Bez równań i ułamków
Tym razem będzie o pewnym wyróżniającym się oryginalnością rodzaju łamigłówki powstałym w ostatnich latach, który ma – jakżeby inaczej – japoński rodowód. Jego nazwę można przetłumaczyć jako labirynt pól, a autorem jest Naoki Inaba – bodaj najbardziej kreatywny wymyślacz diagramowych zadań logicznych.
Oto prosty przykład:
Liczby oznaczają długości boków i powierzchnie prostokątów; podstawowa jednostka jest oczywiście taka sama.
Właściwie rysunek wystarcza, aby zorientować się, o co chodzi – znak zapytania niby wszystko wyjaśnia, ale…
Kiedy przed paru laty zetknąłem się z takimi łamigłówkami, pomyślałem w pierwszej chwili, że ich niezwykłość jest jakimś nieporozumieniem. Przecież w tym konkretnym przypadku wystarczy jedno proste równanie:
?=78/(20/4+14/5)
I drugi przykład:
Teraz trzeba określić wielkość powierzchni, czyli długości dwóch boków prostokąta – podstawy x i wysokości y , więc przyda się układ dwóch równań:
x=29/4-21/y
x=10-43/y
Niby w rozwiązaniach obu przykładów wszystko jest jak należy, ale z punktu widzenia „instrukcji obsługi” prawie wszystko jest źle, bowiem chodzi o coś innego: istota i cały urok łamigłówki polega nie tyle na znalezieniu rozwiązania, co sposobu rozwiązywania i to dość szczególnego. A mianowicie, sposób powinien być taki, aby nie zawierał równań, ani ułamków; korzystać wolno wyłącznie z liczb całkowitych oraz wzoru na pole prostokąta, a przede wszystkim z logiki, kombinowania i spostrzegawczości. Nie należy też sugerować się proporcjami na rysunku, bo nie muszą one odpowiadać rzeczywistym i z reguły nie odpowiadają.
Wróćmy do pierwszego przykładu.
Zaczynamy od dopełnienia całości do prostokąta.
Dopełnienie ma wysokość 5 (20/4) i podstawę 1 (5-4), a zatem jego powierzchnia wynosi 5. Powierzchnia prostokąta obwiedzionego czerwoną linią równa jest 39 (20+5+14), a więc jest dwukrotnie mniejsza, niż sąsiedniego większego prostokąta (78) o takiej samej wysokości, a ponieważ podstawa (39) wynosi 5, więc podstawa (78) musi być dwukrotnie większa, czyli ?=10. Proste?
Kolej na drugi przykład (trudniejszy) rozwiązywany na dozwoloną modłę.
Przenosimy prostokąt (43) w prawo na drugą stronę (?) i dopełniamy całość do prostokąta. Prostokąt (43) pokryje częściowo (21), a pozostała jego część będzie prostokątem (22).
Dopełnienie ma powierzchnię 10×4-29=11. Nad nim znajduje się prostokąt o takiej samej podstawie i dwukrotnie większej powierzchni (22), a stąd wniosek, że łączna powierzchnia (21) i (?) jest dwukrotnie większa niż powierzchnia prostokąta (29), czyli wynosi 58. A zatem ?=58-21=37.
Czy po „treningu” poradzą sobie państwo z rozwiązaniem poniższego zadania? Obliczyć purpurową powierzchnię „po polsku” – prosta sprawa, rozwiązać zadanie „po japońsku” – nie tak łatwo, bo to dość twardy orzech.
Zdaję sobie sprawę, że rozwiązanie, które jest opisem rozwiązywania, to nie to samo, co podanie krótkiej odpowiedzi, więc z góry dziękuję wszystkim, którym starczy cierpliwości, aby takowym w komentarzu się pochwalić.
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Diabeł i raj Katarzyny Gärtner
83-letnia dziś Katarzyna Gärtner, słynna kompozytorka „Małgośki” i wielu innych przebojów, tuła się po domach przyjaciół i stara odzyskać dom, studio oraz swój dorobek artystyczny.
Komentarze
W zadaniu należy znaleźć pole prostokąta o wysokości 8, znajdującego się pod polem oznaczonym znakiem zapytania. A potem podzielić to pole na połowę, ponieważ szukany prostokąt ma taką samą podstawę oraz wysokość równą 4. Końcowy wynik to 25.
http://pokazywarka.pl/pxrmgb/
Zadanie proste.
8*5=40.
68-40=28
28-17=11 (lewo-dolny róg figur ’17’ i ’34)
Czyli pod ’11’ też jest ’17’ o wysokości prostokąta 51.
51=17*3
czyli na szerokości 51-dynki są trzy prostokąty ’28′(17+11)
3*28=84
84-34=50
‚?’ ma wysokość 4
czyli ?=50/2=25
Pole powierzchni purpurowego prostokąta=25. Spróbuję bez rysunku.
Odcinamy pionowo z lewej str. prostokąt o polu 8×5. Wtedy z lewej boki od góry to 4,h,8. odpowiednio z prawej od góry to 4,8,h.
Z 68 pozostało 28. Prawy jego bok przedłużamy w górę, aż przetnie pierwszy prostokąt. Lewa część tego prostokąta ma pole 14 ( podstawa taka jak u tego o polu 28, a wys. 2 razy mniejsza). Prawa część I prostokąta ma pole=17, bo pod nim jest prostokąt o polu=34 (podstawy równe wysokość jednego 4, drugiego 8). Teraz prostokąt o polu 28 dzielimy na dwa przedłużając górny bok prostokąta o polu 51 w lewo. Dolna część ma pole=17 , tak jak drugi od góry z lewej (podstawa taka sama i wys. równa h). Druga część 28-17=11. Dalej zauważamy, ze na dole są prostokąty o polach 17 i 51, wysokość mają jednakową, więc podstawa większego jest 3 razy większa od podstawy mniejszego. Pole purpurowego jest 2 razy mniejsze od tego pod nim. To większe ozn. P. Wtedy (34+P)/3=11+17, stąd P=50, a dalej pole purpurowego prostokąta=25
Nieco inny (krótszy) sposób rozwiązania drugiego przykładu:
skoro ’11’ ma wysokość 4
to ’22’ ma wysokość równą 8
prostokąt 8×10 wynosi 80
?=80-43=37
Orzech w istocie, jak na Łamibloga przystało, dość twardy.
Po zauważeniu, że wysokość prostokąta 17 i 51 jest jednakowa, wiemy, że podstawa 51 jest trzykrotnie dłuższa od 17 (bo 51=17*3).
Następnie prostokąt 68 dzielimy na dwa prostokąty o polach 40 (8*5) oraz 28 (68-40)
Rys. http://bankfotek.pl/view/1953931
W kolejnym etapie powstały prostokąt 28 dzielimy na dwa o polach 17 (wyżej wyjaśnione dlaczego) oraz 11 (28-17)
Powstaje nam duży zielony prostokąt o polu 62 (34+17+11) i wysokości 8 a więc powyżej niego niebieski prostokąt o wysokości 4 ma pole 31.
Rys. http://bankfotek.pl/view/1953932
Następnie przedłużamy górną podstawę prostokąta ’68’ otzrymując dwa prostokąto o polach trzykrotnie większych od ich sąsiadów po lewej, czyli 51 i 33 odpowiednio.
Rys. http://bankfotek.pl/view/1953936
Suma tych dwóch zielonych to 84 więc nowo obliczony niebieski prostokąt o wysokości 8 ma pole 50 (84-34) zatem znajdujący się nad nim szukany prostokąt o wysokości 4 ma pole 25.
Rys. http://bankfotek.pl/view/1953939
Mam nadzieje, że opis klarowny
podział: 68–8×5=28
spostrzeżenie: 51=17×3
makao: 3×28–34=50
rozwiązanie: 25
?=25
A teraz jak można do tego dojść:
Z lewego dolnego prostokąta odcinam 8*5 i zostaje prostokąt o powierzchni 68 – 40 = 28.
Teraz trzeba zauważyć, że prostokąt o powierzchni 17 i prostokąt o powierzchni 51 mają tą samą wysokość, czyli długość prostokąta „51” jest 3 razy większa niż „17”.
Stąd 3 * 28 = 34 + pole poniżej pytajnika, czyli pole pod pytajnikiem = 84 – 34 = 50.
A ponieważ pole poniżej pytajnika ma wysokość 8, a pole z pytajnikiem ma wysokość 4, to pole z pytajnikiem ma połowę jego powierzchni, czyli 25.
Strasznie trzeba się pilnować, żeby po japońsku nie użyć jakiegoś ułamka.
Szukane pole to 25.
Z prostokąta 68 odcinamy lewą część 5×8 o polu 40 – zostaje nam prostokąt o polu 28.
Prostokąty 17 i 28 zamieniamy miejscami.
Prostokąt ? podwajamy i przesuwamy w dół.
http://www.gg.pl/dysk/p6z7_ZWbVLVQpqz7_ZWbRJw/DSC_1465.jpg
Teraz dopiero zauważyłem, że w ostatnim kroku można wykonać jeszcze mniej obliczeń:
51 = 3 * 17, zatem
34 + 2 * ? = 3 * 28
34 + 2 * ? = 84
2 * ? = 50
? = 25
25
Można to rozwiązać w pamięci. Faktycznie ładne zadanie.
Wciągnęłam się! Więcej tego typu zadań znalazłam po wpisaniu w google grafika „Inaba puzzle”. Z tego, co widzę na jednym ze zdjęć, pan Inaba wydał też parę zbiorów zadań. Ale w Polsce tych zbiorów pewnie nie wydano? Na Amazonie też ich nie ma, a szkoda.
Rozrywka jest jednak niszowa i wydawcom się po prostu nie opłaca. W Japonii istnieje kilka małych wydawnictw, specjalizujących się w takich publikacjach i zainteresowanie jest większe, niż gdzie indziej, więc biznes jakoś się kręci. Parę zbiorków z „labiryntami pól” wydano tylko w Japonii.
mp
Bardzo fajne zadanie, chociaż trudniej opisać rozwiązanie niż rozwiązać, ale spróbuję. Mała legenda: L51 – długość prostokąta o polu 51, H? – wysokość szukanego prostokąta, PL51x8 – pole prostokąta w bokach L51 i 8.
P? =(4/8)x(PL51x8-34).
H17=H51, więc PL51x8=(51/17)xPL17x8=3x(68-5×8)=84
Stąd P?=1/2x(84-34)=25.
?=25.
Po japońsku: Oznaczmy powierzchnię szukanego prostokąta rzez X. Prostokąt pod nim ma powierzchnię 2X. Prostokąty 68 i 17 zamieniamy miejscami. Z prostokąta 68 odcinamy prostokąt 5*8=40 i zostaje z niego 28. Mamy proporcję (nie równanie
) (2X+34)/28=51/17 skąd X=25.
Po polsku: Poziomy bok prostokąta 17 oznaczmy przez b. Z równania (5+b)*8=68 wyliczamy b=7/2. Oznaczmy poziomy odcinek szukanego prostokąta przez a. Mamy a=3b-(5+b)/2=25/4. X=4*25/4=25.
Największą trudność w tym zadaniu sprawiło mi określenie co tak naprawdę wolno a czego nie wolno robić. Warunek „….bez równań….” jest jednak nieco mylący, gdyż następujący fragment rozwiązania drugiego przykładu:
„……Nad nim znajduje się prostokąt o takiej samej podstawie i dwukrotnie większej powierzchni (22), a stąd wniosek, że łączna powierzchnia (21) i (?) jest dwukrotnie większa niż powierzchnia prostokąta (29), czyli wynosi 58. A zatem ?=58-21=37….”
Jest po prostu opisem utworzenia i rozwiązania następującego równania:
(21+X)/29=22/11, skąd X=37.
A zatem równania możemy rozwiązywać ale przy dwóch warunkach.
1. Zmienną dozwolonego równania może być wyłącznie powierzchnia (a nie długość odcinka) .
2. Strony równania są stosunkami powierzchni o jednakowym ilorazie.
Chociaż tak naprawdę stwierdzenie, że odcinek ma długość 1 bo jest różnicą 5-4 to też rozwiązanie równania. Więc może ostatecznie taki jeden warunek: Wolno rozwiązywać równania pod warunkiem, że dają one tylko całkowite wyniki.
Ale wszak we wpisie stoi: „korzystać wolno wyłącznie z liczb całkowitych”.
mp
-Fioletowy ma o połowę mniejsze pole od prostokąta leżącego pod nim (jeden bok ten sam, drugi o długości 4 zamiast 8)
-Pole prostokąta leżącego bezpośrednio pod 17 z górnego lewego rogu wynosi 68 – 5*8 = 28
-Zatem pole prostokąta leżącego nad 51 będzie trzy razy większe (bo 51 = 3*17 i obydwa mają drugi bok o tej samej długości)
-Czyli pole prostokąta leżącego pod fioletowym wyniesie 3*28 – 34 = 50
-Zatem pole fioletowego to połowa z niego, czyli 25
Zadanie dobrą chwilę mi zajęło, ale ja słaby z geometrii jestem. Więc chyba jednak nie aż taki twardy orzech
Zgoda. Moje wątpliwości dotyczyły głównie zakazu stosowania równań. Próbowałem wykazać, że nie da się uniknąć ich stosowania. Tak czy inaczej łamigłówka jest bardzo fajna. Kojarzy się ze sztuką konstruowania figur cyrklem i linijką.
o rany, ale zamotałem, faktycznie po podziale 68 na 40+28 i zamianie miejscami powstałego 28 z leżącym nad nim 17 zadanie robi się trywialne
Można zaproponować drobną kontynuację? Tu jest kilka przykładów przestrzennych: http://pokazywarka.pl/fg5tp9/ Umiem rozwiązać tylko pierwszy. Czy ktoś podpowie rozwiązania pozostałych trzech?
@OlaGM: 24, 32, 21, 52
w drugim wartosci 15 i 29 są niepotrzebne.
Wiąz, dziękuję
A jakie rozumowanie trzeba przeprowadzić w przykładach 3. i 4?
@OlaGM:
3. ’14’-ki maja jeden bok tej samej długości, a więc muszą mieć tą samą szerokość (rowne pola), a więc tak samo jest z 15 (styczne bokiem do 14), wniosek: obie 15-ki są takie same: bok=6, czyli ?=6*6 -15
4.
17 to 34/2 => szerokość 34-ki=5
czyli szerokość ‚?’=10-5=5
17-ka dzieli wysokość na 2 czyli wysokosc 26 i 17 równe,
skoro szerokość ? i 34 jest ta sama, to ?=2*26=52
Mam dwie wątpliwości:
a) Skąd wiesz, że szerokość 34-ki to 5?
b) Skąd wiesz, że 17-ka dzieli wysokość na połowę?
Czy to jakoś wynika z rysunku (ja tego nie umiem zobaczyć…)
Jeśli dobierze się inne dane (34-ka ma wymiary 17×2, a 17-ka ma wymiary 17×1), to w konsekwencji 26-ka ma wymiary (5-1) x 6,5, z kolei [?] ma wymiary (10-2) x 6,5, czyli też wychodzi 52.
Czy to nie jest tak, że założenia a) i b) nie mają znaczenia, że [?] zawsze będzie 2 x większe niż 26?
a) 34 i 17 maja wspólny bok o tej samej dlugosci, a wiec….
jesli pole jest dwa razy wieksze to drugi bok musi być jaki?
b) patrz punkt a).
a i b maja znaczenie, bo inaczej nie wiedzielibysmy ile odjąc od 10 zeby otzrymac szerokosc ‚?’
Aaaaa zrozumiałem, o co ci chodzi… ja to widze inaczej, to znaczy od razu widzę skalę, jeśli o tyle samo zmieni sie wysokość 17’ki, to o tyle samo zwiększy się szerokość ‚?’ a co za tym idzie, wysokość 26’ki i stosunki pozostana te same, prawie jakw Talesie. Ja przyjąłem stosunek 34/17, czyli 2, można przyjąć x, które się skróci.
P.S. rozwiązanie byłoby deczko trudniejsze gdyby 10/5 było nierówne 34/17 (ale to tylko skala), a jeśli stosunki są równe to widać od razu zależność.
Jest tak, jak piszesz OlaGM. Jak narysujemy przekątną trójkąta o znanych bokach 5 i 10 to zupełnie przypadkiem uzyskamy jeszcze dwa małe trójkąty podobne (17/34=5/10) i w związku z tym ? jest 2 x większe od 26.
Bardzo dziękuję za tę dyskusję
Obawiam, że 4. przykład jest dla mnie za trudny… Umiem go rozwiązać tylko w ten sposób, że przyjmę jakieś konkretne liczby i sprawdzę, co w konsekwencji otrzymam jako [?]. Z o b a c z y ć tego nie umiem, trudno
Pytałam w sklepie japońskim, czy sprowadziliby te książeczki („Menseki Meiro”) do Polski. Okazało się, że tak, z tym że kosztowałyby po 45 zł od sztuki. Jeśli ktoś chce, mogę podać namiar na ten sklep.
(a na Amazonie są w cenie 8-12 funtów)
OlaGM, możesz 4. przykład tak:
Pionowy bok „17” oznaczyć a. Wtedy odpowiedni bok „34” wynosi 2a.
Reszta boku długości 5 wynosi 5-a. Drugi ,mniejszy, prostokąt z przodu ma boki : krótszy równy 5-a, dłuższy równy 10-2a.
Teraz rozumiem. Szary prostokąt z bokiem (10-2a) ma dwa razy większe pole niż prostokąt z bokiem (5-a) bez względu na to, ile wynosi ich wspólny bok. Dziękuję, Logi