Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

8.03.2010
poniedziałek

Co może wirus

8 marca 2010, poniedziałek,

Do kolonii składającej się z pewnej liczby dobrych bakterii (np. flora bakteryjna w naszym wnętrzu) wtargnął wirus. W pierwszej sekundzie zniszczył jedną bakterię, po czym powielił się, a równocześnie każda z pozostałych bakterii podzieliła się na dwie. W drugiej sekundzie dwa wirusy zeżarły dwie bakterie, a następnie oba oraz każda z pozostałych przy życiu bakterii uległy rozdwojeniu na dwa osobniki. W trzeciej sekundzie cztery wirusy unicestwiły cztery bakterie – i znowu cała żywa menażeria podwoiła się jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki. W czwartej sekundzie osiem wirusów…

W każdej następnej sekundzie analogiczny cykl powtarza się. Pacjent zaczyna odczuwać dolegliwości, gorączka wzrasta, aż do momentu, gdy… Właśnie, czy w wyniku tego procesu – jeśli nie będziemy weń ingerować, czyli np. stosować leków – kolonia bakterii zostanie w końcu zniszczona?
A może przy pewnej odpowiednio dużej, ale ściśle określonej początkowej liczbie bakterii inwazja wirusa nie zagrozi istnieniu kolonii, która mimo wirusowej dywersji będzie rozwijać się przez podział w nieskończoność?
A jeżeli kolonię czeka zagłada, to po jakim czasie?

Przepraszam za niebiologiczną terminologię i niezgodność z prawami natury (np. podział bakterii co sekundę to trochę za szybko).

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3 dni.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 17

Dodaj komentarz »
  1. Niestety, niezależnie ile bakterii będzie to czeka ich zagłada po dokładnie takiej samej ilości sekund (co bakterii).

  2. Witam

    Przy tak zjadliwym przeciwniku który się tylko mnoży i nie umiera bakterie nie mają szans. Jeśli przyjmiemy że początkowa liczba bakteri jest równa A to po A sekund wirusy unicestwią całą kolonię dobrych bakterii.

    pozdrawiam
    peha

  3. Jeszcze nie liczyłem, ale intuicyjnie wnioskuję, że bakterie zawsze pokonają komórki a czas życia komórek będzie wynosił tyle sekund ile razy jest ich więcej od bakterii (na początku ‚zarażenia’).

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Ratunkiem na przetrwanie kolonii bakterii jest jej odpowiednio duża ilość, czyli, liczba kardynalna o mocy alef zero. W przeciwnym wypadku, walka wirusów z bakteriami potrwa tyle sekund, ile jest bakterii.

  6. Biedne bakterie są skazane na zagładę.
    Załóżmy początkową liczbę bakterii: B0.
    Aktualna liczba bakterii: B.
    Aktualna liczba wirusów: W.
    Gdyby bakterie nie ginęły, to stosunek liczby bakterii do liczb wirusów (B/W) nie zmieniałby się. W opisanej sytuacji, ten stosunek systematycznie maleje do zera (o 2 w każdej sekundzie).

    Czas życia kolonii zależy od B0. Bakterie wyginą dokładnie po B0 sekundach.

  7. Witam,

    Oczywiście wirus zawsze pokona kolonie bakterii:

    można wyprowadzić wzór na liczbę bakterii po n-sekundach:

    a(n) = -2^n (n-a(0))

    z czego można wywnioskować:

    1. Nie ma takiego a(0) które jest większe od dowolnego n 🙂
    2. Kolonia zostanie zniszczona po a(0) sekundach.

    PS. Zadanie łatwe do rozwiązania z pomocą (http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28n%29%3D2*f%28n-1%29-2^n%2C+f%280%29%3Da)

  8. Kolonia bakterii zniknie po X sekundach. Ich ilość po sekundzie X spadnie doładnie do 0.

  9. Na początek mamy b bakterii.
    Po n sekundach mamy (b-n)*2^n bakterii i 2^n wirusów.
    Ilość wirusów jest całkiem oczywista, wiec pozostaje udowodnić wzór na ilość bakterii.

    Dowód indukcyjny
    1. dla n=0
    (b-0)*2^0=b – czyli ok.
    2. Chcemy pokazać, że jeśli po n sekundach jest (b-n)*2^n bakterii, to po n+1 sekundach będzie ich (b-(n+1))*2^(n+1).
    Bakterii jest (b-n)*2^n. Najpierw wymrze ich tyle, ile jest wirusów (czyli 2^n), a następnie podwoi się ich ilość. Zatem po n+1 sekundach będzie ich 2*((b-n)*2^n-2^n)=2*((b-n-1)*2^n)=(b-(n+1))*2^(n+1) co właśnie chcieliśmy pokazać.

    Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej wzór na ilość bakterii jest
    poprawny, a co za tym idzie kolonia bakterii wymrze dokładnie po b sekundach, bez względu na to, ile wynosi b.

    Łamigłówka bardzo ładna, którą rozwiązuję się metodą „znajdź rozwiązanie, a potem udowodnij”. Znalezienie rozwiązania jest bardzo łatwe i po rozpisaniu ilości bakterii po n sekundach bardzo łatwe jest znalezienie zależności między ilością bakterii i wirusów.

    Pozdrawiam

    Michał

  10. Jeśli x- początkowa liczba bakterii, n- liczba sekund, to po n sekundach będzie 2^n wirusów oraz 2^n(x-n) bakterii. Bakterie znikną po czasie n=x sekund.

  11. Dla mnie to zadanie jest przykładem socjotechnicznej manipulacji. Dlaczego? Ano dlatego, że w treści zadania jest coś, co ma odciągnąć uwagę rozwiązującego od prostego, niemal oczywistego rozwiązania. Tym czymś w tym zadaniu jest podwajanie liczby bakterii i wirusów. Praktycznie wszyscy, którym dałem do rozwiązania to zadanie rozpoczęli poszukiwania od utworzenia wzoru na liczbę bakterii i wirusów w n-tej sekundzie procesu i uzyskiwali wyrażenia podobne do wzorów na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Poczym wyciągali wniosek, że bakterie muszą wyginąć, tylko nieco kłopotu sprawiała odpowiedź kiedy to nastąpi. A przecież wystarczy zauważyć, że podwajanie liczby bakterii i wirusów jest nieistotne. Każde takie podwojenie można traktować jak utworzenie drugiej niezależnej populacji wirusów i bakterii, w której proces niszczenia bakterii przebiega zgodnie z warunkami zadania i niezależnie od innych populacji. Zatem wystarczy skupić się w zadaniu na jednej takiej populacji, w której nie ma rozmnażania. Inaczej mówiąc rozwiązujemy zadanie, gdzie mamy tylko jednego wirusa, zjadającego w każdej sekundzie po jednej bakterii. Co natychmiast prowadzi do odpowiedzi, że zawsze wyginą wszystkie bakterie i ostatnie zastaną unicestwione dokładnie w n-tej sekundzie, gdzie n jest liczbą bakterii na początku procesu.

    Pozdrawiam,
    jazz

  12. Wróciłem rpzed chwilką do wpisu i pomyślałem sobie jakby zmienić jedną rzecz: bakterie podwajają swoją liczbę nie co sekundę ale co drugą, czyli
    raz komórki się podwajają, a następny i komórki i bakterie i znowu: raz komórki a raz razem z bakteriami (na zmianę: osobno i razem).
    Zaczynamy zabawę od powielania się samych kamórek, a potem juz na zmianę. Oczywiście przed samym powieleniem uczta bakterii obowiązkowa 🙂
    W tym, wypadku powinna wystąpić masa krytyczna komórek (liczona oczywiście w wielokrotności bakterii, bo przecież nie o liczbę chodzi a o wielokrotną przewagę jednych nad drugimi).

  13. 🙂 w moich wpisach:
    bakteria to wirus
    komóka to bakteria

    u mnie jeszcze gorzej z biologia niż u Pana Marka 🙂

  14. Przy powielaniu sie wirusa co drugą sekundę masa krytyczna bakterii (juz nauczylem sie i nazewnictwo mam poprawne), moze nie masa krytyczna a wielokrotnosc krytyczna (wirus/bakteria) znajduje sie gdzieś pomiędzy 2/5 a 1/3 (nie miałem czasu dalej liczyc, moze bedzie ktos chetny i ustali liczbe z dokladnoscia do …. miejsc po przecinku 🙂 )
    Dla jasnosci cykl nastepuje w takim porzadku:

    1a. wirusy zjadaja bakterie
    1b. powielanie sie bakterii
    2a. wirusy zjadaja bakterie
    2b. powielanie sie bakteri i wirusow.

    i dalej cykl do powtórki, sufiksy a i b sa dlatego, że rzecz dzieje sie w tej samej sekundzie.

  15. Jazz-piękne rozwiązanie, proste. Ale proste jest nieraz najtrudniejsze do dostrzeżenia. Zwłaszcza, gdy człowiek się zafiksuje na „rachunki”

  16. Jawa, proponuję przeczytać wywiad z prof. Stanisławem Woronowiczem:
    http://archiwum.polityka.pl/art/tropiciel-zachwycajacych-symetrii,399438.html
    Jest tam ciekawe i pouczające zadanie o mrówkach.
    Polecam,
    jazz

  17. Zadanie z mrówkami jest pod tym względem dużo prostsze. Bo tam od razu widać, że rachunki będą koszmarne. I automatycznie szuka się prostszego sposobu. A tutaj dojście do wzoru ogólnego zajęło mi 2 min… i nawet nie miałem szans się „przestawić”.

  18. Jazz, dzięki za przywołanie artykułu z dodadku do Polityki. Czytałam, zachowałam Niezbędnik…,bo wytłumaczenie mnie olśniło (nie twierdzę, że po I czytaniu).

css.php