Kulaj się

17 maja 2011
Marek Penszko

Tkwię ostatnio po uszy w matematyce bilardu. Wnioskując z rekwizytów i zasad temat wydaje się prosty, bo bilard matematyczny to tylko jedna kula na stole bez łuz, odbijająca się od band zgodnie z zasadą: kąt odbicia równy jest kątowi padania. W dodatku wszelki opór pomijamy, czyli np. snookerowe sztuczki związane z rotacją, w rodzaju krzywoliniowego toru, są wykluczone. Pchnięta kula toczy się w nieskończoność, chyba że trafi do rogu. Wtedy staje, bo „nie wie” co robić dalej. Tory, które pobłądzą  w załamania bandy, nie są w bilardowej matematyce w ogóle analizowane.

Prostota tematu jest pozorna. Przeciwnie, jest on zaskakująco ciekawy i zawiły, ponieważ stoły mogą mieć dowolny kształt, nie wyłączając krzywoliniowych band i trzeciego wymiaru, czyli bilardu w bryłach. W tym ostatnim przypadku praktyczna zabawa jest niebezpieczna, bo kule świszczą koło uszu.

Bila poruszająca się na eliptycznym stole po niecyklicznym torze (na cykliczny są małe szanse) i znacząca ślad w postaci cienkiej czarnej linii, pozostawi „czystą” mniejszą elipsę lub dwa obszary ograniczone fragmentem hiperboli – zależnie od tego, gdzie przetnie wielką oś, ruszając w drogę.

Przyjemnie obserwować na ekranie monitora, jak stopniowo wyłaniają się te białe obszary, ale znacznie bardziej widowiskowe są symulacje komputerowe ruchu kuli na stołach o wyrafinowanych kształtach. Kto nie widział obrazków, jakie maluje bila śladem swojej wędrówki na stole w kształcie górnej lub dolnej płyty skrzypiec, ten ma czego żałować.

Nawet najprostszy wieloboczny, czyli trójkątny stół bywa bardzo zagadkowy. Jeśli jest trójkątem równobocznym, to wyznaczenie na nim 3-etapowego toru cyklicznego jest trywialne.

Gdy jednak kąty trójkąta się zmieniają, zadanie przestaje być takie proste, a narysowanie cyklu obejmującego trzy etapy może być niemożliwe.
Gwoli ścisłości: cykl jest n-etapowy, jeśli na trasie między dwoma kolejnymi zaliczeniami punktu startowego kula (n-1)-krotnie zmienia kierunek.

Pytanie (niełatwe, bo trochę podstępne 😉 ): jaki powinien być trójkąt, aby w jego wnętrzu kula mogła poruszać się po cyklicznym torze 4-etapowym?
Kto odpowie w dwóch słowach?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.