 równań z 7 niewiadomymi chodzi. Dla mnie jest jedno równanie z siedmioma niewiadomymi, czyli suma kwadratów równa 21^2.
    mp

  17. Skoro można 20 i 16, to można też 201 i 6: 201×6+201×6-201-201+6. Z 2015 byłoby tutaj zgrabniej.

  18. 1920
    2016
    2160

    145 liczb

  19. Każdy bok daje jedno równanie. Patrząc na lewy górny róg zauważamy, że A może być równe tylko 4 albo 5. Patrząc na środek i dół widzimy, że A nie może być równe 5. Rachunki na poniższym slajdzie. Nawet nie próbowałem zabierać się za to geometrycznie 🙂
    http://pokazywarka.pl/v30c9w/

  20. @aps1968

    A może po prostu 201*10+6?

    Moim zdaniem to jest trywialne lub na granicy trywialności.
    Dla porównania nietrywialne (Antypa) i przy okazji ciekawe ze względu na powtórkę:
    1262016/626=2016

  21. Oj tak! Przykłady z dzieleniem bardzo mi się podobają.

    Od siebie dodam taki:
    2016 = 122222016 / 60626

    A przy okazji bardziej ogólny problem: czy dowolną liczbę naturalną n można przedstawić jako iloraz liczb, których zapis w systemie o podstawie d (domyślnie d=10) składa się wyłącznie z cyfr liczby n.
    Strzelam, że tak się da i zapewne wynika to z jakiegoś mocnego twierdzenia. Ale nie nasuwa mi się na myśl nic konkretnego.

    http://oeis.org/A020338 – trywialne, ale pasuje
    mp

  22. @miodziu
    Nie, bo mają być tylko 201 i 6 🙂 Czyli co najwyżej nie 201×10, a 201+…+201 10 razy. No to jeszcze bardziej trywialne 🙂

  23. Errata:
    elementy sąsiednie wokół 2016 to 1920 i 2160.

    A wszystkich elementów jest 145, z czego
    67 jest wynikiem jednego iloczynu,
    54 elementy można uzyskać na dwa sposoby(np. 12 to 2*6 i 3*4)
    a 24 elementy można uzyskać na trzy sposoby (np. 24 to 6*4 albo 3*8 albo 2*3*4).

    Nie mogłem wymyślić rozwiązania analitycznego i zachęcony przez Spytka znalazłem wszystkie 247 potencjalnych kombinacji, z czego 102 potem odpadły jako powtórki.
    Rozwiązanie skuteczne, ale mało finezyjne.

css.php