O jednym byku
Początkowo zadanie miało się ograniczać do pytania:
Czy dla jakiegoś x wynik działania x^2+x+1 może być liczbą podzielną przez 2014?
Tymczasem licho mnie podkusiło i zaproponowałem wybór – co gorsza w niefortunnej formie:
Pewną liczbę x podstawiono do wzoru:
x^2+x+1=S
Czy otrzymana suma S jest podzielna przez 2014 czy przez 2015, jeśli wiadomo, że przez jedną z tych liczb dzieli się na pewno?
Takie zadanie pojawiło się w dodatku Na pamięć do Wyborczej 20 grudnia br. Właściwie jest bardzo proste, bo nietrudno zauważyć, że wielomian x^2+x+1 nie może być liczbą parzystą, więc podzielność przez 2014 odpada. Niestety, równie łatwo ustalić, że wykluczona jest także podzielność tego wielomianu przez 5, a zatem stwierdzenie, że suma S „przez jedną z tych liczb (2014 lub 2015) dzieli się na pewno” ma tyle sensu, co nic.
Za ile co najmniej lat, czyli pod koniec którego najbliższego roku R powinienem zamieścić to zadanie, aby pytanie: ”Czy otrzymana suma S jest podzielna przez R czy przez R+1, jeśli wiadomo, że przez jedną z tych liczb dzieli się na pewno?” – miało sens.
Komentarze
Za 56 lat czyli w roku 2070. Dla x=45 otrzymujemy S=2071
2052/2053 ?
Metodą poszukiwań ręcznych w excelu.
Metodą dowodową niestety nie bardzo wiem jak podejść do tematu.
Poprawka 😉 Może Pan wrzucać to zadanie za dwa lata.
Zadanie to ma sens w roku 2016. Dla x=294 otrzymujemy s=86731, które dzieli się przez 2017. Czyli nie popełniłeś strasznego błędu (cóż to jest 2 lata w porównaniu do wieczności) :).
Pod koniec 2070 roku. x^2+x+1=2071, gdy x=45
Od dziś za dwa lata.
R=2016
R+1=2017
x=294
S=86731=43*2017
No patrzcie Państwo, a ja zadowoliłem się odpowiedzią 2015… wyszło niezłe zadanie zmyłkowe.
Co innego 2017, np. dla n = 294, S(n) = 86731, a to jest 2017×43. Rozwiązań n dla 2017 jest więcej, podejrzewam, że nawet nieskończenie wiele. Odpowiedź brzmi zatem: 2 lata. Wypada więc złożyć życzenia Gospodarzowi i wszystkim Rozwiązującym nie tylko w Nowym Roku wielu inspiracji, ale w najbliższych dwóch latach.
proponuje ostroznie z matematyka. wielomian x^2+x+1 moze byc licba parzysta. Co wiecej, istnieje nieskonczenie wiele liczb x ktore po podstawieniy do wielomianu dadza liczba parzysta. W szczegolnosci, dowolna calkowita. To samo dotyczy wielokrotnosci 2015.
Czy Pan Redaktor zadal wlasciwe pytanie?
???
mp
No tak 🙁
W roku 2016.
Dla x=294, S=86731=43*2017;
Oczywiście nadal zakładamy, że x jest liczbą całkowitą.
A.L. czyżby?
Jak dla mnie to parzysta do kwadratu daje parzystą a nieparzysta do kwadratu nieparzystą, suma obu kombinacji jest parzysta a skoro powiększamy o 1 to wynik zawsze* jest nieparzysty.
* – W zbiorze liczb Naturalnych.
@rubik, @redaktor: Cytuje:
„Właściwie jest bardzo proste, bo nietrudno zauważyć, że wielomian x^2+x+1 nie może być liczbą parzystą”
Otoz, moze. Wystarczy zauwazyc ze rownanie
x^2+x+1 = 2k
ma nieskonczenie wiele rozwiazan. Wiec twierdzenie jest nieprawdziwe. Zapewne Panu Redaktorowi chodzilo o rozwiazanie tego rownania w LICZBACH NATURALNYCH.
No I wlasnei dlatego napisalem „ostroznie z matematyka”. Liczby naturalne to zalozenie o ktorym trzeba napisac explicite.
@rubik slusznei dodal ze „w zbiorze liczb naturalnych”. Tego mi wlasnie brakowalo w oryginalnym tekscie
Kto wie, co to jest „liczba parzysta”, temu niczego nie powinno brakować.
mp
@mp” Kto wie, co to jest “liczba parzysta”, temu niczego nie powinno brakować”
Nie bardzo rozumiem. Ja wiem co to jest liczba parzysta, tym niemniej w dalszym ciagu twierdze ze nieprawda jest twierdzenie jakoby wartosc wielomianu x^2+x+1 nie mogla byc liczba parzysta. Moze byc, na przyklad dla x = (sqrt(5)-1)/2 (sqrt oznacza pierwiastek kwadratowy) wartosc tego wielomianu wynosi 2, co jak najbardziej jest liczba parzysta. Gdy liczbe pod pierwiastkiem zastapimy przez 13, wartosc wielomianu bedzie 4.
Ogolnie, gdy pod pierwiastkiem bedzie 8k-3, wartosc wielomianu bedzie 2k
Sytuacja zmieni sie gdy nalozymy ograniczenie ze x musi byc liczba naturalna.
Moja uwaga dotyczyla koniecznosci pewnej precyzji w formulowaniy zadan I lamiglowek opartych o matematyke. Normalnie, wiekszosc ludnosci, gdy powiedziec „liczba” mysli instynktownie o liczbach naturalnych. Ale istnieje pare innych gatunkow „liczb”…
Kontynuujac wywod, pytanie:” Czy dla jakiegoś x wynik działania x^2+x+1 może być liczbą podzielną przez 2014?” ma odpowiedz pozytywna. Na przykald x = (sqrt(16109)-1)/2. Wartosc wielomianu dla tego x wynosi 4028, jak najbardziej podzielne przez 2014.
Powinno byc „czy dla jakiejs liczby NATURALNEJ x…”. I taki chyba byl zamysl Pana Redaktora. Ale matematyk zawsze znajdzie dziure w calym 🙂
Nie zrozumieliśmy się.
Mówiąc wprost: gdyby nie chodziło o liczby naturalne, to zadanie (i cały wpis) w ogóle nie miałoby sensu.
A jeśli chodzi o ścisłość sformułowań przyznaję oczywiście 100 procent racji.
Życzę 2014<2015<2016 (< oznacza gorszy niż) mp
„Metodą dowodową” da się to rozwiązać tak: przykład liczb 2 i 5 pokazuje, że dla niektórych liczb pierwszych, jeśli numer roku ma taką w rozkładzie, nie jest możliwe, by warunek był spełniony. Kolejna taka liczba to 11, etc. Dla pozostałych liczb pierwszych, jak 3, 7, 13, etc, jeśli numer roku tylko takie ma w rozkładzie, rozwiązań będzie nieskończenie wiele. Aby sprawdzić, do której grupy liczb należy dowolna liczba pierwsza p, należy policzyć S(x) dla x do p-1, bo S(p) wiadomo że nie będzie się dzielić przez p. Jeśli nic z tego przez p podzielne nie jest, to p należy do grupy 2, 5, etc.; reszty z dzielenia będą potem się powtarzać cyklicznie. To cykliczne powtarzanie się reszt mamy zresztą i dla liczb pierwszych z drugiej grupy, z tym że tam trafia się 0, a więc to 0 z okresem p będzie powtarzać się w nieskończoność. Przykładowo, 2017 sama jest liczbą pierwszą z grupy 3, 7, …, a 2019 ma w rozkładzie 3 i 673, obie (jak się okazuje w przypadku 673) też z tej grupy.
(cd) Ciekawy jest przypadek liczby 2021, czyli 43×47: liczba 43 należy do grupy 3, 7,…, choćby dlatego, że S(6) = 43. Ale liczba 47 należy do grupy 2, 5,…, i ten fakt powoduje, że żadna liczba S nie będzie podzielna przez 2021.
pod koniec 2016 r.