Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

31.07.2014
czwartek

Połowa nigdy

31 lipca 2014, czwartek,

Z dziesięciu różnych cyfr można utworzyć 10-cyfrowy ciąg na 10! sposobów, zaczynając od elementarnego, w którym cyfry stoją według wzrostu:

0_1_2_3_4_5_6_7_8_9

Ten elementarny ciąg ma własność, którą nazwiemy trywialną:
między dowolnymi dwiema cyframi znajduje się cyfra równa połowie ich sumy (niekoniecznie bezpośrednio między i oczywiście przy założeniu, że suma jest parzysta).

Zadanie polega na znalezieniu wśród pozostałych 10!–1 ciągów z dziesięciu różnych cyfr takiego, który zaczyna się zerem, kończy dziewiątką oraz ma własność nietrywialną:
cyfra równa połowie sumy dwu dowolnych cyfr nigdy nie znajduje się między tymi cyframi.

0_?_?_?_?_?_?_?_?_9

Takich nietrywialnych ciągów jest więcej niż jeden, ale nie więcej niż kilka. Ile?

Kom

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 14

Dodaj komentarz »
  1. 0842637519
    0842673519
    0846237519
    0846273519
    0846723519

  2. Primo:
    Skoro ciąg ma się zaczynać zerem oraz kończyć dziewiątką, to pozostaje nam tylko 8!-1 pozostałych ciągów.

    Secundo:
    Zawsze zastanawiało mnie, czy cyfry można sumować (ogólnie: poddawać operacjom arytmetycznym). Przecież są to tylko (a może aż) znaczki, służące do zapisu pewnych pojęć matematycznych, a wszelkie operacje wykonujemy na liczbach.
    Oczywiście używamy tu skrótu myślowego i mówiąc „suma cyfr” mamy na myśli „sumę liczb, które zapisujemy przy pomocy pojedynczych cyfr”, jednak takie podejście jest wpajane w ludzi od początku edukacji szkolnej (często spotykamy się z określeniem np. „sumy cyfr liczby”) i prowadzi do mylenia pojęć „cyfry” i „liczby” przez większość ludzi.

  3. Oto poszukiwane ciągi:

    0_8_4_2_6_3_7_5_1_9
    0_8_4_2_6_7_3_5_1_9
    0_8_4_6_2_3_7_5_1_9
    0_8_4_6_2_7_3_5_1_9
    0_8_4_6_7_2_3_5_1_9

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Niech a->b oznacza, że cyfra b występuje na prawo od cyfry a.

    Zauważmy, że:
    1=(0+2)/2, stąd 2->1
    2=(0+4)/2, stąd 4->2
    3=(0+6)/2, stąd 6->3
    4=(0+8)/2, stąd 8->4

    Analogicznie sprawdzamy, że:
    8=(7+9)/2, stąd 8->7
    7=(5+9)/2, stąd 7->5
    6=(3+9)/2, stąd 6->3
    5=(1+9)/2, stąd 5->1

    Zapisując w skrócie te relacje, dostajemy:
    8->4->2->1
    8->7->5->1
    6->3

    W kratkach pomiędzy 0 a 9 nie może być żadnej cyfry na lewo od 8. 1,2,4,5,7 odpadają z powodu relacji wyżej. 6 nie może być, bo gdyby było, to mielibyśmy (6+2)/2=4, czyli czwórka leżałaby pomiędzy 2 a 6. Skoro nie może być 6, to nie może być też 3, bo 6->3. Analogicznie dowodzimy, że nie ma żadnej cyfry na prawo od 1.

    Czyli mamy teraz liczbę postaci:
    08_ _ _ _ _ _ 19

    Bez wnikania w szczegóły, w taki sam sposób pokazujemy, że przy ósemce musi stać 4, a przy jedynce 5:

    084_ _ _ _519

    Musi być 2->3, 6->7 i 6->3, czyli 3 musi być na 3 lub czwartym miejscu (bo ma wystąpić po co najmniej dwóch cyfrach), a 6 na pierwszym lub drugim miejscu (bo ma wystąpić przed co najmniej dwoma cyframi). Stąd już łatwo dostajemy wszystkie dobre liczby:

    0846237519
    0846273519
    0846723519
    0842673519
    0842637519

  6. Zamiast „suma cyfr liczby” należałoby pisać: „suma liczb, stanowiących cyfry liczby”. Moim zdaniem taka hiperpoprawność byłaby zbyt uciążliwa

  7. Najlepiej zastosować zasadę znaną z wycieczek: parzyste na lewo, nieparzyste na prawo, to wtedy problem sprowadzi się do ustawienia w obrębie każdej grupy, ze względu na nieparzystość każdej sumy międzygrupowej. Weźmy parzyste: na pozycji 5. nie może być ani 8, ani 4, więc zostaje 2 lub 6. I z zagadnienia 10!, czy 8!, robi się 3!, wprawdzie 2 razy, ale to już niewielki ból. A nawet jest jeszcze prościej, bo np. 2 ani 4 nie może stać koło 0. 2 rozwiązania się ujawniają: 08462 i 08426. Dla nieparzystych będą lustrzane dopełnienia do 9: 73519 i 37519. Grupy są niezależne, tak więc mamy 2×2 = 4 możliwości. Pozostaje sprawdzić, czy można odstąpić od warunku separacji parzystych i nieparzystych, oczywiście jakkolwiek by sytuacja nie wyglądała, parzyste muszą zachować jedną z dwóch znalezionych kolejności i nieparzyste też. Najprościej zamienić liczbę piątą z szóstą, i jak to się uda, to zamieniać dalej. Jedynym układem okazuje się 2-7: 0846273519, przechodzi w 0846723519. Ani 6 z 7, ani 6 z 3, ani oczywiście 2 z 3 zamienić nie można. Z kolei próbując iść dalej po zamianie 2 i 7 stwierdzamy, że znów mielibyśmy 6 z 7 lub 2 z 3, a więc wyczerpaliśmy możliwości. Mamy zatem 5 rozwiązań. Fajne zadanie dla piechurów 🙂

  8. Ale w zadaniu nie ma mowy o liczbie, tylko ciągu. Ciąg składa się z liczb. Zapis każdej liczby – z cyfr.

  9. 0842637519
    0842673519

  10. 5 ciągów. 4 “oszukane”, bo rozdzielające parzyste i nieparzyste i 1 porządny.
    0846723519
    0842673519 x4 (zamiana 2 z 6 i/lub 7 z 3)

    Skądinąd nigdy nie rozumiałem konieczności uczenia (i wymagania) rozróżniania między cyfrą a liczbą; podstawowe powiedzenie ze studiów: „Można, ale po co?”

  11. Znalazłem pięć takich ciągów
    0 8 4 2 6 3 7 5 1 9
    0 8 4 2 6 7 3 5 1 9
    0 8 4 6 2 3 7 5 1 9
    0 8 4 6 2 7 3 5 1 9
    0 8 4 6 7 2 3 5 1 9

  12. Jest 5 ciągów:
    0846237519
    0846273519
    0842637519
    0842673519
    0846723519

  13. Ja chciałem zobaczyć, jak to jest w innych językach z tą „sumą cyfr”, no więc mają ten sam problem, np. po angielsku: „the digit sum of a given integer is a sum of all its digits”. Suma cyfr jest sumą cyfr. Podobnie jak zrozumiałem jest np. po szwedzku i po holendersku. Ale mamy jeden naród słynący ze szczególnej pedantyczności, i proszę: Als Quersumme (oder Ziffernsumme) bezeichnet man üblicherweise die Summe der Ziffernwerte einer natürlichen Zahl. Nie „suma cyfr”, tylko suma „Ziffernwerte”, czyli „wartości cyfr”. A Quersumme to tyle co suma „w poprzek”. Wszystko z pożyteczniej Wikipedii.

  14. Żeby zrozumieć różnicę między cyfrą a liczbą wystarczy sobie wyobrazić, że nie ma słowa „cyfra”. Jak wtedy wyrazilibyśmy frazę „21-cyfrowy numer bankowy” albo cechę podzielności przez 3? (jest rzeczą samą w sobie ciekawą, że w języku polskim numer to niekoniecznie liczba).
    Z drugiej strony język jest giętki i ekonomiczny, a słowniki niekoniecznie odzwierciedlają pełnię jego złożoności. W definicji cechy podzielności przez 3 cyfra ma wartość, jest więc liczbą i jest to całkowicie prawidłowe użycie, nieodnotowane ani przez SJP, ani przez Wiki.
    Z punktu widzenia językowego, cyfra zawsze należy do jakiejś liczby (numeru, etc.) nigdy nie jest bytem samodzielnym, chyba że jako znak pisarski.

    Ciekawie jest w innych językach. Np. cyfry rzymskie. Albo j. hebrajski, w którym nie ma osobnych cyfr, liczby zapisywało się za pomocą liter, co do dziś stanowi pożywkę dla numerologii („a imię jego czterdzieści i cztery”).

  15. Cyfra kiedyś miała jeszcze szersze znaczenie, co pokazuje fragment „Zemsty”:
    PEREŁKA
    Jakaż cyfra, jaśnie panie,
    Na pośrodku stołu stanie?
    CZEŚNIK
    M. H. – M. H. – Maciej, Hanna.
    W górze serca, w dole Vivat,

css.php