Bez 9
Ciąg z poprzedniego wpisu był polskim odpowiednikiem klasycznego zadania testowego dla ubiegających się o posadkę w Google’u. W oryginale ciąg wygląda tak:
10, 9, 60, 90, 70, 66, ?, …
Każdy n-ty wyraz (n=1, 2, 3,…) jest największą liczbą, która zapisana jako angielski liczebnik główny (numeral) składa się z n+2 liter. Stąd rozwiązanie – 96. W polskiej wersji (2, 3, 1, 4, 103, 9, 12, 11, 14, 17, ?, …) jest na odwrót – liczby są najmniejsze możliwe, a zatem jedenasta jest najmniejszą, której odpowiada liczebnik złożony trzynastu liter, czyli równa jest 60. Dla nie znających Google’owych testów zadanie było zapewne mocno zakręcone.
Tym razem, dla odmiany, coś „normalnego”, związanego z ciągami arytmetycznymi. Najprostszy z nich znają przedszkolaki, bo taki ciąg tworzą kolejne liczby naturalne – pierwszy wyraz i różnica równe są 1.
Mimo prostej budowy ciągi arytmetyczne bywają zagadkowe. Wiadomo, że w wyrazach ciągu rosnącego złożonego z liczb naturalnych musi pojawić się każda cyfra. Dowód jest dość prosty. Nieco trudniej dowieść, że prawie każda cyfra (oprócz zera) musi pojawić się najdalej w 73 wyrazie. Zero jest wyjątkiem – może nie wystąpić do 80 wyrazu.
Proszę znaleźć ciąg arytmetyczny rosnący złożony z liczb naturalnych większych od zera, zaczynający się od najmniejszej liczby i z najmniejszą możliwą różnicą, którego 72 początkowe wyrazy nie zawierają dziewiątki. Wystarczy oczywiście podać wartości pierwszego wyrazu i różnicy.
Komentarze
Panie Penszko! Zazdroszcze Panu tego, ze ma Pan tylko problemy typu „jak znaleźć ciąg arytmetyczny rosnący złożony z liczb naturalnych większych od zera, zaczynający się od najmniejszej liczby i z najmniejszą możliwą różnicą, którego 72 początkowe wyrazy nie zawierają dziewiątki”.
Pozdr. 🙂
Jaki blog, takie problemy. Na innym blogu nie byłoby czego zazdrościć 🙂
mp
Podejrzewam, że Pan Redaktor nie ma tylko takich problemów, jak to w życiu, a te przedstawiane są dobre, bo pozwalają się oderwać od innych, tych prawdziwych. Znów się coś we mnie buntuje, dlaczego niby miałoby być aż takie znaczenie liczby 73, czy 72, no ale może coś wymyślę. Najlepiej przed zaśnięciem.
Ja jednak wolę problemy typu: Jak znaleźć ciąg arytmetyczny……, niż: jak znaleźć odpowiedni typ syfonu pod zlewozmywak a potem go zakładać, chociaż też potrafię to zrobić 🙂
Hmmm, a czy istnieją liczby naturalne nie większe od zera? Ja nie znam 😛
Wartość różnicy niewątpliwie musi być większa lub równa 12..
Zero (choć to kwestia umowy)
mp
Tym razem nie przed samym zaśnięciem, a w kąpieli: pierwszy wyraz 1, różnica 125. Wyrazem nr 73 jest 9001. A doszedłem do tego, analizując po drodze różnice 2 i 12. 12 nie mieści się w 100 bez reszty, niestety, nawet więc gdy wymyślimy …,88,100,…, wpadniemy zaraz w 196. Ale co się odwlecze… 125 mieści się bez reszty w 1000, eureka.
1 i 125
Pierwszy wyraz = 125 i roznica = 125
Półdobrze 🙂
mp
Wydaje się, że ciąg z najmniejszą możliwą liczbą początkową oraz najmniejszą możliwą różnicą to ciąg zaczynający się od 1 który ma różnicę między elementami równą 125
Jest jeszcze ciąg nieskończony o liczbie początkowej 1 oraz różnicy równej 1. Tyle, że w systemie oktalnym 😀
@stud
W systemie oktalnym nie ma liczby 9, ale jest liczba 72. 😉 Może tam jest więc rozwiązanie obecnej zagadki?
Szalom! 🙂
Gwoli ścisłości: liczby istnieją niezależnie od systemu liczbowego, co oznacza, że liczbę 9 również możemy zapisać w systemie oktalnym: 11 (policzone w głowie, to nic trudnego, ale gdyby ktoś chciał się pobawić i upewnić: http://www.liczby.pl/kalkulatory/konwersja-miedzy-systemami-liczbowymi )
Natomiast w systemie oktalnym nie występuje cyfra 9.
Cyfra to znak do zapisania liczby:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Cyfra
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba
Liczb istnieje nieskończenie wiele, cyfr w systemie dziesiątkowym jest dziesięć. Przykładowo w systemie dwunastkowym posiłkujemy się literami alfabetu, gdyż potrzebujemy dwunastu znaków do zapisywania liczb. Czy wtedy literę można nazwać cyfrą? To już chyba jest pytanie do filozofa.
Gdyby problemem było znalezienie ciągu bez cyfry 9, pomysł Studa byłby jedną z odpowiedzi, ale my szukamy ciągu bez dziewiątki, co oznacza, że NIE jest nim ciąg arytmetyczny liczb naturalnych z różnicą 1 nawet zapisany w systemie ósemkowym, siódemkowym czy dwójkowym etc.
Pozdrawiam 🙂
Wykluczony jest ciąg, gdzie 72 pozycja jest mniejsza od 89.
Ciągu nie uda się też ustalić tak, żeby ostatni wyraz był mniejszy od 889, bo wtedy jedyna możliwa różnica to 12, a dla takiej nie jesteśmy w stanie ustalić wartości początkowej, pozwalającej „ominąć” wszystkie „90-tki”.
To teraz należy sprawdzić, czy ta 72 pozycja będzie mniejsza od 8888.
Wtedy różnica będzie pomiędzy 112 a 125.
Uff, spociłem się.
Czyli ciepło, ciepło…
mp
Czy ktoś już ma rozwiązanie ???
Bo znów mam ochotę dowodzić, że nie ma takiego ciągu, ale jak ktoś ma to sobie daruję 🙂
No to jak ? Jest czy nie ma ?
Oczywiście jest!
mp
Spytko, spokojnie. Jest ciąg (w systemie dziesiętnym oczywiście).
Nie no, tutaj jak najbardziej potrzebne jest założenie, że funkcjonujemy w systemie dziesiątkowym. Bo w oktalnym, a także nonalnym, w którym 9 zapisujemy jako 10, cyfra 9 w ogóle nie występuje, tak więc problem staje się trywialny.
Tworzymy plik tekstowy, kopiujemy do niego poniższy kod, zmieniamy rozszerzenie pliku na VBS i klikamy 2 razy 🙂
for a1=1 to 1000
for r=1 to 1000
for n=0 to 71
if InStr(Cstr(a1+n*r), „9”) 0 then
exit for
end if
if n=71 then
msgbox „a1 = ” & a1 & „, r = ” & r
wscript.Quit
end if
next
next
next
Oj widzę, że wklejanie kodu to nie był dobry pomysł, bo wcięło niektóre znaki. Tak czy siak – to tylko żart, bo nie o takie „siłowe” rozwiązanie z pewnością chodziło 🙂
Proste do rozwiązania metodą brute force, ale jak jest jakaś bardziej elegancka metoda rozwiązania, chętnie przeczytam :).
f(n) = 1+ n*125
@GPSE
Zgoda, poprawnie to powinienien napisać, że w systemie oktalnym nie ma CYFRY 9, ale istnieje w niej liczba 72, tyle, ze odpowiada ona w systemie dziesiętnym liczbie 58. No cóż, wyraźnie zawinil tu Pan Gospodarz tego blogu, podając nam zagadkę, która nie miała poprawnego rozwiązania w systemie dziesiętnym…
Poza tym, to w matematyce istnieje wszystko, łącznie z nieskończonościa. Niestety (a może i ‚stety’) tylko w teorii! Jeśli można bowiem ‚wymyśleć’ zbiory składające się z nieskończonej ilości elementów czy też liczbę będącą pierwiastkiem kwadratowym z minus jeden, co znaczy, że w matematyce można wymyśleć wszystko. Pytanie tylko: po co? 😉 Mój wynalazek to np. liczba „k” będąca ilorazem jedności przez zero. Na razie to szukam dla niej praktycznego zastosowania.
Szalom!
Zagadka ma rozwiązanie w systemie dziesiętnym. Gospodarz blogu jest niewinny! 🙂
mp
Zgadzam się 🙂 w matematyce można wszystko, ale nie do końca 😉
Zdefiniować liczby zespolone możemy bez wprowadzania słynnej liczby i 🙂
Definiujemy liczbę zespoloną: jest to uporządkowana para liczb rzeczywistych: x = a + b oraz y = c + d
Definiujemy sumę: x + y = (a+c; b +d)
Definiujemy iloczyn: xy = (ac – bd; ad + bc).
Dla tak zdefiniowanych liczb sprawdzamy aksjomaty dodawania i mnożenia znane z teorii liczb. Okazuje się, że aksjomaty są spełnione.
W ten sposób zdefiniowaliśmy liczby zespolone bez wprowadzania tajemniczego, przeczącego zdrowemu rozsądkowi pierwiastka kwadratowego z -1. Ale to żaden problem! Definiujemy i = (0,1). Zgodnie z powyżej zapisaną definicją „i” podniesione do kwadratu = (0,1) * (0,1) = (ac-bd, ad + bc) = (-1,0), czyli -1 🙂
W ten sposób rozbroiliśmy magiczność liczby i 🙂
Liczba k = 1/0 nie spełnia aksjomatów ciała, gdyż x * 1/x = 1.
Gdyby istniała liczba k = 1/0 to 0 * 1/0 = 0 * k = 0, co przeczy powyższemu aksjomatowi. Ale jeżeli stworzysz np.: ciało tworów „W”, w których taka liczba będzie spełniała aksjomaty Twojej teorii oraz będzie to prowadziło do użytecznych wniosków i jeszcze lepiej do praktycznych zastosowań, to na pewno będzie wielki sukces. 🙂
Pozdrawiam.
Najmniejsza liczba 8875, różnica 125
Ciąg bez dziewiątki do 73 wyrazu nie jest zbyt skomplikowany:
0, 125, 250, …, 🙂
Niezbyt skomplikowany, ale pouczający.
Pozdrawiam Gospodarza i Wszystkich gości Blogu 🙂
Szybka poprawka: przepraszam za błąd. Odpowiedzią jest oczywiście ciąg 1, 126, 251…
a1=0, r=125
ehh – kłania mi się umiejętnośc czytania ze zrozumieniem
pierwszy wyraz = 1 i różnica = 125
@gpsE: kończyłeś matme? bo o aksjomatach ciała, czy w ogóle o grupach, ciałach.. 90% „przechodniów” zapewne niewiele wie 😉
Rozwiazanie to oczywiscie 1 i 125 ale widze, ze znalezione juz przez wielu.
Rewanzuje sie ciekawa zagadka: uzywajac liczb 1, 5, 6, 7 nalezy utworzyc wyrazenie, ktorego wartosc jest 21. Kazda liczba moze wystapic tylko raz, kolejnosc dowolna. Dozwolone sa tylko podstawowe operacje arytmetyczne +-*/ oraz nawiasy.
No dobra, ale jaki jest dowód na to, że nie ma rozwiązania z różnicą mniejszą niż 125?
Prosty :), ale niekrótki, więc… litości (a może ktoś zna krótki i zechce go podać).
mp
@Stud: podobnie jak Pan Marek, Gospodarz lamibloga, z wykształcenia jestem inżynierem, lecz moją prawdziwą pasją jest matematyka. Wiele pojęć matematycznych jest wręcz niepotrzebnych niematematykom, nawet jezeli używają matematyki w praktyce (np. niektórzy fizycy nie widzą potrzeby dowodzenia twierdzeń, gdyż interesuje ich tylko narzędzie i możliwy do otrzymania wynik).
Uznałem jednak że trzeba skomentować opinie o dowolności tworzenia matematycznych pojęć, gdyż to najzwyczajniej w świecie nieprawda 🙂
@gpsE
Moja liczba „k” jest tworem w 100% abstrakcyjnym i z definicji ma nie mieć żadnych praktycznych zastosowań ani też nie ma ona spełniać jakichkolwiek arbitralnie narzuconych warunków. Ona ma prostu być! Ona jest ponad matematyką, którą Ty znasz i w którą Ty wierzysz!
Szalom!
@kagan:
O! I to mi się podoba 🙂 teraz to ma sens.
Zawsze wydawało mi się, że matematyka istnieje niezależnie od naszego świata i umysłu. Tymczasem jakiś czas temu spotkałem się z opinią, że to nasz umysł jest matematyczny, nie zaś wszechświat. Zakładając, że istnieją gdzieś we wszechświecie inteligentne istoty, ich matematyka, albo raczej coś co my byśmy nazwali rodzajem matematyki, może być czymś, czego my ludzie nigdy sobie nie wyobrazimy. W takim wypadku Twój pomysł, liczba k, wręcz mi imponuje.
Pozdrawiam 🙂
Nie zgadzam się że liczba i czyli pierwiastek z -1 nie ma praktycznego znaczenia. Dzięki tej liczbie powstało wiele metrów bieżących wykopów ziemnych wykonanych przez Nicola Teslę, który zanim przekonał świat do prądu zmiennego został wyrzucony z pracy przez Edisona co zmusiło go do zarabiania na chleb w tenże praktyczny sposób. Edison był mniej od Tesli genialny co nadrabiał pracowitością. Jednak jego (Edisona) awersja do nadmiaru teorii zaskutkowała tym, że nie znał zbyt dobrze matematyki a w szczególności liczb zespolonych które były niezbędne do pełnego opisu prądu zmiennego. To tłumaczy również dlaczego tak się upierał przy prądzie stałym. Żeby nie tracić czasu na dyskusje z Teslą, które odrywały go od roboty i z których i tak nie wiele mógł zrozumieć, wpadł na genialny pomysł (zupełnie jakby czerpał z zasobów wiedzy „meneldżerskiej” naszych współczesnych guru ekonomii) wywalenia obiboka Tesli z roboty u siebie, kierując go w bardziej odpowiednie dla niego miejsce, czyli przy kopaniu wspomnianych wcześniej rowów. W ten oto sposób liczba i należąca do abstrakcyjnej teorii przyniosła owoce w realnym świecie praktyki 😉
@gpse
A więc doszliśmy do zgody. 🙂 Zgadzam się też, iż niektórzy z ludzi mają umysł „matematyczny”, a więc szukają oni w realnym (fizycznym) świecie potwierdzenia swych abstrakcyjnych idei, które tak naprawdę, istnieć mogą tylko w ich umysłach.
Raz jeszcze powtarzam więc, że moja liczba k=1/0 nie może być używana w żadnych działaniach arytmetycznych, że z definicji nie ma ona i mieć nie może żadnego zastosowania praktycznego, że ona tylko jest i aż jest, ale że nie można jej sobie ani wyobrazić ani też nijak wykorzystać. I zgadzam się, że nie spełnia aksjomatów ciała w obecnym (dotychczasowym) rozumieniu, ale za to spełnia ona aksjomaty ciała w moim zrozumieniu, nazwijmy je aksjomatami ciała Kagana. A one są takie, że liczba k istnieje ale nie może być ona używana w żadnych obliczeniach czy też przekształceniach formalnych. 😉
Szalom! 🙂
@Spytko
1. Aby zrozumiec wyzszosc pradu zmiennego nad stalym w elektroenergetyce, nie trzeba wcale znac liczb zespolonych (a wiec tez i urojnych). Po prostu dawniej, kiedy nie bylo jeszcze obecnych (nowoczesnych) polprzewodnikowych prostownikow a tym bardziej falownikow, mozna bylo przesylac na wieksze odleglosci prad staly o tylko tym samym napieciu, jakie zostalo wytworzone w pradnicy. A poniewaz pradnica ma czesci ruchome, to nie moglo to byc w praktyce wiecej niz kilkaset Voltow, co oznaczalo duze prady (duzo Amperow) a wiec duze straty mocy przy przesylaniu wiekszych ilosci energii na wieksze odleglosci oraz spore wydatki na grube kable miedziane. Prad zmienny (wl. przemienny) mozna zas latwo przetwarzac z niskiego napiecia na wysokie i na odwrot, a wiec mozna wytworzyc w pradnicy prad o stosunkowo niskim napieciu, po czym podwyzszyc je przy pomocy transformatora, a wiec przeslac te sama ilosc energii przy pomocy pradu o mniejszym natezeniu (mniej Amperow) a wiekszym napieciu (wiecej Voltow), jako iz moc energii elektrycznej rowna sie (w przyblizeniu, nie wnikajac w szczegoly) iloczynowi napiecia i natezenia pradu elektrycznego (P=I*U czyli ze moc w Watach rowna sie iloczynowi napiecia w Voltach i natezenia w Amperach: W=V*A). Po czym u odbiorcy zmniejszamy napiecie uzywajac kolejnego transformatora, do wysokosci takiej, jaka moze byc bezpiecznie uzywana przez np. silniki elektryczne.
Oczywiscie – dzis, dzieki polprzewodnikowym prostownikom i falownikom, stosuje sie do przeslania energii elektrycznej takze linie pradu stalego, tyle ze o bardzo wysokim napieciu. Ale ta ostatnia techologia nie byla przeciez znana w czasach Tesli i Edisona.
2. Edison byl zwyklym kombinatorem i oszustem. On sam nic nie wynalazl, tylko zyl z tego, ze znal odpowiednich ludzi i mial odpowiednio gruby portfel, a wiec zatrudnial on w swej firmie prawdziwych wynalazcow (np. Tesle) i sprzedawal wyniki ich pracy przemyslowcom. Wiadomo przeciez, ze w kapitalizmie rynkowym jest znacznie trudniej sprzedac wynalazek niz go zrobic (wymyslec).
Szalom! 🙂
Podobno Edison przed śmiercią powiedział, że najbardziej żałuje, iż nie docenil Tesli. Zachęcam do zapoznania się z życiorysem Nicoli Tesli. Nie tylko Edison potraktował Tesle nieuczciwie (nie zapłacił mu za stworzenie projektu elektrowni o większej sprawności). Marconi dostal Nobla za odkrycia Tesli – to Tesla jest wynalazca radia. Jest to fakt potwierdzony wyrokiem Sądu Najwyższego USA, niestety spóźnionym: patent przyznano Tesli w rok po jego śmierci. Ponadto w internecie można przeczytac, ze promieniowanie X oraz radar to także pomysly Tesli. Oprocz tego był posiadaczem nieprawdopodobnej ilości ok. 300 patentów (można sie zapoznać z ich treścią na stronie teslauniverse.com). Nicola Tesla jest także autorem projektu pierwszej na świecie elektrowni wodnej (wraz z Georgiem Westinghausem).
Dla mnie Tesla jest największym geniuszem w historii (opinia subiektywna).
Wiele z jego ideii znalazlo zastosowanie w wiele lat po jego śmierci (przykladowo turbina adhezyjna, urządzenia zdalnie sterowane).
Pozdrawiam 🙂
@xpresso: rzecz dzieje się w systemie ósemkowym, więc (6-1)+5+7=17(10)=21(8) 🙂
@GPSe
Nie wiem kto byl największym geniuszem w historii ludzkosci, ale wiem, ze Tesla byl na 100% w scislej czolowce tych najwiekszych geniuszy w historii ludzkosci. Niestety, byl tez on ofiara kapitalizmu rynkowego, ale to jest temat na inna dyskusje.
Szalom!
@xpresso
Patrząc na cyfry jak na przedmioty, tj. tak jak gdyby można było je wziąć do ręki, otrzymujemy:
5+7+1*9(po obróceniu 6)=21
6/(1-5/7)
Dodam tylko, że Tesla stosował sen polifazowy, śpiąc w ciągu doby 6 razy po 20 minut w odstępach 4-godzinnych
O tym nie słyszałem, ale to by się zgadzalo z innym faktem: rodzina się o niego martwila, gdyż uczył się po 16, 20 godzin na dobę twierdząc że sprawia mu to przyjemność 🙂
A więc miał o 50 % więcej czasu na myślenie niż człowiek normalnie śpiący. Zatem człowiek śpiący normalnie musiałby żyć 120 lat, żeby próbować zmierzyć się z Teslą na osiągnięcia intelektualne (bez gwarancji sukcesu oczywiście) 🙂