Szczypta nieskończoności

3 stycznia 2010
Marek Penszko

Podzielmy ciąg liczb naturalnych n większych od 1 na dwa podciągi:
liczb pierwszych p:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71…
i liczb złożonych z:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32…
Skoro podzieliliśmy jakąś całość na dwie części, to zdrowy rozsądek podpowiada, że każda z nich będzie mniejsza od całości. W tym konkretnym przypadku wydaje się też oczywiste, że skoro liczby pierwsze tkwią wśród naturalnych jak rodzynki w cieście, to będzie ich mniej niż złożonych. Z drugiej jednak strony można by, zaczynając od najmniejszych, brać po jednej kolejnej liczbie z każdego ciągu i tworzyć trójki: n1p1z1, n2p2z2, n3p3z3,… itd. Ponieważ elementów w każdym podciągu jest nieskończenie wiele, zatem do żadnej trójki liczby nie zabraknie, a stąd wniosek, że ciąg  liczb naturalnych, podciąg liczb pierwszych i podciąg liczb złożonych są równoliczne.

Galileusz, który pierwszy opisał (w nieco innej formie) ten paradoks, stwierdził po prostu, że porównywanie liczebności ciągów nieskończonych nie ma sensu. Trzy wieki później Georg Cantor „uporał się” z paradoksem Galileusza i stworzył teorię mnogości. Zgłębianie tajemnic nieskończoności oraz powstałe na tym tle konflikty z kolegami po fachu doprowadziły genialnego matematyka do mistycyzmu, a w końcu do zakładu dla obłąkanych. Wniosek: ostrożnie z nieskończonością.

Miałem pisać o osobliwościach liczby 2010, a zabłądziłem w nieskończoność. Trochę przypadkowo, więc pora wracać.

Gdyby zamiast trójek nipizi tworzyć pary pizi, a następnie mnożyć przez siebie liczby w każdej parze, to powstałby ciąg:
8, 18, 40, 63, 110, 156, 238, 285, 368, 522, 620, 777, 902…
Jaka liczba pojawi się w tym zbiorze na 19. miejscu – nietrudno zgadnąć i policzyć. Wśród liczb naturalnych od 1 do 10000 iloczynów pi*zi jest tylko 40, co niewątpliwie wyróżnia 2010 ze względu na przynależność do tego zbioru.

Bardziej niezwykła wydaje się obecność noworocznej liczby w teorii grafów. Mówiąc krótko i niezrozumiale (?): różnych drzew o 15 wierzchołkach i średnicy 7 jest dokładnie 2010. Spróbuję wyjaśnić, o co chodzi w następnym wpisie, a tymczasem pozostanę przy szczypcie nieskończoności.

Figurę z otworem należy podzielić wzdłuż linii przerywanych na części złożone z 5 kwadracików. W każdej powinny się znaleźć: dwa zera, jedynka, dwójka i symbol nieskończoności. Ile części będzie sześciokątami?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3 dni.