Obejście
Rolnika obchodzi jego pole, więc on także postanowił je obejść – dookoła, idąc jego skrajem. Pole ma kształt ośmiokąta, którego wszystkie kąty są proste. Rolnik zaczął obejście od najkrótszego boku o długości x metrów, potem skręcił i ruszył wzdłuż drugiego boku. Po przejściu odległości równej 2x metrów dotarł do trzeciego boku, skręcił itd. Każdy kolejny bok był o x metrów dłuższy od poprzedniego, a ostatni łączył się z najkrótszym. Obejście całego pola zajęło rolnikowi 2 godziny.
Jaka jest powierzchnia pola, jeśli wyraża się ona liczbą palindromową, czyli taką, która nie zmienia się po zapisaniu jej wspak?
Komentarze
x = 0,25
Powierzchnia pola = 676 = 52x^2
Przyjemne zadanie do rozwiązania w głowie, ale nie jestem pewien czy o to chodziło…
Pozdrawiam.
Przepraszam za błąd, x = 13.
Tzn. pierwiastek z 13…. chyba się jeszcze nie obudziłem…
Czy pole ma spójny kształt? tzn czy nie składa się z dwóch lub więcej części, które stykają się tylko narożnikiem?
Jest spójne
mp
Konkretne to pole, powierzchnia nieco większa od niejednego małego miasteczka, np Młynar w Warmińsko-Mazurskiem 🙂
Powierzchnia jest równa 2774772 m^2.
Rolnik przebył drogę długości 231*36=8316 m.
Jest to możliwe do przejścia w ciągu 2 godzin.
@gpsE doszedł do liczby 52 „w głowie”, respekt. Ja musiałem wziąć kartkę w kratkę i długopis… Oczywiście „same kąty proste” to nie znaczy, że wszystkie po 90 stopni, dwa muszą mieć po 270 🙂 Żeby wszystko się zgadzało, skręcałem kolejno w lewo, w lewo… skrótowo pisząc LLLPLLL, to już pierwszy palindrom 🙂 można by oczywiście zamienić literki miejscami, w każdym razie w wyniku dostałem kształt mniej więcej zwierzęcia z głową, ale bez nóg, może siedzącego. I pole to, jeśli pierwszy bok jest x, wynosi właśnie 52x^2. Sprawdzając kolejne x, otrzymujemy dla x = 231 powierzchnię 2774772, czyli 2,77 km^2. Obwód wychodzi 8,316 km, akurat do przejścia w 2 godziny niezbyt szybkim krokiem 🙂
Świetny blog. Od dzisiaj będę uczestniczył w łamigłówkach. Nad tą już pracuję, ale ciężko 🙂
Czy odpowiedź gpsE jest błędna ponieważ x nie należy do naturalnych czy z jeszcze innego?
Chodzi tylko o liczby naturalne (całkowite dodatnie).
mp
Powierzchnia pola wynosi 52 x-ów kwadratowych (52*x^2)
gdy za x podstawimy 231 to otrzymamy 52 * 53361 = 2774772
Przy szukaniu x pomógł mi komputer.
Komentarz gpsE z 8:09 puszczony chyba nieco pochopnie, bo 52x^2 to zawsze jakaś tam podpowiedź. Jest to co prawda łatwiejsza część zadania, bo kształt odtwarzamy z warunku, że suma wektorów NS i suma wektorów EW są zerowe. Teraz przydał się arkusz kalkulacyjny, plus obserwacja, że nasze pole musi się zaczynać od 2 lub 8.
x=231, a pole 2774772. Rolnik szedł z prędkością 4.158km/h.
To prawda, że „nieco pochopnie”, ale doszedłem do wniosku, że to łatwiejsza część zadania. A poza tym puszczenie tego sugeruje, że to błąd, więc i tak osoby zainteresowane rozwiążą samodzielnie 🙂 .
mp
wydaje się, że 4484844 albo na przykład 4897984 spełniają warunki zadania
Dlaczego 676*x^2 jest źle? W sumie każde rozwiązanie jest poprawne jeśli X jest dowolny. Skracając wywód: jednostką pola nie jest x^2? Bo przecież co rolnik to inny chód:-)
Cóż by to było za zadanie, gdyby każde rozwiązanie było poprawne. A stąd wniosek, że chodzi o liczby całkowite (naprawdę powinienem taką informację podać przy zadaniu?).
Na drogowskazach na szlakach turystycznych podawany jest orientacyjny czas przejścia danej trasy. Czy można mieć pretensję o to, że nie jest na drogowskazie podane, z jaką prędkością powinien iść turysta?
mp
A więc 4004m kw.?
Zawsze można wymyślić jednostkę, w której pole będzie np. 11, albo 121, i już jest liczba palindromowa. W tym wypadku x podano w metrach, a więc dla mnie było oczywistą oczywistością, że pole ma być liczbą, podaną w m^2. Może można było „w m^2” wtrącić do ostatniego zdania tekstu zadania 🙂
2774772 m^2
mam nadzieję, że w metrach kwadratowych będzie dobrze.
Piechur chodzi z prędkością 4,158 km/h, do zaakceptowania, ale czy w górach? Szczawnica to raczej stroma okolica 🙂 i prędkości znacznie mniejsze, w sierpniu będę w okolicach 🙂 to sprawdzę!
p.s. piszę o górach bo jedynie te szlaki kojarzą mi się z czasami przejść, o których pan, panie Marku wspomniał, a Szczawnica…? No cóż… fajna okolica 😉
2774772 m2.
Pole jednostk obszaru to 52. Długość x to 111*sqrt7. Predkosc mniej niz 6km/h. Gdzie błąd?
Wyjaśnienie błędu w komentarzach do uwolnionych komentarzy (liczby naturalne)
mp
Hmm, źle? Powierzchnia Młynar 2,76km2 Powierzchnia pola 2774772m2 czyli ciut więcej.
x=231
pole=2774772
Jeżeli rolnik podczas obchodu nie korzystał ze wspomagaczy (w rodzaju butów siedmiomilowych), to najprawdopodobniej pole ma powierzchnię
52 * (231m)^2 = 2774772 m^2.
W przeciwnym przypadku mogło to być także:
52 * (2121m)^2 = 233929332 m^2
52 * (3927m)^2 = 801909108 m^2
52 * (23861m)^2 = 29606060692 m^2
52 * (75614m)^2 = 297308803792 m^2
czy nawet
52 * (203434m)^2 = 2152040402512 m^2.
Dla kolejnej wartości problemem robi się brak wystarczającego areału (w warunkach ziemskich):
52 * (393237652m)^2 = 8041064249424601408 m^2
(zresztą już poprzednie nie uwzględniały jej krzywizny),
a w dystansie czai się jeszcze bariera prędkości światła…
Do czego służy informacja, że przejście pola zajęło 2 godziny, jeżeli nie znamy prędkości? Czy mamy pole wyrazić w godzinach kwadratowych? Czy w „iksach” kwadratowych?
Do ograniczenia zakresu x; żeby rolnik nie musiał zasuwać jak mały parowozik 🙂
mp
52 x^2
tylko ile wynosi x?
2774772
Przykładowe rozwiązania, jeżeli dobrze zajarzyłem, o co chodzi:
2774772 , x= 231
233929332, x= 2121
801909108, x= 3927
29606060692, x= 23861
297308803792, x= 75614
2152040402512, x= 203434
No dobrze, doliczyłem prędkość rolnika
2774772 , x= 231, 1m/s
233929332 , x= 2121, 10m/s
801909108 , x= 3927, 19m/s
29606060692 , x= 23861, 119m/s
297308803792 , x= 75614, 378m/s
2152040402512 , x= 203434, 1017m/s
Ponieważ rolnik nie jest szybkonogim kosmitą, pole jego pola = 2774772 metrów kwadratowych.
Jedno z ciekawszych zadań, jakie ostatnio widziałem!
Ten rolnik jest poważnym farmerem, posiada bowiem obszar 2774772 m.kw. Obchodząc swoje pole rozwinął średnią prędkość 4,158 km/godz.
Ciekawe swoją drogą, czy gdyby porzucić założenie o dwugodzinnym obejściu, rozwiązań byłoby jedno, czy kilka, czy liczba skończona, czy nieskończona. Ciekawe, czy to w ogóle dałoby się udowodnić (że tak, albo tak).
Jeszcze jedno rozwiązanie palindromiczne:
8041064249424601408, x = 393237652, v = 1.96619e+06 m/s
Nie ma innych rozwiązań dla x <= 100000000000
Jeżeli porzucimy założenie że obchodził pole przez 2 godziny pieszo to za x możemy również podstawić 2121 wtedy pole = 233929332, albo 3927 i pole = 801909108. Mógł on jechać jakimś „rowerkiem” żeby było szybciej 😉
Pole wynosi 52 x^2. Najmniejsza naturalna liczba x, taka, że pole to jest liczbą palindromową wynosi 231. Ostatecznie pole ma 2.774.772 m^2, czyli jakieś 277,4772 ha. Ładne pole.
No rolnik kondycje musial miec, a obejscie w miare wygodna droge. 2774772, x=231m , v=4.15 km/h, wsparte komputerem, x ograniczone do 300. Przy kolejnym przydalby sie niezly ciagnik, ale jeszcze zgodnie z przepisami o ruchu drogowym 😉
Pole ma obwód OB = 36x oraz pole powierzchni P = 52x^2 m^2, szukamy takiego x naturalnego, aby P było palindromem.
Pierwsza znaleziona wartość: x=231, wtedy P=2774772 oraz OB = 8316 m = 8,316 km
Kolejna znaleziona wartość: x=2121, wtedy P = 233929332 oraz OB = 76356 m = 76,356 km.
Skoro rolnik obchodzi pole w ciągu 2 godzin, to sensowne wydaje się tylko pierwsze rozwiązanie. No chyba, że to jest nowoczesny rolnik i obchodzi swoje pole skuterkiem, wtedy prędkość obchodzenia wynosi ok. 38 km/h. Ewentualnie może jeszcze obchodzić pole jadąc samochodem (z prędkością ok. 71 km/h), wtedy pasująca będzie również kolejna wartość, dla x=3927 (P=801909108).
Obejść jadąc brzmi dziwnie, ale znałem lekarza,który złamał nogę i robił szpitalny obchód jadąc na wózku.
mp
Jest tylko jeden możliwy kształt pola (z dokładnością do obrotów i symetrii).
powierzchnia = 52*x^2
obwód = 36*x
Ale za nic nie mogę znaleźć palindromu mimo, że rolnik idzie już z prędkością ok. 70 km/h.
Chyba jedzie quadem 😉 ?
x=115,5 m
powierzchnia=2774772 m^2 🙂
po prostu rolnik chodził po miedzach
jest jeszcze jedna możliwość kiedy rolnik biegnie ok. 18km/h, wtedy
x=1060,5 m
pole= 233929332 m^2
„parowozik” 🙂 teraz dopiero zauważyłem 😀
Myślę, że rozwiązań (bez warunku o czasie trwania obejścia) jest nieskończenie wiele.
Kolejne dwa pola to: 233929332 m^2 i 801909108 m^2. Długość obwodu odpowiednio
2121*36=76356 m oraz 3927*36=141372 m.
powierzchnia pola = 2774772
@Kobert, a następnie @cpp, nie spekulowali jak ja, tylko podali inne rozwiązania. Respekt. No ale ciekawe, czy byłoby ich nieskończenie wiele.