1×3 + 1×1

1 czerwca 2010
Marek Penszko

Wspominałem kiedyś o klasycznym problemie zapełniania „wybrakowanej” szachownicy kamieniami domina. Przypomnę, że polega on na pokryciu płytkami 1×2 planszy 8×8, z której usunięto dwa narożne pola z końców tej samej przekątnej.
Uporać się z tym nie sposób, więc w istocie chodzi o udowodnienie, że to niemożliwe. Dowód jest elegancki i prosty. Wystarczy zauważyć, że ubyły dwa pola takiego samego koloru, czyli pozostało 30 w jednym kolorze i 32 w drugim, a każda płytka zakrywa dwa pola różnych kolorów, więc dwóch pól jakiegoś koloru zasłonić się nie da.

Pojawia się pytanie, czy po usunięciu dwóch pól różnych kolorów z dowolnych miejsc, zawsze można pokryć 31 dominami 62 pozostałe pola? „Na czuja” wydaje się, że tak, ale dla pewności warto by to udowodnić. Dowód także jest sprytny, elegancki i prosty. Czy ktoś podać go się ośmieli 🙂 ?

Zmierzam jednak do jeszcze innego bliźniaczego zagadnienia, które przypomniało mi się w związku z poprzednim wpisem. Była w nim mowa o zadaniu, w którym występowały prostokąty 1×3.
Otóż wyobraźmy sobie, że mamy 21 płytek 1×3 i „dziurawą” szachownicę (8×8), czyli pozbawioną jednego pola. A pytanie brzmi: w którym miejscu (miejscach) mogła znajdować się dziura, jeśli 63 pola udało się zakryć płytkami?

Finał konkursu z wpisu „Fillomini”
Poprawne rozwiązania (pięć usuniętych cyfr) nadesłało dwanaścioro „dzieci”: Andrzej, andy, Antyp, esteon, fenix86, Jazz, karzym, Michał, Niki, pafcio, peha, witman.
Z okazji Święta Dziecka proponuję zabawę w losowanie publiczne.
Proszę każdą z wymienionych osób o nadesłanie komentarza zawierającego:
– nazwę gry, którą dziecko chciałoby otrzymać (wybranej z pięciu podanych pod koniec wpisu „Fillomini”);
– dowolną liczbę z przedziału od 1 do 100.
Wybraną grę otrzyma ten, kto poda liczbę najbliższą średniej arytmetycznej wszystkich podanych liczb, które pojawią się w ciągu trzech najbliższych dni, czyli do 3 czerwca włącznie (może się zdarzyć, że nie wszystkie dzieci wezmą udział w zabawie).
Komentarze z liczbami zostaną oczywiście ujawnione hurtem 4 czerwca lub wcześniej, jeśli cała wspaniała dwunastka pojawi się przed tym terminem.
W przypadku remisu obowiązuje zasada „kto pierwszy (podał liczbę) ten lepszy”.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.