Pentagram bez magii

Pod koniec XIX wieku Dudeney jako pierwszy sięgnął gwiazd – magicznych i logicznych oczywiście. Zaczął od pięcioramiennej, czyli od pięciokąta gwiaździstego zwanego też pentagramem:

i wymyślił łamigłówkę, która po rzuceniu okiem na rysunek właściwie wymyśla się sama:

Liczby od 1 do 10 wpisz do kółek tak, aby suma czterech liczb na każdym boku pięciokąta była jednakowa.

Arytmetycznie niby wszystko gra. Suma liczb = 55, każda znajdzie się na dwóch bokach, czyli suma pięciu sum wyniesie 110, a zatem na każdą sumę czterech liczb przypadnie 22. Okazało się jednak, że zadanie byłoby dobre, ale na prima aprilis, bowiem z kombinatorycznego punktu widzenia sprawa się rypie. Krótko mówiąc, rozwiązania, czyli klasycznego pentagramu magicznego nie ma i nie tak łatwo to udowodnić, tzn. jest z tym trochę dłubaniny. Spróbujmy przeprowadzić taki dowód możliwie sprytnie i bezboleśnie.

Czwórkowych zestawów wybranych z kompletu 1-10, których suma równa jest 22, mamy 18:

(10,9,2,1) (10,8,3,1) (10,7,4,1) (10,7,3,2) (10,6,5,1) (10,6,4,2) (10,5,4,3) (9,8,4,1) (9,8,3,2) (9,7,5,1) (9,7,4,2) (9,6,5,2) (9,6,4,3) (8,7,6,1) (8,7,5,2) (8,7,4,3) (8,6,5,3) (7,6,5,4).

Załóżmy na wstępie, że na jakimś boku znajdzie się pierwsza czwórka – (10,9,2,1). Wtedy za pośrednictwem 10 musiałaby się z nią łączyć czwórka (10,5,4,3), bo inne czwórki zawierają wykorzystaną już liczbę 1 lub 2. Niestety, wówczas dziewiątki z pierwszej czwórki nie da się już z niczym skrzyżować, bo wszystkie pozostałe kwartety z dziewiątką zawierają albo jedną liczbę z pierwszej czwórki (1 lub 2) albo dwie z drugiej (3 i 4).

Czyżby koniec dowodu? Prawie, bo wypadałoby jeszcze dowieść, że założenie wstępne w istocie nie jest założeniem, tylko koniecznością, czyli czwórka (10,9,2,1) musi się znaleźć w gwieździe, jeśli miałoby istnieć rozwiązanie. Wbrew pozorom udowodnienie tego jest dość proste i krótkie, jeżeli wpaść na pomysł. Kto wpadnie?

A może ktoś zaproponuje jakiś inny w miarę prosty dowód, że magiczny pięciokąt gwiaździsty z liczbami od 1 do 10 nie istnieje.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.