Klamry
Wpadło mi w ręce ciekawe zadanie, choć rozrywkowe nieco inaczej niż zwykle w Łamiblogu. Bardziej matematyczne. Ciekaw jestem, czy i jak sobie z nim Państwo poradzą. Formalnie jest krótkie i proste.
Znajdź największą – ale mniejszą niż 10 – liczbę niecałkowitą dodatnią x spełniającą równanie:
{x} + {1/x} = 1
Nawias klamrowy oznacza, że uwzględnia się tylko część ułamkową liczby w nawiasie, czyli np. dla x=2,4
{2,4} = 0,4, a zatem w dodawaniu: {2,4} + {1/2,4} = 49/60
Komentarze
Załóżmy optymistycznie, że znajdziemy rozwiązanie x>9. Wtedy {x} = x-9, {1/x} = 1/x, czyli x jest pierwiastkiem równania x-9+1/x = 1, skąd x = (10+sqrt(96))/2 = 9.898979… (ten drugi pierwiastek jest mniejszy niż 9). Zadanie wydaje mi się bardzo łatwe, na poziomie wczesnego gimnazjum – chyba że jakiegoś drugiego dna nie dostrzegam.
Jeśli założyć na chwilę, że istnieje liczba pomiędzy 9 a 10, która spełnia to równanie, to możemy zapisać je już bez klamry: x – 9 + 1/x = 1, czyli x^2 -10*x + 1 = 0, czyli x = 5 + 2*sqrt(6). Rzeczywiście, 5 + 2*sqrt(6) spełnia oryginalne równanie.
Jako ciekawostkę podaję wykres funkcji {x} + {1/x} – 1, chyba przede wszystkim po to, żeby zareklamować rewelacyjny nowy serwis desmos.com:
https://www.desmos.com/calculator/b0hhdmce3k
5+2sqrt(6). A jak, to tak zwyczajnie analitycznie, zakładam, że x>1, wtedy {x}=x-k, gdzie k jest całkowite i 1<k<10, a {1/x}=1/x. Czyli mamy x-k+1/x=1. Jak policzymy x(k), to podstawiamy k=9 i już 🙂
Szukaną liczbą x jest 5+2*6^(1/2)
Wystarczy rozpatrzeć równanie x+1/x = n i znaleźć największy możliwy x przy dodatkowym warunku, że ma on być mniejszy niż 10, zaś n jest liczbą naturalną.
Znalazłem 8 liczb mniejszych od 10 i spełniających (w przybliżeniu) równanie:
2,618034
3,7320508
4,7912878
5,8284271
6,854102
7,8729833
8,8874822
9,8989795
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D+5%2B2*sqrt%286%29%2C++SawtoothWave%28x%29+%2B+1%2Fx
Skoro x ma być największy z możliwych, to załóżmy że 10>x>9.
Wtedy {x}=x-9, a {1/x}=1/x.
Dostajemy łatwe do rozwiązania równanie: x-9+1/x=1.
Rozwiązaniem jest x=5+2*sqrt(6)
Dla danej liczby całkowitej n>1 szukamy rozwiązań leżących w przedziale otwartym (n, n+1).
Wtedy {x} = x – n oraz {1/x} = 1/x. Zatem równanie przyjmuje postać:
x – n + 1/x = 1
x – (n+1) + 1/x = 0
mnożymy obie strony przez x i otrzymujemy równanie kwadratowe:
x^2 – (n+1)x + 1 = 0
delta = (n+1)^2 – 4
Zauważamy, że sqrt(delta) jest nieco mniejsze niż n+1 oraz większe niż n (co przyda nam się za chwilę)
x1 = (n+1-sqrt(delta)) / 2
zatem uwzględniając, że n < sqrt(delta) < n+1 mamy 0 < x1 < 1/2 – co nie prowadzi nas do rozwiązania, bo zakładaliśmy, że n < x < n+1
x2 = (n+1+sqrt(delta)) / 2 – w tym przypadku x2 jest nieco mniejsze niż n+1, zatem jest to dobre rozwiązanie.
Zatem ostatecznie:
Jedynym rozwiązaniem równania w przedziale (n, n+1) jest liczba:
x = (n+1+sqrt((n-1)*(n+3))) / 2
Dla n=9 otrzymujemy x = 5 + sqrt(24) = 5 + 2 * sqrt(6) – co jest największym rozwiązanie równania mniejszym od 10.
PS. Do rozwiązania powyższego zadania wystarczy elementarna wiedza z zakresu rozwiązywania równań kwadratowych oraz odrobina umiejętności logicznego myślenia. Według mnie każdy maturzysta powinien potrafić rozwiązać to zadanie, lecz niestety po zmianach w programach nauczania matematyki i próbie wyuczenia w uczniach schematów metod rozwiązywania zadań większość z nich nie potrafiłaby się za zadanie nawet zabrać, no bo na początek trzeba coś zauważyć/założyć, a takie założenie nie jest niczym standardowym.
PPS. Jestem ciekaw jak z zadaniem poradzą sobie inni czytelnicy…
x=5+2sqrt(6)
x=9+b/c (b/c to ułamek właściwy)
1/x=c/(9c+b)=1/(9+b/c)
b/c=2sqrt(6)-4
x=9+2sqrt(6)-4=5+2sqrt(6)
Myślę, że wynik podałam dobry, ale złe założenie, ,ze b/c to ułamek właściwy, bo sqrt(6) , to nie ułamek właściwy, a liczba niewymierna.
Poprawnie będzie tak
x=9+a, gdzie a=część ułamkowa
1/x=1/(9+a)
{9+a}+{1/(9+a)}=1
a+1/(9+a)}=1
a^2+8a-8=0
a dodatnie=2sqrt(6)-4
x=5+sqrt(6)
Witam!
Łatwo dowieść, że rozwiązanie nie może być liczbą wymierną, a ogólny jej wzór to
x=(k+sqrt(k^2-4))/2, gdzie k naturalne i k>2,
zaś jej częścią całkowitą będzie zawsze k-1.
Jeżeli chcemy znaleźć, spośród wszystkich, największą <10, wystarczy za k podstawić 10 i wtedy
x=5+2sqrt(6).
Gdyby interesowała nas największa, ale nie większa od np. 97, trzeba przyjąć k=97.
Pozdrawiam
Anka
Ja sobie poradziłem tak, że najpierw sprawdziłem z pomocą excela, gdzie w ogóle należy szukać rozwiązania, czy na przykład znajdzie się coś między 9 a 10, no więc okazało się, że tak, ok. 9,9. Potem należy zauważyć, że część ułamkowa liczby 1/x z tego przedziału to będzie po prostu ta liczba, jak w ogóle dla każdego x > 1. Najprościej dokonać podstawienia, czyli oznaczyć część ułamkową x przez y i wtedy mamy równanie y+(1/(9+y)) = 1, co się sprowadzi do zwykłego równania kwadratowego, którego jeden z pierwiastków faktycznie jest w przedziale (0,1), czego oczekujemy od y-ka, no i wynosi on 2*sqrt(6) – 4, czyli 0,898979…, a liczba x jest o 9 większa.
x = 5 + 2 * sqrt(6).
W przybliżeniu: x = 9,8989794855663561963945681494118
Szkic rozwiązania: Założyłem, że x > 9, czyli x = 9 + y. Powstaje równanie: y + 1/(9+y) = 1, po przekształceniach kwadratowe.
To będzie 9+2(sqrt(6)-2) czyli około 9.8989794855663561963945681494118
Zadanie jest stosunkowo proste jeśli się pozbyć klamry.
Szukamy rozwiązania w przedziale [9,10] więc nasze równanie zmienia postać w następujące. x+1/(9+x)=1 które jest już łatwiejsze do rozwiązania.
po przekształceniu (x+4)^2=24 w liczbach dodatnich zostaje 2(sqrt(6)-2).
sqrt – pierwiastek kwadratowy.
Piotr
Równanie ma nieskończenie wiele pierwiastków. W przedziale (0,1) jest ich nieskończenie wiele a w każdym z przedziałów (1,2), (2,3), i.t.d. siedzi dokładnie jeden pierwiastek. Nas interesuje x<10 więc będzie on w przedziale (9,10). Dla k<x<k+1 x wyliczamy z równania: x+1/x-k=1 co daje x=(k+1+sqrt((k-1)*(k+3)))/2. U nas k=9, więc x=5+2*sqrt(6)=9,898979…….
Proponuję następujące rozszerzenie naszego zadania: Udowodnij, że żaden pierwiastek równania {x} + {1/x} = 1 nie jest liczbą wymierną.
Dla tych, którzy jeszcze nie znają
WolframAlpha – wspaniała pomoc:
http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eodqt2281so
P.
Czy to może być takie proste –> 5+2 sqrt(6)?
Skądinąd funkcja {x} + {1/x} wygląda „śmiesznie” wokół 1.
Musi (być proste) 🙂
mp
Założenia:
x – liczba dodatnia niecałkowita
x = a/b ułamek nieprzywiedlny ; a,b liczby naturalne, zakładamy a>b
więc mamy a=k*b+r r – reszta z dzielenia a/b , r – liczba naturalna ;k – liczba naturalna
_________________________________________________________________
Dowód nie wprost:
równanie {x}+{1/x}=1
{(k*b+r)/b}}+{b/a}=1
{k+r/b}+{b/a}=1
r/b+b/a=1/*a*b mnożymy stronami przez a*b
r*a+b*b =a*b
r*a=a*b-b*b dzielimy stronami przez a
r=b*(a-b)/a prawa strona jest ułamkiem nieprzywiedlnym więc r musi być ułamkiem, a to przeczy założeniom.
Równanie nie ma rozwiązań dla x wymiernych.
Rozwiązanie:
Dzielimy dziedzinę na przedziały co 1.
0 <x< 1 wyjaśnimy później
1 <x< 2; równanie jest x-1+1/x=1 po przekształceniach mamy x^2-2*x+1=0
delta= 4-4=0; x=1 brak rozwiązań z warunków zadania
———————————————————————————————————
2 <x< 3 ; równanie x-2+1/x=1; x^2-3*x+1; delta=9-4=5 x=(3+sqrt5)/2=2,6180339
x2=(-b-sqrt(delta))/2*a nie jest brany pod uwagę, bo nie spełnia warunku dziedziny tutaj
(2 <x< 3) zaś 0<x2<1 dotyczy to wszystkich pozostałych przedziałów.
———————————————————————————————————
3 <x< 4; x-3-1/x=1; x^2-4*x+1=0; x=2+sqrt3=3,7320508
———————————————————————————————————
4 <x< 5; x^2-5*x+1=0; x=(5+sqrt21)/2=4,7912878
———————————————————————————————————
5 <x< 6; x^2-6*x+1=0; x=(6+sqrt32)/2=5,828427
———————————————————————————————————
6 <x< 7; x^2-7*x+1=0; x=(7+sqrt45)/2=6,8541015
———————————————————————————————————
7 <x< 8; x^2 -8*x+1=0; x=(8+sqrt60)/2=7,872983
———————————————————————————————————
8 <x< 9; x^2-9*x+1=0; x=(9+sqrt77)/2=8,887482
———————————————————————————————————
9 <x< 10; x^2-10*x+1=0; x=9,898979
Rozwiązaniem jest: x=(10+sqrt96)/2.
Każde rozwiązanie dla x>1 ma swój odpowiednik 1/x z przedziału 0<x<1.Równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
@Spytko
Rozwiązania równania {x} + {1/x} mieszczą się w zbiorze rozwiązań równania x + 1/x= n, gdzie n jest liczbą naturalną.
Rozwiązaniem równania x + 1/x = n są pierwiastki x1 = 1/2*(n – (n^2-4)^0,5) oraz x2 = 1/2*(n + (n^2-4)^0,5. Aby były to liczby wymierne n^2 – 4 musi być kwadratem liczby naturalnej lub 0. Jedynym n spełniającym ten warunek jest n=0, ale wówczas x = 1, czyli {x} + {1/x} = 0.
@Spytko z Melsztyna
Wszystko wskazuje na to, że, pomijając rozwiązania z przedziału od 0 do 1, w każdym przedziale jednostkowym typu (9,10), (10, 11), (11,12), etc, jest jedno rozwiązanie. Które sprowadzi się do rozwiązania równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, a rozwiązaniem takiego może być tylko p+qx, gdzie x jest pierwiastkiem z liczby naturalnej, a p i q co najmniej wymierne, jeśli nie całkowite. W zadaniu wyszedł mi pierwiastek z sześciu, liczba niewymierna, ale jaka jest gwarancja, że pierwiastek zawsze wychodzić będzie z liczby niebędącej kwadratem liczby naturalnej. Jak potrafisz to udowodnić, to szacun.
Już wiem: wyszło mi (zadanie Spytka), że (q-p)/q musiałoby być równe q/(q*n+p), gdzie p, q, n są naturalne, q>p i co najważniejsze q, p względnie pierwsze. Czyli w praktyce q większe od p o 1 i q*n+p równe q^2, a to nie może być.