Klucz
Uruchomienie pewnego programu wymaga znajomości klucza, którym jest 25-cyfrowa liczba. Wiadomo, że suma wszystkich jej cyfr jest nieparzysta. Dwie osoby – A i B, które znają tę liczbę, zauważyły, że ma ona kilka ciekawych własności. Osoba A twierdzi, że suma każdych jej trzech kolejnych cyfr jest parzysta. Zdaniem osoby B parzysta jest suma każdych jej pięciu kolejnych cyfr. Czy jest możliwe, aby A i B miały rację? A jeśli nie, to która z nich ma rację? A może żadna?
Komentarze
A może mieć rację… Mamy NNPNNP itd. aż do pozycji 22, 23 i 24 ostatnia trójka NNP i moneta 25 jest N. Przypadek pięciu monet rozważę później, już widać że nie będzie to w tej sytuacji równocześnie z trzema, bo pojawi się sekwencja NPNNP o sumie nieparzystej. Albo NPNNPNNPN etc i N na końcu, też jest suma trzech parzysta zawsze, a pięciu nie zawsze.
Osoba A ma rację, co potwierdza przykład (spacje dla przejrzystości)
110 110 110 110 110 110 110 110 1
Osoba B nie ma racji, bowiem gdyby pogrupować cyfry klucza w bloki po 5 cyfr (mamy wtedy 5 bloków) – i w każdym bloku suma cyfr była parzysta – to wtedy suma wszystkich cyfr też musiałaby być parzysta – a nie jest!
B nie może mieć racji, bo jeśli każda suma jest parzysta, to parzyste są sumy od 1 do 5, od 6 do 10, etc., aż do 21 do 25. Czyli parzysta jest suma 1-25, a ma być nieparzysta.
Gdyby zaproponować taki kod: npnnpnnpnnpnnpnnpnnpnnpnn,
to spełnione by były niektóre z warunków:
– 25-cyfr – TAK
– suma wszystkich cyfr jest nieparzysta – TAK
– suma każdych trzech kolejnych cyfr jest parzysta – TAK
– suma każdych pięciu kolejnych cyfr jest parzysta – NIE
Suma każdych pięciu kolejnych cyfr czasem jest parzysta, czasem nieparzysta, w podobnym porządku jak cyfry w kodzie: nnpnnpnn…
Jeśli suma wszystkich cyfr jest nieparzysta, to może być prawdą, że suma każdych jej trzech kolejnych cyfr jest parzysta, np.
1121121121121121121121121
Można tą liczbę zmieniać bez zmiany parzystości cyfr na poszczególnych miejscach, np.
3981583587125167703365947 też ma taką właściwość.
Ale nie udało mi się znaleźć takiej liczby 25 cyfrowej, której suma cyfr jest nieparzysta , a suma każdych pięciu kolejnych cyfr jest parzysta. Tzn. jeśli w liczbie 25 cyfrowej suma każdych kolejnych 5 cyfr jest parzysta, to i suma wszystkich 25 cyfr jest parzysta.
Czyli możliwe, że rację miała osoba A, ale niemożliwe, żeby rację miała osoba B.
Osoba B nie ma racji. Jezeli kazde 5 cyfr byloby parzyste to znaczyloby ze cyfry w kazdej piatce sa parzyste takze. Suma parzystych cyfr zawsze jest parzysta.
Osoba A moze miec racje. Liczba w tym przypadku moze wygladac nastepujaco: 1121121121121121121121121
A
Jeszcze przyszło mi do głowy proste uzasadnienie dlaczego B nie może mieć racji:
25 dzieli się na 5 bez reszty. Jeśli każde 5 kolejnych cyfr jest parzyste, to znaczy, że suma takich 5 sum parzystych też musi być parzysta. Czyli nie ma wtedy (kiedy każde 5 kolejnych cyfr jest parzyste) takiej możliwości, żeby suma wszystkich cyfr była nieparzysta.
A: 1011011011011011…011
0 = parzysta, 1 = nieparzysta cyfra
B: nie potrafi dodawać
A może mieć rację przy ustawieniu liczb:
npnnpnnpnnpnnpnnpnnpnnpnn lub nnpnnpnnpnnpnnpnnpnnpnnpn
n-cyfra nieparzysta, p- cyfra parzysta
Nie ma oczywiście problemu z pięcioma liczbami, jeśli liczba cyfr nie jest podzielna przez 5, tylko daje na przykład resztę 1 (choć niekoniecznie), np. 26. Bo mamy NNPNN itd. i na końcu zostaje N. A jak 27 lub 29 (też 26), to zaczynamy od NPNNN. A jak 28, to NNNPN. Ogólnie dla każdej liczby nieparzystej będzie to jedna cyfra parzysta wśród samych nieparzystych, np. dla 7 NNNPNNN, ale też i NPNNNNN, chodzi o to by cyfry które zostaną na końcu dawały sumę nieparzystą.
Tylko osoba A może mieć rację.
Tylko A może mieć rację (np. 110110110…….)
B nigdy nie ma racji (a zatem A i B nie mogą mieć racji).
Twierdzenie osoby B z marszu można wykluczyć.
25 cyfr można przecież podzielić na 5 rozłącznych ciągów kolejnych cyfr. Jeśli suma każdych 5-ciu cyfr jest parzysta to suma wszystkich 25-ciu również byłaby parzysta co jest sprzeczne z początkowym założeniem.
Osoba A może mieć rację.
Liczba 1211211211211211211211211 ma sumę nieparzystą a każde trzy kolejne cyfry tworzą sumą parzystą. Oczywiście 1 i 2 można dowolnie zamieniać na inne cyfry nieparzyste lub parzyste odpowiednio.
Jeżeli suma każdych kolejnych pięciu cyfr jest parzysta, to w szczególności jest parzysta suma pierwszych pięciu cyfr, suma następnych pięciu cyfr (począwszy od szóstej), itd. Zatem parzysta jest suma wszystkich 25 cyfr (bo 25 jest podzielne przez 5). Oznacza to, że osoba B nie ma racji.
Analogicznie, jeżeli parzysta jest suma każdych kolejnych trzech cyfr, to parzysta jest suma pierwszych 24 cyfr (bo 24 jest podzielne przez 3). Jeżeli ostatnia cyfra będzie nieparzysta, to suma wszystkich cyfr będzie nieparzysta. Taki warunek spełniają liczby 1011011011011011011011011 i 1101101101101101101101101. Wszystkie takie liczby uzyskamy, zastępując w powyższych liczbach cyfrę 1 dowolną cyfrą nieparzystą, a cyfrę 0 dowolną cyfrą parzystą, czyli takich liczb mamy 2*5^25. Jak widać, osoba A może mieć rację.
Nietrudno udowodnić uogólnienie problemu: istnieje liczba n-cyfrowa, której suma wszystkich cyfr jest nieparzysta, a suma każdych k kolejnych cyfr jest parzysta, wtedy i tylko wtedy, gdy n nie jest podzielne przez k.