Ani 3, ani 7

Nie dziwi mnie, że tylko jedna osoba zmierzyła się z zadaniem z poprzedniego wpisu (czy skutecznie?). Raczej dziwne, że aż jedna, bo zadanie było prawie karkołomne. Żartem przypisałem je księdzu Kitowiczowi – mam nadzieję, że ten niecny czyn będzie mi odpuszczony.

Przypomnę cztery stwierdzenia tworzące dyngusową łamigłówkę:

– dla każdej pary dziewek można wskazać przynajmniej jednego parobka, który je obie polał;
– dla każdej pary parobków można wskazać dokładnie jedną dziewkę, która była przez nich obu polana;
– każdy parobek oblał przynajmniej trzy dziewki;
– jeden parobek oblał dokładnie sześć dziewek.
Ilu parobków i ile dziewek uczestniczyło w polewance?

Powyższy kwartecik elementarnych informacji tworzy w sumie mocno pogmatwany splot. Większość osób po wstępnych próbach nadgryzienia orzecha dochodzi do wniosku, że… lepiej powrócić do bardziej klarownej rzeczywistości. Powrócę i ja, odkładając na później nie mniej pokrętny opis sposobu rozwiązywania „folwarcznego dyngusa”, o ile w międzyczasie ktoś z Państwa mnie nie wyręczy. Nie odbiegnę jednak daleko od kombinatoryki i teorii grafów, no i oczywiście od logiki. Pozostanę przy zadaniach, w których występuje kluczowe dla komplikowania sytuacji operowanie podzbiorami – w tym przypadku dwuelementowymi („dla każdej pary…”). Poniższe zadanie z taką komplikacją nie powinno jednak sprawić Państwu kłopotu.

Proszę znaleźć cztery liczby mniejsze od 100, które spełniają następujące warunki:
– w żadnej nie występuje ani 3, ani 7;
– żadna nie jest podzielna ani przez 3, ani przez 7;
– suma każdych dwóch jest podzielna albo przez 3, albo przez 7.

Oto przykładowe rozwiązanie: 2, 4, 5, 10. Proszę podać inne, ale takie, w którym nie będzie występować żadna liczba z rozwiązania przykładowego.

PS Proszę też (poniewczasie) o rozwiązania oryginalne, czyli nie polegające na przekształcaniu rozwiązania przykładowego. I przy okazji proszę o zastanowienie się nad nieco trudniejszą zagadką: czy gdyby w pierwszym zdaniu zamiast „cztery liczby mniejsze” było „pięć liczb mniejszych”, to byłoby rozwiązanie?