W kratkę
Niewykluczone, że pojawienie się zeszytów w kratkę miało niebagatelny wpływ na rozwój matematyki. Na pewno tej rekreacyjnej, ale podejrzewam, że nie tylko. Mnóstwo gier, zabaw i łamigłówek matematycznych wymyślono dzięki rozpowszechnieniu kratkowanego papieru, który uczniowie mieli pod ręką, a to z kolei sprzyjało ujawnianiu się lub rozbudzaniu talentów matematycznych.
Takie refleksje naszły mnie w związku z wpisem sprzed tygodnia, poświęconym formule Picka, której pełna prezentacja bez skorzystania z kartki w kratkę jest formalnie nieco kłopotliwa. Postanowiłem nawet sprawdzić, kiedy w uczniowskich tornistrach obok podręczników i drugiego śniadania na stałe zagościły kratkowane zeszyty. Być może ich obecność bywała – i to wielokrotnie – zalążkiem czegoś wielkiego, na przykład Lwowskiej Szkoły Matematycznej, podobnie jak trzepot skrzydeł motyla w dżungli amazońskiej bywa przyczyną huraganu na Karaibach.
Niestety, nie udało mi się znaleźć informacji o tym, kiedy zeszyty w kratkę pojawiły się na lekcjach. Dowiedziałem się natomiast, że jakiekolwiek zeszyty wprowadził do szkół niejaki Pieter Teding van Berkhout, a działo się to w roku 1625 w pewnej szkole łacińskiej w Holandi. Wiem także, że zeszyty do matematyki znanych osób, pochodzące jeszcze z drugiej połowy XIX wieku, zachowane jako eksponaty muzealne – nie są w kratkę. Wygląda więc na to, że kratkowany papier, jako towar powszechnie dostępny, jest wynalazkiem stosunkowo nowym. Być może z Państwa pomocą uda się określić, czy mój pradziadek zbierał pały za żydy w kajetach w kratkę.
Tymczasem proponuję zmierzyć się z drugim zadaniem związanym z formułą Picka, które, podobnie jak te z poprzedniego wpisu, było konkursowym w marcowym Świecie Nauki.
Dwa miasta połączono prostą linią kolejową. Jedno z nich leży w odległości x kilometrów na wschód i y kilometrów na północ od drugiego. W pewnej odległości od linii kolejowej znajduje się trzecie miasto. Jaka jest ta odległość, jeżeli jest ona najmniejszą z możliwych, a wszystkie trzy miasta leżą w punktach kratowych, czyli w węzłach siatki kwadratowej (oznaczonej na mapie)?
Komentarze
d=1/sqrt((x/nwp(x,y))^2+(y/nwp(x,y))^2),
gdzie nwp jest największym wspólnym podzielnikiem.
Ten wzór obowiązuje przy założeniu, że tekst „W pewnej odległości od linii kolejowej…” oznacza odległość >0.
Pozdrawiam
zależy czy x i y mają wspólny dzielnik…
Gdy xy to y/(x^2+y^2)
W Wlk. Brytanii nie ma zeszytów w kratkę! Przekonałem się o tym, chcąc kupić takowy. Nie ma nawet w dobrze zaopatrzonych sklepach papierniczych. Angielscy znajomi pytani o to, byli nieco zdziwieni że ktoś chciałby używać zeszytów w kratkę.
W końcu kupiłem ekskluzywny i potwornie drogi kratkowany notes (produkcji włoskiej) w księgarni. To było jedyne co mogłem znaleźć.
A co do zagadki. Jeśli wykluczymy odległość zero (ale wtedy trudno mówić o odległości) to najmniejszy możliwy dystans będzie równy x/sqrt(x^2 + y^2). Inaczej mówiąc, będzie to x podzielone przez odległość między miastami w linii prostej.
Poprzedni mój komentarz zawierał jedynie wzór na minimalną odległość. Wówczas wyprowadzając go nie korzystałem z wzoru Picka. Dlatego zacząłem poszukiwać uzasadnienia tego wykorzystania.
A oto i ono.
Oznaczmy miejscowości połączone prostą linią kolejową przez A i B. Natomiast trzecią miejscowość oznaczmy przez C. Wszystkie miejscowości są położone w punktach kratowych. Miejscowość C będzie najbliżej linii kolejowej, gdy wnętrze trójkąta ABC nie będzie zawierało punktów kratowych. Odcinki AC i BC z wyjątkiem ich końców również nie mogą zawierać punktów kratowych. Gdyby tak nie było, to zawsze możemy wybrać inną lokalizację dla miejscowości C, zmniejszając tym samym odległość tej miejscowości od linii kolejowej.
Wówczas, zgodnie z wzorem Picka, pole trójkąta ABC
s = 0+(k+3)/2-1 = (k+1)/2,
gdzie k jest liczbą punktów kratowych położonych wewnątrz trasy kolejowej AB. Tym samym licznik k+1 jest jednocześnie NWP liczb x i y.
czyli
s = NWP(x,y)/2.
Pole trójkąta ABC możemy również wyznaczyć inaczej tj. biorąc połowę iloczynu długości trasy kolejowej AB i d tj. odległości miejscowości C od tej trasy.
Zatem s = sqrt(x^2+y^2)*d/2.
Porównując dwa wzory na pole trójkąta ABC, mamy
NWP(x,y)/2 = sqrt(x^2+y^2)*d/2
Czyli poszukiwana odległość
d= NWP(x,y)/sqrt(x^2+y^2).
Pozdrawiam i życzę wszystkim uczestnikom Łamiblogu zdrowych i spokojnych Świąt Wielkanocnych.
PS
W zadaniach geometrycznych bardzo pomocnym może okazać się program GeoGebra, którego darmową wersję można znaleźć na stronie
http://www.geogebra.org
Polecam