Do setki

14 maja 2012
Marek Penszko

Zapewne wiele osób zetknęło się z następującym zadaniem:

Cyfry od 1 do 9 można łączyć w grupy (bez zmiany ich kolejności), tworząc w ten sposób liczby kilkucyfrowe albo stawiać między nimi znaki czterech podstawowych działań arytmetycznych. Celem jest utworzenie poprawnej równości.

Ta łamigłówka to kamyk milowy w matematyce rekreacyjnej. W druku pojawiła się w połowie XIX w. Po raz pierwszy – co trochę zaskakujące – w niemieckiej książce z grami i zabawami dla dziewcząt autorstwa Marie Leske. W pierwszej wersji cyfr nie można było łączyć, więc dziewczętom podano tylko jedno rozwiązanie:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9
Znalazłoby się jednak jeszcze kilka innych, np.
1 x 2 x 3 x 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9
(1 : 2 + 3) x 4 x 5 + 6 + 7 + 8 + 9
Łącząc cyfry i wspierając się nawiasami można znaleźć setki rozwiązań.

Martin Gardner uszlachetnił to zadanie, ograniczając znaki do plusów i minusów. Wówczas rozwiązań jest jedenaście, w tym jedno z minimalną liczbą znaków – trzema:
123 – 45 – 67 + 89
Przed kilkunastu laty na łamach Wiedzy i Życia ogłosiłem konkurs na uszlachetnienie niejako w odwrotną stronę – plusów/minusów powinno być jak najmniej.
Dziesięć osób odkryło mocno zakręcony unikat z jednym minusem:
1 : 2 x (34 x 56 : 7 – 8 x 9)

Wariacji na temat tego zadania jest wiele. Najczęściej chodzi po prostu o utworzenie działania równego 100 z cyfr od 1 do 9 ustawionych w dowolnej kolejności, ale z jakimiś ograniczeniami. Formalnie działania może nawet w ogóle nie być, jeśli np. wyrażenie:
82 + 3546 : 197
zapiszemy w postaci liczby mieszanej z ułamkiem niewłaściwym:
82 3546/197
Takich unikatów jest jedenaście, w tym jeden z liczbą jednocyfrową:
3 69258/714

A czy znaki działań mogą być tylko jednego rodzaju? Nietrudno i elegancko można dowieść, że na samych mnożeniach, dzieleniach lub dodawaniach do setki się nie dotrze. A na minusach jak najbardziej i to na mnóstwo sposobów. Przykład tylko z dwoma znakami i najmniejszą odjemną:
536 – 289 – 147
Natomiast same plusy nie wystarczą, musi przypętać się jakiś inny znak. Chyba że zastosuje się pewien zabawny podstęp, który pojawił się po raz pierwszy w angielskiej książce ze sztuczkami magicznymi z roku 1857. Droga do stu może wówczas wyglądać tak:
15 + 36 + 47 = 98 + 2 = 100
albo tak:
3 + 12 + 74 = 89 + 5 + 6 = 100
Czy uda się Państwu znaleźć jeszcze choć jeden taki zapis dodawania z dziewięcioma różnymi cyframi i podstępnym pośrednikiem – dodatkowym znakiem równości?