Polityka potęgą
Epoka wielkich odkryć geograficznych była dawno temu, trwała krótko i skończyła się bezpowrotnie. Czas wielkich odkryć naukowych to znacznie dłuższa historia, ale czy zakończona? Trudno powiedzieć, choćby dlatego, że wielkość to rzecz względna. Czy np. odkrycia planet poza Układem Słonecznym (1990) i grafenu (2004) są wielkie? W gruncie rzeczy to drugorzędne pytanie, natomiast nie ma wątpliwości, że epoka małych odkryć nie jest zagrożona – wciąż trwa i nigdy się nie skończy. Pewność stąd, że istnieje matematyka, czyli nauka abstrakcyjna, w której, aby doszło do odkrycia, wystarczy stworzyć pole, na którym można go dokonać. To trochę tak, jakby na moment wróciła epoka odkryć geograficznych, ponieważ nagle wskutek ruchów tektonicznych z Atlantyku wynurzyła by się Atlantyda.
O małe odkrycia w matematyce tym łatwiej, że kosztują – w porównaniu z innymi naukami – tyle co nic (papier, pisak, komputer), a pole do popisu jest otwarte dla każdej inteligentnej osoby z wyobraźnią i pasją odkrywcy.
Można by na przykład spróbować odkryć liczbę, która jest kwadratem i składa się z jednakowych cyfr, gdyby… istniała. Łatwo dowieść, że takiej nie ma poza jednocyfrowymi. Są jednak kwadraty ponad dwucyfrowe złożone z dwóch różnych cyfr i jest ich całkiem sporo, zaczynając od 100, 121, 144, 225…. Odkryjemy największy? Nie, bo takiego też nie ma. Chyba że zmienimy pole poszukiwań, czyli odrzucimy wszystkie kwadraty kończące się zerem. Niestety, na tym poletku już buszowano przed 15 laty, odkrywając kwadrat 6661661161 (81619^2), ale co ważniejsze – dotychczas większego nie znaleziono. Chcąc pobić ten rekord, należałoby szperać wśród kwadratów przynajmniej 41-cyfrowych. Krótsze sprawdzono.
Od blisko wieku przeorane jest także pole położone niejako na antypodach poprzedniego, czyli takie, na którym szukano najdłuższych, a więc 10-cyfrowych kwadratów, w których każda cyfra jest inna. Znaleziono 87 okazów, a największym wśród najdłuższych jest 9814072356 (99066^2). Po drodze odkryto wszystkie inne potęgi różnocyfrowe, zwane także pandigitalnymi. 8-cyfrowe można zaszyfrować słowem POLITYKA złożonym z różnych liter. Jaką jest jedna z tych potęg, jeśli wiadomo, że:
LATL^P = POLITYKA
Proszę rozwiązać ten kryptarytm na logikę, a nie programem. To nietrudne, zwłaszcza z niewielką pomocą kalkulatora.
Natomiast nie polecam główkować nad takim:
LT^K = POLITYKA
To już jest zadanie dla komputera.
Komentarze
POLITYKA
21473956
24137569
Jestem odmiennego zdania, co do sposobu rozwiązywania drugiego równania.
Jak najbardziej polecam główkowanie.
Obszar do przeszukania jest, wbrew pozorom, tak mały, że wystarczy papier, ołówek i kalkulator, aby uporać się z równaniem w czasie niewiele dłuższym, niż z pierwszą równością.
Hm, Andrzeju, jeśli tak piszesz, to coś w tym musi być. Biorę zatem kalkulator i zagłębiam się w ograniczanie obszaru do przeszukania, który poprzednio wydał mi się całkiem spory.
m
4634^2=21473956
17^6=24137569
4634^2 = 21473956
Z drugim kryptarytmem Andrzej ma racje. Obszar poszukiwan mozna ograniczyc do co najwyzej kilkunastu sprawdzen na kalkulatorze. A jesli sprawdza sie od poczatku, czyli od najmniejszej mozliwej podstawy potegi, to mozna trafic na rozwiazanie juz w trzeciej probie
17^6 = 24137569
a
Ogólnie:
K może być tylko jedną cyfrą. Dla tej wartości K, jednoznacznie określone jest A.
LT może mieć więc tylko 9 różnych wartości, więc sprawdzenie przy użyciu kalkulatora zajmuje kilka minut.
Szczegółowo:
K=4 (tylko wtedy potęga liczby dwucyfrowej ma 8 cyfr)
Czwarta potęga moze kończyć się cyframi 0, 1, 5 i 6. Gdyby A było 0 lub 5, to T musiałoby być tą samą cyfrą. Zostaje A=1 lub 6. Ale skoro K=4, to A nie może być 6, bo czwarta potęga nie może kończyć się na 46.
Zatem A=1, więc T może być równe 3, 7 lub 9.
P musi być większe niż 1, więc LT>66.
Mamy więc 9 potencjalnych wartości LT: 67, 69, 73, 79, 83, 87, 89, 93, 97
LATL^P = POLITYKA == 4634 ^ 2 = 21473956
LT^K = POLITYKA == 17 ^ 6 = 24137569
Pozdrawiam, dziękując autorowi i współczytelnikom za świetną rozrywkę.
Dopisek: dla zainteresowanych dodaję odnośnik do http://www.wolframalpha.com, strony pomocnej przy szukaniu rozwiązań dla publikowanych tu łamigłówek. Jeśli uzna Pan, Panie Marku, że zamieszczenie odnośnika jest sprzeczne z konwencjami panującymi na tym blogu, proszę go po prostu usunąć.
Encyklopedia matematyczna jest w pełnej zgodzie z konwencją.
mp
Nie tylko K=4, ale i K={5, 6, 7} mogą dać liczbę ośmiocyfrową.
Rzeczywiście, nie wiem dlaczego uznałem, że K=4. Faktycznie ośmiocyfrowy wynik może dać liczba dwucyfrowa podniesiona do potęgi 4, 5, 6 i 7. Ale 5 odpada od razu, ponieważ ostatnia cyfra piątej potęgi jest równa ostatniej cyfrze liczby do piątej potęgi podnoszonej. Dla K=6 mamy do rozpatrzenia tylko LT=17, 18 lub 19, a dla K=7 wyłącznie 12. W sumie do sprawdzenia zostaje tylko 13 możliwości, co moim zdaniem potwierdza opinię Andrzeja, że do rozwiązania nie trzeba zaprzęgać komputera.