Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

7.08.2010
sobota

Powrót ołówków

7 sierpnia 2010, sobota,

Trzy wpisy temu padło pytanie:
jak rozmieścić sześć ołówków, aby każdy dotykał pięciu (albo inaczej: aby stykały się każde dwa)?
Tuż po nim było drugie:
jak rozmieścić siedem ołówków, aby każdy dotykał sześciu?
Warto uściślić, że ołówki są po to, aby zadanie „trafiło pod strzechy” – w domyśle chodzi o walce.

Miłośnikom matematyki rekreacyjnej znana jest odpowiedź na pierwsze pytanie, rzec by można, Gardnerowska, czyli układ taki, jak na poniższym rysunku, zamieszczony w Scientific American w 1957 roku (ale znany wcześniej), a potem pojawiający się w książkach Martina Gardnera.

Gardnerowską można nazwać także odpowiedź na drugie pytanie, która była nowością nadesłaną wówczas przez kilkunastu czytelników:

Warto zauważyć, że obie konstrukcje nie są bezwarunkowe. Jeśli założymy, że grubość walców jest jednakowa,  to ich długość (także jednakowa) będzie w obu przypadkach ograniczona z dołu. Dla sześciu walców powinna być mniej więcej 5-krotnie większa od grubości (dokładnej wielokrotności nie znam); dla siedmiu – przynajmniej 7/2*sqrt3 razy większa. Kluczowe znaczenie mają oczywiście punkty styku walców, leżących w dwóch warstwach. Trudno narysować „przełomowy” układ sześciu walców, łatwiej siedmiu:

Po minimalnym skróceniu walców wewnętrzne lub zewnętrzne punkty styku, oznaczone czerwonymi kropkami, „rozjadą się”.

Dla sześciu walców Gardnerowski układ nie jest jedynym rozwiązaniem. W roku 1968 angielski matematyk John Edensor Littlewood „poprawił” zadanie, pytając o największą liczbę jednakowych walców, ale nieskończonych, stykających się każdy z każdym. Inaczej mówiąc, chodzi o ołówki o długości obustronnie nieograniczonej, czyli powierzchnie walcowe (walce nie mają podstaw, a zatem punkty styku mogą być tylko na powierzchniach bocznych). Problem ma kilka rozwiązań dla sześciu walców i wszystkie one są oczywiście także rozwiązaniami dla „skończonych” ołówków. Co ciekawe, jest wśród nich rozwiązanie, które ma jeden stopień swobody, a to sugeruje, że możliwe byłoby „totalne sparowanie” także siedmiu powierzchni walcowych. Niestety, dotąd nikomu się to nie udało. Znany jest dowód ograniczający liczbę walców w układzie, z którego wynika, że nie może ich być więcej niż… 24. Tak wysoko umieszczona poprzeczka świadczy o trudności dowodzenia na styku geometrii, kombinatoryki i topologii.

Wróćmy do ołówków skończonych.
Zapewne przed laty Martin Gardner oniemiałby z wrażenia, gdyby jakiś czytelnik nadesłał rysunek ośmiu ołówków ułożonych tak, że każdy dotykałby siedmiu pozostałych. Jest to bowiem możliwe i wcale nie takie trudne, jeśli pamiętać, że konstrukcje nie są bezwarunkowe. Mówiąc wprost, w tym przypadku długości ołówków nie będą jednakowe, choć różniące się nieznacznie.
Czy ktoś z Państwa poradzi sobie z ósemką?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 4

Dodaj komentarz »
  1. Wchodzić na własną odpowiedzialność:
    http://img20.imageshack.us/i/95080975.jpg/

  2. Po długich i ciężkich bojach:
    http://pokazywarka.pl/iu8gth/
    nie wiem czy te dwa rozwiązania są topologicznie różne, ale już mi się nawet tego nie chce sprawdzić.

  3. Jednak po dokładnym sprawdzeniu, stwierdzam, że rozwiązania są identyczne. W drugim rozwiązaniu należy przesunąć cztery górne ołówki bardziej w lewo, bo tak jak jest na rysunku nie wszystkie ołówki się ze sobą stykają. Pierwsze rozwiązanie jest jakby ładniejsze. Próbowałem z większą ilośćią ołówków, ale po kilku godzinach prób, bez żadnego rezultatu, zrezygnowałem. Gdybym wiedział, że jest to możliwe, jeszcze bym spróbował. Może ktoś z większą wyobraźnią przestrzenną to zrobi.

  4. Patrząc na rozwiązania stwierdzam, że mogę sobie tylko w brodę pluć. Kompletnie nie mam zmysłu przestrzennego do tego typu zadań (praktycznie do żadnego typu przestrzennych zadań). Wpadłem na pomysł dwóch warstw, w których będzie się znajdował trójkąt z wysokością. Potem jakoś obrócić którąś warstwę, ewentualnie przedłużyć któreś boki trójkątów i gotowe. Próbując to jednak narysować, zniechęciłem się, bo jednak jakoś takie niemożliwe mi się to wydało. Jak widać można było to zrobić.

css.php