Sumowo

12 listopada 2009
Marek Penszko

Jeśli, zaczynając od jedynki w wierzchołku trójkąta, który ma także dwa „jedynkowe” boki (podstawy na razie brak), pod każdą parą liczb będziemy wpisywać ich sumę, to powstanie trójkąt Pascala. Gdy sumy pojawiają się nad parami liczb, zaczynając od liczbowej podstawy, wówczas powstaje trójkąt modularny – o ile każda suma będzie zapisana modulo x. Gdybyśmy pominęli modulo, to utworzony trójkąt można by nazwać sumowym. To określenie trochę razi. Przymiotniki różnicowy i iloczynowy są przyswojone, a sumowy jest jak growy (od gra), czyli aż się prosi, żeby go omijać. Mimo to zaryzykuję próbę oswojenia.

Trójkąt sumowy jest „przewidywalny” w tym sensie, że znając wartości i kolejność liczb w podstawie, łatwo określić, jaka znajdzie się w wierzchołku. Wystarczy wpisać pod podstawą wiersz takiej samej długości z trójkąta Pascala. Mnożąc następnie odpowiadające sobie liczby, a potem dodając iloczyny, otrzymamy liczbę w wierzchołku. Na przykład:

Łatwo ustalić, dlaczego tak będzie, znając sposób tworzenia trójkąta Pascala. Na tym także zasadza się sekret sztuki z wpisu Według Pascala – co wyjaśnili Państwo w komentarzach – tylko że liczby zapisuje się zawsze modulo 9, więc działania są prostsze.
A oto cały trójkąt wsparty na powyższej podstawie:

To unikat (już nie, bo „unikaty” są trzy – p. komentarz Andrzeja) wśród trójkątów sumowych czwartego rzędu (4-cyfrowa podstawa), ze względu na dwie własności:
– wszystkie liczby są różne,
– liczba w wierzchołku jest najmniejszą z możliwych.
Nie znam w miarę prostego, logicznego sposobu szukania trójkątów sumowych wyższych rzędów, spełniających oba podane warunki. Nie wiem nawet, czy ktoś ich szukał, korzystając z programu komputerowego. Zapewne nie jest to proste, skoro – gdy zadanie polegające na szukaniu takiego trójkąta piątego rzędu pojawiło się przed dziesięciu laty w konkursie matematycznym – jego autor miał przygotowane następujące rozwiązanie:

Łatwo zauważyć, że stanowi ono rozwinięcie przedstawionego wyżej trójkąta czwartego rzędu – dodany jest lewy bok. Tymczasem uczestnicy konkursu znaleźli lepsze rozwiązanie, czyli z mniejszą liczbą w wierzchołku. Jakie?

A może ktoś pokusi się o znalezienie najlepszego rozwiązania dla trójkąta szóstego rzędu. Poniższe na pewno nim nie jest.

 

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3 dni.