Pentagramagia

17 stycznia 2012
Marek Penszko

Jako się rzekło i udowodniło (prawie), klasyczny magiczny pentagram nie istnieje. Inaczej mówiąc: w węzłach grafu pięciokąta gwiaździstego

nie sposób rozmieścić liczb od 1 do 10 tak, aby suma czterech liczb na każdym boku była jednakowa (22).

Dudeney, który jako pierwszy to skonstatował, zaproponował łamigłówkę, polegającą na wpisaniu do kółek nie ściśle określonych, ale jednak odpowiednich różnych liczb – takich mianowicie, aby suma magiczna, czyli taka sama na każdym boku, była jak najmniejsza.
Zadanie wydaje się benedyktyńskie do rozwiązywania „na piechotę”, co jest zresztą typowe dla Dudeneya – większość jego dziełek to nie relaksowe łamigłówki tylko mocno zakręcone, aczkolwiek ciekawe problemy do ślęczenia. Zapewne na przełomie XIX i XX wieku, gdy powstawały, ludzie mieli więcej wolnego czasu, bo telewizja i Internet jakoś nie miały wówczas wzięcia.

Łatwo ustalić, że 23, ani żadna liczba nieparzysta sumą magiczną być nie może. Duże szanse na bycie najmniejszą ma więc 24. Szukając rozwiązania systematycznie, wypadałoby rozważyć wszystkie możliwe 10-liczbowe zestawy, dające sumy 24 na bokach, czyli takie, w których łączna suma dziesięciu liczb byłaby równa 24*5/2 = 60. To o 5 więcej niż suma kompletu 1-10. Należałoby zatem, uzupełniając ten zestaw liczbą x>10, usuwać równocześnie liczbę o 5 mniejszą od x. Taki zabieg prowadzi do pięciu kompletów:

(a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15)
(b) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 14)
(c) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 13)
(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12)
(e) (1,2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11)

Ale to nie wszystko, bo można dodać dwie liczby większe od 10, usuwając odpowiednie dwie inne (z sumą mniejszą o 5 od sumy usuniętych), a to da jeszcze dwa komplety:

(f) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12)
(g) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13)

Nie znam logicznego sposobu wybrania z tych siedmiu zestawów takich, które sprawdzą się w praktyce, czyli utworzą magiczny pentagram. Nie wiem też, jak sprytnie wyeliminować choćby część tych, które się nie sprawdzą. Próbowałem kombinować z liczbami nieparzystymi, wiedząc że ich liczba na boku musi być parzysta, ale bez sukcesu. Krótko mówiąc, efektywne wydaje się tylko wrzucanie na komputer układów równań.
W mądrych książkach wybrańcem jest układ (d), czyli od 1 do 12 bez 7 i 11; w niektórych źródłach pojawia się wzmianka, że odpada (e) – od 1 do 11 bez 6. A co z pozostałymi pięcioma – czy któryś z nich da się wpasować w pentagram tak, aby stał się on magiczny? To jest pytanie do komputerowców.
A dla wszystkich – zadanie:

W kółkach powinny znaleźć się liczby z kompletu (d) – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12 – a pentagram powinien być supermagiczny. Znaczy to, że sumę magiczną (24) mają tworzyć nie tylko cztery liczby na każdym boku, ale także pięć liczb na końcach ramion gwiazdy.
Jaka liczba znajdzie się w kółku z gwiazdką?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.